peuvent diversement être changez. Aprés cela je fais KI égale & paral lele à B A, en forte qu'elle couppe de BC la partie BK égale à m, à caufe qu'il y a icy + m; & je l'aurois ajoû tée en tirant cette ligne IK de l'autre côté, s'il y avoit eum ; & je ne l'au rois point du tout tirée, fi la quantité m eût été nulle. Puis je tire auffi IL, en forte que la ligne IK eft à K L com me Z eft à n; c'eft à dire que I K étant x, KL eft -x. Et par même moyen

je connois auffi la proportion qui est tre KL, & IL, que je pose comme entre n& a: fi bien que K L étant, IL

a

eft; Et je fais que le point K foit

entre L & C, à cause qu'il y a icy

n

༤

-x; au lieu que j'aurois mis L entre

n

K & C, fi j'euffe eu +Zx; & je n'euf

n

se point tiré cette ligne IL, fix cût été nulle.

Or cela fait, il ne me refte plus pour la ligne LC, que ces termes, LC ∞ V mm +0x. ·x x ; d'où je voy que

s'ils étoient nuls, ce point C fe trouveroit en la ligne droite IL; & que s'ils étoient tels que la racine s'en pût tirer,

P

m

c'est à dire que mm & 1xx étant marquez d'un même figne + ou ➡ •。 fût égal à 4pm, ou bien que les termes mm & ox, ou o x & & 1 x x

m

fuffent nuls, ce point C fe trouveroit en une autre ligne droite qui ne feroit pas plus mal-aifée à trouver qu'I L. Mais lorfque cela n'eft pas, ce point C eft toujours en l'une des trois fections coniques, ou en un cercle, dont l'un des diametres eft en la ligne IL, & la ligne LE eft l'une de celles qui s'appliquent par ordre à ce diametre; où au contraire LC eft parallele au diametre, auquel celle qui eft en la ligne . IL eft appliquée par ordre. A fçavoir

le terme xx, eft nul, cette section P

m

conique eft une Parabole; & s'il eft marqué du figne +, c'eft une Hyperbole; & enfin s'il eft marqué du figne c'eft une Ellipfe. Excepté feulement fi la quantité a am eft égale à pzz & que l'angle ILC foit droit : auquel cas

on a un cercle au lieu d'une Ellipse. Que fi cette fection eft unc Parabole,

son côté droit est égal à o, & son dia

a

mettre eft toujours en la ligne IL & pour trouver le point N, qui en est le fom

met, il faut faire IN égale à

amm

02

; &

que le point I foit entre L & N, fi les

bien

termes

font

+mm + ox; ou que le point L foit entre I & N, s'ils font

+ mm

ox; ou bien il faudroit

fût entre I & L, s'il avoit y

qu'N

m m

ox. Mais il ne peut jamais y avoir mm, en la façon que les termes out icy été posez. Et enfin le point N fc. roit le même que le point I fi la quantité mm étoit nulle. Au moyen dequoy

left aifé de trouver cette Parabole par le premier Problême du premier Livre d'Apollonius.

Que fi la ligne demandée eft un cercle, ou une clipfe, ou une hyperbole, Fil faut premierement chercher le point M, qui en cft le centre, & qui eft toujours en la ligne droite IL, où on le

A

272

, en

forte que fi la quantité o eft nulle, ce centre eft juftement au point I. Et fi la ligne cherchée eft un cercle, ou une el. lipfe, on doit prendre le point M dụ même côté que le point L, au respect du point I, lorsqu'on a + ox, & lorf qu'on aox, on le doit prendre de l'autre. Mais tout au contraire en l'Hyperbole, fi on a →→ 0x ce centre M doit être vers L; & fi on a + ox, il doit être de l'autre côté. Aprés cela le côté droit de la figure doit être

& que la ligne cherchée est un cercle, ou une ellipfe; ou bien lorsqu'on

a -mm,

& que
c'eft

une Hyperbole,

ligne cherchée étant un cercle ou une ellipfe, on a-mm; ou bien fi étant une Hyperbole & la quantité oo étant plus grande que 4mp, on a + mm. Que fi la quantité m m eft nulle, ce côté droit eft, & fi o x eft nulle, il

eft v 4 mpzz. Puis pour le côté traver

a a

fant, il faut trouver une 1 gne, qui foit à ce côté droit comme aam est pzz, à fçavoir fi ce côté droit est

3

ppz z

cas le diametre de la fection eft en la li gne IM, & LC eft l'une de celles qui luy eft appliquée par ordre. Si bien que faifant MN égale à la moitié du côté traverfant & le prenant du même côté du point M, qu'eft le point L, on a le point N pour le fommet de ce diametre, en fuite de quoy il eft aisé de trouver la fection par le fecond & troifiéme Problême du premier Livre d'Apollonius.

Mais quand cette section étant une Hyperbole, on a + mm; & que la

quantité