le quarré de CM qui eft égal au quarré de GH déja trouvé, ou bien en faifant que cette fomme foit divifée comme l'autre par nn yy, on a

t

puis remettant++ qy+ — {; pp y*

pour nny4, & r y3 + 2 V v y3 +

pour 2 my3, & multipliant l'une & L'autre fomme par nn yy, on a

t

+

+

S égal à

c'eft à dire qu'on a,

yy

yo — pys + qyt — ry3 + s y y − t y + ∞ ∞ 0; d'où il paroît que les lignes CG, NR, QO, & femblables font les racines de cette Equation, qui eft ce qu'il falloit démontrer.

Ainfi donc fi on veut trouver quatre moyennes proportionnelles entre les lignes a & b, ayant pofé x pour la premiere, l'Equation eft x5**** abo,ou bien x ****— a4 bx 200; & faifant y-ax il vient

-

~ 6 ays + Is a a yt - 20 a3 y3 +

Is at yy bas y -a4bs

+aslo, c'est pour

quoy il faut prendre gapour la ligne AB, &

Voa3+sab

Va+ab az + ab

+6a a pour BK, où le

côté droit de la Parabole que j'ay nom

BL; & aprés avoir décrit la ligne courbe ACN fur la mesure de ces trois, il

cle qui ayant fon centre au point I, paffera par le point P ainfi trouvé, coupera la courbe aux deux points C & N, defquels ayant tiré les tiré les perpendiculaires NR & CG, fi la moindre NR eft oftée de la plus grande CG, le refte fera x, la premiere des quatre moyennes proportionnelles cherchées.

Il est aisé en même façon de divifer un angle en cinq parties égales, & d'infcrire une figure d'onze ou treize côtez égaux dans un cercle, & de

trouver une infinité d'autres exemples de cette regle.

Toutefois il eft à remarquer qu'en plafieurs de ces exemples, il peut arriver que le cercle coupe fi obliquement la parabole du fecond genre, que le point de leur interfection foir difficile à reconnoître ; & ainfi que cette conftruction ne foit pas commode pour la pratique. A quoy il feroit aise de remedier en compofant d'autres regles à l'imitation de celle-ci, comme on en peut compofer de mille fortes.

Mais mon deffein n'eft pas de faire un gros livre, & je tâche plûtôt de comprendre beaucoup en peu de mots; comme on jugera peut-être que j'ay fait, fi on confidere qu'ayant réduit à une même conftruction tous les Problêmes d'un même genre, j'ay tout ensemble donné la façon de les réduire à une infinité d'autres diverfes, & ainfi de refoudre chacun d'eux en une infinité de façons. Puis outre cela qu'ayant construit tous ceux qui font plans, en coupant d'un cercle une ligne droite, & tous ceux qui font folides, en coupant auffi d'un cercle une Parabole; & enfin tous ceux qui font d'un degré plus com

pofez, en coupant tout de même d'un cercle une ligne qui n'eft que d'un degré plus compofée que la Parabole; il ne faut que fuivre la même voye pour construire tous ceux qui font plus compofez à l'infini: car en matiere de progreffions Mathematiques, lorsqu'on a les deux ou trois premiers termes, il n'eft pas mal a fé de trouver les autres. Et j'efpere que nos neveux me fçauront gré, non feulement des chofes que j'ay ici expliquées, mais auffi de celles que j'ay obmifes volontai rement', afin de leur laiffer le plaifir de les inventer.

FIN.