même que les deux produits 12 & 12 qui viennent après font chacun le produit du fecond caractére par le troifiéme; & qu'ainfi ajoutant les deux produits 8 & 8 ensemble, & les deux produits .12 & 12, la fomme des deux 8 &8 fera le double de la premiere par la troifiéme, de même que la fomme des deux 12 & 12 est le double de la feconde par la même troifiéme; & par conféquent ces deux fommes prifes ensemble font le double des deux premiers caractéres multiplié par le troifiéme, & que leur place eft en partie après la feconde tranche & en partie devant; enfin que le dernier produit 16 eft le quarré du troifiéme caractére 4, & que fa place eft immédiatement après la premiere tranche.

De-là j'infere que tout quarré dont la racine a trois caractères, contient, 1°. Le quarré du premier. 2°. Le double du premier multiplié par le fecond. 3°. Le quarré du fecond. 4°. Le double des deux premiers multiplié par le troisième, & 5°. Le quarré du troifiéme.

De-là j'infere encore que fi la racine avoit plus de trois caractéres, je trouverois tout de même le double des trois premiers multiplié par le quatrième, le quarré du quatrième, le double des quatre premiers multiplié par le cinquième; & ainfi de fuite à l'infini.

18/66/24 | 432

4

266

Cela fuppofe, on connoîtra facilement les raifons des régles que nous allons fuivre pour l'extraction des racines. Suppofons donc qu'on nous demande d'extraire la racine du quarré 186629, je tire une ligne fous ce nombre; & le coupant par tranches, je connois que fa racine a 3 caractéres puifqu'il y a trois tranches; je dis donc : Tout quarré contient immédiatement après fa derniere tranche à gauche le quarré du premier caractére de fa racine; j'examine donc quel eft le plus grand quarré qui foit contenu dans 18, & confultant la Table ci-deffus, je trouve que ce quarré eft 16, dont la raçine eft 4, j'écris 4 après la premiere tranche à droite & 4 deffous 18, & je dis : 4 fois 4 font 16, & de 18 êtez 16 refte 2 que j'écris sous 4 ; enfuite j'abaisse les deux caractéres 6 &.6, qui font entre la troifiéme & la feconde tranche, & les écrivant à droite du refte 2, je dis: Tout quarré contient encore le double du premier caractére multiplié par le fecond, & le quarré du fe

83

17 24

862

cond. Or je ne connois pas ce fecond, mais puifque le double du premier multiplié par le fecond fe trouve dans 26, car c'est-là fa place, fi je divife 26 par le double du premier, le quotient fera le fecond ; j'écris donc le double de 4 qui eft 8 fous 26, & voïant 8 eft 3 fois dans 26 avec un refte 2, que j'écris 3 pour le fecond caractére de la racine, & 3 fous le fecond 6, parce que le quarré de 3 doit fe trouver là, ainfi je dis : 3 fois 3 font 9, qui eft le quarré de 3, & de 6 retranchez 9', cela ne fe peut, mais de 16 retranchez 9, refte 7, que j'écris fous 3, & non pas en avançant d'un rang à gauche comme dans la divifion, parce que cela n'eft pas néceffaire, & qu'il faut conferver l'ordre des caractéres; enfuite 3 fois 8 font 24, & I que j'ai emprunté pour faire 16 font: 25, & de 26 ôtez 25, refte i que j'écris fous 8..

3

J'abaiffe les deux derniers caractéres 2 & 4, qui font entre la feconde & la premiere tranche, & les écrivant à droite du refte 17, je dis : Tout quarré contient encore le double des deux premiers caractéres de la racine multiplié par le troifiéme; or je ne connois pas ce troifiéme, mais puifque le double des deux premiers multiplié par le troifiéme eft dans 172, car c'est-là sa place, fi fi je divife 172 par le double des deux premiers, le quotient. fera le troifiéme; je prens donc le double de 43 qui eft 86, & je l'écris fous 172, obfervant que fon dernier caractère 6 foit en-delà de la tranche, enforte que ce double foit partie en deçà & partie en-delà, à quoi il faut toujours avoir attention quand ce double a plufieurs caractéres, & quand il n'en a qu'un, comme le double 8 de la premiere, il faut qu'il foit écrit en-delà. Je dis donc : En 17, 8 cft 2 fois & refte 1, qui joint avec 2 fait 12, dans. lequel 6 eft auffi 2 fois, & il ne reftera que 4 qui doit être le quarré de 2, ce qui fe trouve jufte ; j'écris 2 fous 4 & 2 à la racine après 43, & je dis : 2 fois 2 font 4, & de 4 ôtez 4, refte zero; 2 fois 6 font 12, & de 2 ôtez 12, cela ne fe peut, mais de 12 ôtez 12, refte zero; 2 fois 8 font 16, & 1 que j'ai em-prunté pour faire 12 font 17, & de 17 ôtez & de 17 ôtez 17, reste zero; après quoi il ne refte plus rien au nombre propofé, & cela me fait voir que ce nombre est. un quarré dont la racine eft

Et pour

432..

m'en affurer, je multiplie 432 par 432, & le produit eft 186624, qui eft le même que le

nombre propofé..

432

432

864

1296

1728

186624

Il eft à propos, à mesure qu'on abaiffe les nombres de la tran

che suivante, de mettre un point entre le reste & les nombres qu'on abaiffe, parce que ce point marque la place de la tranche. On doit auffi obferver de n'abaisser à la fois que les caractéres qui fe trouvent entre la tranche fur laquelle on vient d'opérer, & la tranche immédiatement fuivante, parce que dans chaque opération on ne cherche qu'un caractére de la racine, & que le quarré de ce caractére doit toujours fe trouver là; enfin lorfqu'en examinant combien de fois le double d'une racine, ou de deux, ou de trois, &c. eft contenu dans le refte, on trouve qu'il y eft un certain nombre de fois, mais que ce qui refte ne contient pas le quarré de ce nombre de fois, comme il doit le contenir, c'est marque que ce quotient n'eft pas le véritable que l'on cherche, & par conféquent il faut le diminuer jufqu'à ce que le refte renferme fon quarré; c'eft ce qu'on va voir dans l'extraction fuivante, où je me propose de tirer la racine du nombre 483 1 204. Je coupe ce nombre par tranches, tranches, & je connois que fa racine aura 4 caractéres, parce qu'il y a 4 tranches; enfuite je prens le plus grand quarré contenu dans le caractére 4 qui eft après la derniere tranche, & ce quarré eft 4 lui-même, dont la racine eft 2; j'écris 2 pour le premier caractére de la racine, & 2 fous 4, & je dis : 2 fois 2 font 4, & de 4 ôtez 4, refte zero. J'abaiffe les deux caractéres 8 & 3 qui font entre la derniere tranche & la troiGéme, & prenant le double du caractére 2 de la racine, j'écris 4 fous 8, difant: En 8,4 eft 2 fois, mais il ne refte plus

I

4/83/12/042198

2

0.83

4I

42.12

429

351.04
4388

4,

refte

4.

que 3, & le quarré de 2 n'eft pas contenu dans 3; ainfi au lieu de 2 j'écris 1 pour le fecond caractére & 1 fous 3, difant: Une fois I eft 1, & de 3 ôtez 1, refte 2 ; une fois 4 eft 4,& de 8 ôtez 2; J'abaiffe les deux caractères 1 & 2 qui font entre la troifiéme & la feconde tranche, mettant un point entre le refte 42, & ces deux caractéres pour marquer la place de la tranche; je double les deux caractéres 21 de la racine & j'écris 42, enforte que 2 tombe en-delà du point fous I, enfuite je dis: eft 9 fois dans 42, reste 6, qui avec le caractére fuivant 1, fait 61, & 2 eft 9 fois dans 61, avec un reite beaucoup plus grand qu'il ne faut pour contenir le quarré de qui eft 81 ; ainfi j'écris 9 pour le troifiéme ca

4

&

ractère de la racine, & 9 fous 2, difant: 9 fois 9 font 81, & de 82 ôtez 81, refte 1; 9 fois 2 font 18, & 8 que j'ai emprunté font 26, & de 31 ôtez 26, refte 5; 9 fois 4 font 36, & 3 font 39, & de 42 ôtez 39? refte 3.

J'abaiffe les deux derniers caractères qui font entre la feconde & la premiere tranche, mettant un point entr'eux & le reste 351, & doublant les trois caractéres 219, ce qui fait 438, j'écris 438 fous 35108, enforte que le dernier caractére 8 tombe en-delà du point fous zero; & trouvant que 438 eft 8 fois dans 3510, & que le refte joint à 8 contient le quarré de 8, j'écris 8 pour le quatriéme caractére de la racine, & 8 fous le dernier caractère 8 en difant : 8 fois 8 font 64, & de 64 ôtez 64, refte zcro ; 8 fois & font 64, & 6 que j'ai emprunté font 70, & de 70 ôrez 70, refte zero; 8 fois 3 font 24, & 7 que j'ai emprunté font 31, ôtez 31, refte zero; 8. fois 4 font 32, & 3 que j'ai emprunté font 35, & de 35 ôcez refte zero ; & comme il ne refte rien au nombre propofé, je connois que ce nombre eft un quarré dont la racine eft 2198; & en effet, multipliant 2198 par luimême, le produir eft 4831204 qui eft le même que le nombre propose.

35,

& de

31

2198

2198

17584

19782.

2.198 4396

4831204

Après avoir expliqué la maniere de tirer la racine quarrée d'un nombre, j'ajouterai quelques exemples qui feront voir l'application que l'on en peut faire felon les occafions.

PREMIER EXEMPLE.

Un Seigneur a fait faire dans ses terres un Parc quarré qui contient 289444 toifes quarrées : combien chaque côté a-t-il de toifes en Longueur?

Je tire la racine quarrée de ce nom-⚫ bre, & trouvant que cette racine est 538, & qu'il ne refte rien, je connois que chaque côté de ce Parc a 538 toifes de longueur; & en effet, 5 38 coifes multipliées par elles-mêmes, font 289444 toifes quarrées, ce qui eft précifément le nombre propofé.

281941441

3.94

103

85.44
10 68

538 toifes

Une cour quarrée contient 42 toifes quarrées, pied, 6 pouces de toife quarrée; on veut l'augmenter d'une toife par côté, & l'on demande quelle fera fa longueur & fa profondeur?

aura,

42 toifes pied 6 pouces

-6

Je ne puis connoître quelles font les dimenfions que cette cour fans connoître auparavant quelles font celles qu'elle a préfentement; ainfi il faut que je tire la racine quarrée de 42 toiles, 1 pied, 6 pouces de toife quarrée; & pour tirer cette racine, je réduis tout en pouces, & j'ai 3042 pouces ; mais comme chacun de ces pouces eft long de 6 pieds & large d'un pouce, ce qui eft bien éloigné d'être un quarré, ces 3042 pouces peuvent fort bien former un quarré, fans que leur nombre foit pour cela un quarré dont je puiffe extraire la racine ; & cela est si vrai, qu'une toife quarrée, qui eft un quarré parfait, contient 72 de ces pouces, & le nombre 72 n'eft

pas un quarré : c'est pourquoi je confidére que chaque pouce de toife aiant un pouce de hauteur & 6 pieds ou 72 pouces de longueur, contient par conféquent 72 pouces quarrés ; donc fi je multiplie 3042 pou ces de toife par 72 pouces quarrés, le produit 219024 fera le contenu de la cour en pouces quarrés; & comme la cour eft fuppofée quarrée, il faut néceffairement que que le nombre 219024 foit quarré, à caufe que les côtés de la cour étant égaux contiennent autant de pouces l'un que l'autre ; & què ces pouces fe multipliant les uns par les

252

I

253 pieds

12

506 2536

3042 pouces de toife
72