QUATRIEME PARTIE. Qui traite des Raifons, Proportions & Progreffions Arithmetiques & Géométriques; des Raifons compofées; de quelques propriétés des Nombres & de leur Divifion, & de ce qu'on doit favoir touchant les Incommenfurables.

I.

Ce que c'est que Raifon, Proportion & Progreffion.

UAND on compare deux grandeurs enfemble pour favoir ce ce que l'une eft à l'égard de l'autre, la connoiffance qu'on en tire eft ce qu'on appelle raifon de ces grandeurs ; & comme on peut examiner deux chofes dans la comparaifon de deux grandeurs, dont la premiere confifte à connoître de combien une gran deur farpaffe ou cft furpaffée par l'autre ; & la feconde, à favoir combien de fois l'une contient ou eft contenue dans l'autre : de-là naiffent deux fortes de raifons, dont l'une s'appelle raison Arithmétique & l'autre raifon Géométrique.

La raifon Arithmétique confifte dans l'excès dont une grandeur

furpafle ou eft furpaffée par l'autre, & elle le trouve en retranchant la moindre des deux grandeurs de la plus grande. La raison de 7 à 3 est l'excès 4 dont 7 furpaffe 3, & l'on trouve cet excès. en retranchant 3 de 7. Communément on appelle la raison Arithmétique différence, parce que l'excès dont une grandeur surpasse une autre n'eft autre chofe que la différence de ces grandeurs.

La raifon Géométrique confifte dans la maniere dont une grandeur contient ou eft contenue par l'autre; & on la trouve en divifant la plus grande par la moindre. La raifon de 2 à 6 est 3, que l'on trouve en divifant 6 par 2 ; ce quotient 3 s'appelle aussi l'expofant des deux grandeurs, ou l'expofant de la raifon.

Quand les deux grandeurs comparées font égales, la raifon s'appelle raifon d'égalité; & quand elles font inégales, la raifon s'appelle raifon d'inégalité: ainfi la raifon de 2 à 2 eft une raifon d'égalité, & celle de 2 à 3 eft une raifon d'inégalité.

La raifon d'inégalité s'appelle raison de plus grande inégalité quand la premiere grandeur eft plus grande que la feconde, & on l'appelle raifon de moindre inégalité quand la feconde eft plus grande que la premiere.

Toute raifon contient donc néceffairement deux termes, dont le premier s'appelle l'antécédent, & le fecond le confequent: dans la raifon 2, 3, le premier terme 2 eft l'antécédent, & le fecond 3 eft de conféquent.

De même qu'on compare deux grandeurs, on peut auffi comparer deux raifons. Quand après avoir trouvé que la différence de 7 à 9 est deux, & que celle de 10 à 13 eft trois, je dis que la premiere raifon eft moindre que l'autre, on voit bien que la com paraison que je fais ne tombe pas précisément fur 7 & 9, ni fur 10 & 13, mais fur la raifon ou le rapport qui fe trouve entre 7 & 9, & la raifon qui fe trouve entre 10 & 13.

De même, quand après avoir trouvé que 2 eft contenu trois fois dans 6, & que 4 eft contenu deux fois dans 8, je dis que la premiere raifon eft plus grande que la feconde; il eft évident que ma comparaifon ne tombe ni fur 2 & 6, ni fur 4 & 8; mais fur le rapport qui eft entre 2 & 6, & fur celui qui eft entre 4 & 8.

Quand deux raisons font inégales entr'elles, on dit qu'il y a inégalité de raifons, & quand elles font égales, on dit qu'il y a égalité de raifons. La différence de 2 à 4 eft moindre que celle de 5 à 8: voilà inégalité de raifons. La différence de 2 à 4 est égale à celle de 5 à 7: voilà égalité de raisons. De même, la maniere dont

z eft contenu dans 6 eft moindre que la maniere dont 3 eft contenu dans 12: voilà inégalité de raifons. La maniere dont 2 eft contenu dans 6 eft égale à celle dont 3 eft contenu dans 9: voilà égalité de raifons.

Il ne faut pas confondre l'inégalité ou l'égalité de raifons avec la raifon d'inégalité ou d'égalité. Dans la raifon d'inégalité ou d'égalité, on ne compare que deux grandeurs enfemble; ainfi la raifon de 2 à 3 eft d'inégalité, & celle de 2 à 2 eft d'égalité; mais dans Tinégalité ou l'égalité de raisons, on compare deux raisons comme nous venons de montrer.

L'égalité de raifons s'appelle autrement proportion ; & cette proportion eft ou Arithmétique ou Géométrique,felon que les raifons dont elle eft compofée font Arithmétiques ou Géométriques.

2 & 3 ont la même différence que 4 & 5, ainfi ces quatre grandeurs forment ensemble une proportion Arithmétique, qu'on écrit ainsi : 2.3.*.4. §, & qu'on énonce en difant 2 eft à 3 comme 4, est à 5.

2 eft contenu trois fois dans 6, de même que 3 eft contenu trois fois dans 9; ainfi ces quatre grandeurs forment ensemble une proportion Géométrique, qu'on écrit ainfi : 2,6:: 3.9, & qu'on énonce, en difant 2 eft à 6 comme 3 eft à 9.

Le premier terme d'une proportion s'appelle premier antécédent; le fecond premier confequent; le troifieme fecond antécédent, & le quatrième second confequent. Outre cela, le premier & le dernier s'appellent les extrêmes, & le fecond & le troifiéme s'appellent les moiens.

Quand dans une proportion le premier conféquent fert de fecond antécédent, ou ce qui eft la même chofe, quand les deux moïens font égaux, la proportion s'appelle continue.

Ainfi la proportion Arithmétique 2.5...5.8 eft continuë, & pour abréger, on écrit..2.5.8.

De même la proportion Géométrique 2.4:: 4.8 eft continuë, & pour abréger, on écrit :: 2.4.8; mais on doit énoncer ces proportions de même que s'il n'y avoit point d'abréviations, en di fant 2 eft à 5 comme s cft à 8, ou 2 eft à 4 comme 4 eft à 8.

Dans ces proportions, le terme moïen s'appelle moïen porpor

tionnel.

Lorsqu'on a plufieurs raifons égales, dont chaque conféquent fert d'antécédent à la raison fuivante, cela s'appelle une progreffion. Les raifons égales Arithmétiques 2.5.5. 8...8.11

ainfi

14.'.14.17, forment une progreffion Arithmétique qu'on écrit pour abréger...2.5.8.11.14.17; mais il faut l'énoncer fans abréviation, 2 eft à 5 comme 5 eft à 8, comme 8 eft à 11, comme II eft à 14, comme 14 eft à 17.

Les raifons égales Géométriques 2.4:4.88.16:: 16.32:: 32.64, forment une progreffion Géométrique qu'on abrége en écrivant :: 2.4.8.16.32.64; mais on l'énonce fans abréviation, en difant 2 eft à 4 comme 4 eft à 8, comme 8 eft à 16, comme 16 est à 32, comme 32 est à 64.

Comme il y a beaucoup de différence entre les raifons, propor tions & progreffions Arithmétiques, & les raifons, proportions & progreffions Géométriques, nous traiterons à part les unes & les autres, & nous allons commencer par les Arithmétiques.

Des raifons & progreffions Arithmétiques.

II. La raison Arithmétique confifte dans la différence des deux grandeurs qui la compofent: donc la moindre des deux grandeurs eft égale à la grande, moins la différence; & la grande est égale à la petite, plus la différence. Soit, par exemple, la raifon 2.5 dont la différence eft 33 il eft vifible que la petite 2 eft égale à 5—3, & que la grande s eft égale à 2-3; ainfi au lieu de 2.5, je puis écrire 5-3.5, ou 2.2+3; & ces trois expreffions 2.5, 5—3.5, 2. 2+3 fignifient la même chose.

De même, foit une proportion Arithmétique 2.5..7.10, dont la différence eft 3, je puis transformer cette proportion en celle-ci 5—3.5 ... 10—3.7, ou en celle-ci 2.2+3..7.7+}; & ces trois expreffions 2.5..7.10, 5—3.5.'.10—3.7, 2.2 +3...7.7+3 signifient la même chofe.

PROPOSITION.

Dans toute proportion Arithmétique, la fomme des extrêmes est égale à la fomme des moiens; & fi la proportion eft continue, la fomme des extrêmes eft double de la moienne.

Soit la proportion Arithmétique a.b..c.f, dont nous fuppoferons la différence d. Il peut fe faire que chaque antécédent foit plus grand que fon conféquent, ou qu'il foit moindre; fuppofons qu'il foit plus grand, donc a eft égal à 6, plus la

a.b. c.f

4.2

7.5

·.f+d.f
5+2.5

b+d.b

2+2 2

b+d+f

= f+d+b

2+2+5 = 5+2+2 différence

différence d, c'eft-à-dire a=b+d, & de même c-f+d; mettant donc au lieu de a & de c leurs valeurs, nous aurons bd.b.·.f+ d.f; & faifant la fomme des extrêmes & celle des moïens, nous aurons d'une part b+d+f, & de l'autre f+d+b; & comme ces fommes font compofées des mêmes grandeurs, elles feront par conféquent égales.

a.b

..f

5.7 .. 10.12

a.a+d... c.c+d 5.5+2 ··· 10. 10+2

Et fi l'on fuppofe que chaque antécédent foit moindre que fon conféquent, donc la grande b fera égale à la petite a, plus la différenced, c'est-à-dire ba+d, & par la même raifon fd; & mettant ces valeurs de b & def, nous aurons a.ad.'.c.c+d; & faifant la fomme des extrêmes & celle des moïens, nous aurons d'une part +c+d, & de l'autre a+d+i ; & comme ces deux fommes font compofées des mêmes grandeurs, elles font par conféquent égales.

a + c + d = a + d + c 5+10+2 5+2+10

Etfi la proportion eft continue, comme ...b.c, dont nous fuppoferons la différence d; comme le fecond terme b tient lieu du premier conféquent & du fecond antécédent, on peut au lieu de.a.b..c écrire a.b..b.c; & par conféquent fi a eft plus grand que b, on aura, en transformant la proportion b+d.b··· +d.c, & faifant les fommes des extrêmes & des moïens b+d+ c=b+c+d; & fi a eft moindre que b,on aura a. a+d::c.c+d; & faifant les fommes a+c+d=a+d +c, où l'on voit toujours que la fomme des extrêmes est égale à celle des moïens ; & comme les moïens font ici la même & unique grandeur, la fomme des extrêmes eft donc égale au double de la moïenne.

Et pour faciliter l'intelligence de ceci, on n'a qu'à mettre des chiffres au lieu des lettres, & on verra, en fuppofant que la proportion eft .*.2.4.6, que la fomme des extrêmes 2+6 est égale à 4+4, qui eft le double de la moïenne.

Et fi on veut que le premier ter

...4.b.c
2.4.6

2.242

a. atd... b.b+d 4.4+2 a+b+d = a+d+b 2+4+2 = 2+2+4 2+6=4+4

...a. b. c

64.2
b+d.b.. c+d.c

4+2.4. 2+22

b+d+ c = b+c+d® 4+2+2 4+2+2

6+2 = 4+4

Ee