dans l'enceinte naturelle, feulement d'une moitié de bande, fans en changer l'ordre, enforte que les nombres qui étoient au milieu des bandes de l'enceinte naturelle, se trouvent aux angles de l'enceinte magique, & ceux des angles fe trouvent au milieu des bandes. Enfuite on transportera les milieux de chaque bande à leurs oppofés, comme on peut voir, par exemple, dans la troifiéme enceinte du Quarré de 11 qu'on propofe icy. Il reste maintenant à difpofer les autres nombres qui font encore dans les bandes, s'il y en a, car la premiere n'en a point. Ces nombres reftans dans chaque bande font toûjours multiples de 4, lefquels font diftribués éga. lement des deux côtés de la cellule du milieu de la bande tant horizontale que verticale, & l'on ne cherche qu'à remplir la bande horizontale fuperieure & la verticale à gauche. On laiffera donc la moitié des nombres qui font dans ces deux bandes à leur place naturelle, en obfervant toûjours que ceux qu'on laiffe foient dans chaque bande également éloignés de la cellule du milieu, & les autres on les changera avec leurs oppofés qui font dans la bande oppofée, comme on voit dans la troifiéme enceinte, on a laiffé 27 & 29 à leurs places, & l'on a mis à la place des deux autres 26 & 30, leurs oppofés 92, 96, qui étoient dans la bande horizontale inferieure. On a fait la même chofe pour la verticale à gauche, en laiffant 36 & 80 à leurs places, & mettant à la place de 47 & de 69 leurs oppofés 53 & 75; par ce moyen on aura l'horizontale & la verticale toute difpofée, & l'on placera dans les deux autres bandes oppofées à celles-cy, & dans les cellules oppofées, les nombres complémens de ceux qui font placés, & toute l'enceinte magique fera faite avec les nombres de l'enceinte naturelle qui y étoient. Pour les autres enceintes qui font les fecondes, quatrićmes, fixièmes, &c. les nombres des quatre angles demeu reront dans leur place naturelle, & ceux des milieux feront tranfpofés tant de haut en bas que de droite à gauche, & ainfi ces huit nombres feront tous placés dans l'en 11 6531 63 51 61 71 59 91 57 111 78 107 80 81 52 39 48 85 42 15 44 26 110 101 108 43 18 17 16 35 116 120 9 8 117 I 115 4 64 24 23 311266 ceinte. Pour les reftans qui feront toûjours en nombre impair des deux côtés des milieux, on mettra dans la bande horizontale fuperieure à la place des nombres qui font au milieu entre les angles & le milieu, ceux qui font dans les deux bandes verticales au milieu des deux moitiés d'embas, comme icy dans la quatriéme enceinte à la place de 15 on mettra 79, & à la place de 19 on mettra 87 fans changer ces nombres de côté ; & de même dans la premiere bande verticale laquelle eft à gauche, à la place des nombres du milieu des deux moitiés, on y met les nombres du milieu des deux dernieres moitiés des deux horizontales naturelles, comme icy à la place de 35 on y met 19, & à la place de 79 on y met 107. Il reste encore dans la bande horizontale fuperieure & dans la verticale à gauche des nombres en quantité paire de chaque côté du milieu, dont une moitié fera laiffée dans fa place, & l'on tranfpofera l'autre moitié avec fes oppofés directement, en obfervant, comme on a fait cy-devant, de transposer dans la même bande ceux qui font également éloignés du milieu. Ces deux bandes étant difpofées, les deux autres qui leur font oppofées le feront auffi, en mettant à l'oppofite des nombres qui font placés, leurs complémens à la fomme du premier & du dernier, & tous les nombres qui fervent à remplir l'enceinte magique font ceux de l'enceinte naturelle, car dans l'enceinte naturelle les nombres oppofés centralement font tous complémens les uns des autres. Il est facile à voir que ces fortes de Quarrés peuvent être variés en plufieurs manieres, ou par les differens nombres qu'on peut laiffer ou tranfpofer dans les enceintes, ou en retournant & renverfant quelques enceintes, ou en trans pofant des bandes dans le Quarré Parfait, ou enfin en mettant dans les enceintes premiere, troifiéme, cinquiéme, &c, au lieu des huit nombres principaux qui s'y trou vent naturellement, les huit autres d'une autre enceinte de même nature, ce qui fe peut toûjours faire à cause que dans ces enceintes les trois nombres principaux de chaque bande feront toûjours une fomme égale au triple de la cellule du milieu. DEMONSTRATION. LEMME I. Dans le Quarré naturel toutes les bandes tant horizontales que verticales & diagonales, ont les nombres de leurs cellules en progreffion Arithmetique, comme il est évident par la difpofition des nombres du Quarré; & par confequent tous ces nombres auront les proprietés de cette progreffion. LEMME II. Dans le Quarré naturel & dans une enceinte, fi l'on prend dans chacune des bandes horizontales ou verticales deux nombres également éloignés de celui du milieu des bandes ou des extrêmes, ces quatre nombres feront une somme égale au quadruple de celle du milieu, ou au double double de la fomme des extrêmes du nombre quarré propofé. Car ces deux nombres dans chaque bande opposée, feront une fomme double du nombre du milieu de la bande, ou égale aux extrêmes par le Lemme I. & ces deux nombres du milieu ou ces deux extrêmes, qui se trouvent dans une bande prise de l'autre fens, feront encore par les mêmes raisons une fomme double de la cellule du milieu, ou égale aux deux extrêmes : c'est-pourquoy ces quatre nombres pris ensemble dans deux bandes oppofées, feront le quadruple de la cellule du milieu, ou le double des deux extrêmes. Comme dans l'exemple proposé 26 & 30 font le double de 28 ; & 93 & 95 le double de 94; & enfin 28 & 94 le double de 61: donc 26, 30, 93, 95 font le quadruple de 61, ou le double de 122, qui eft la fomme des extrêmes du Quarré. Ce fera la même chofe pour les Quarrés qui n'ont point de milieu. LEMME III. Si dans quelque enceinte d'un Quarré naturel on prend les nombres de deux cellules du milieu, l'une horizontale & l'autre verticale, comme 50 & 60 dans nôtre exemple, & celui 73 de l'angle oppofé à celui qui eft entre les deux nombres qu'on a pris, ces trois nombres feront le triple de la cellule du milieu 61. Car à cause de la progreffion Arithmetique on aura 149 +15=59, & 149++71=60: mais auffi ÷ 51 → 471=61; donc les trois nombres 50+ 60+ 73 le réduisent à 4973 61: mais encore 4973=2×61; donc 50+60+73=3×61. Ce qu'il falloit prouver. LEMME IV. Lorfque dans les bandes d'une enceinte du Quarré naturel, il y a entre les angles & le milieu un nombre impair de cellules; je dis que fi dans une bande on laiffe les angles à leur place, & qu'on change la cellule du milieu avec fon 1705. X f oppofée dans l'autre bande; enfin fi au lieu des nombres des cellules du milieu entre le milieu & les angles, que j'appelle les cellules des quarts, on substituë les nombres des cellules des quarts les plus éloignés de cette bande, qui font dans les bandes à côté, on aura cinq nombres qui feront égaux à cinq fois celui du milieu. Comme icy 37,41,70 74, 83, & 37,81,40,84,63. Car à caufe de la progreffion Arithmetique dans chaque bande, on a 3741=2×39, & 70+74=2×72: mais 2× 72 — 6183, donc les cinq nombres fe réduifent à 2×392 × 83 ✈ 61 : mais 2 × 39—2 × 83 —4×61, donc les cinq nombres propofés à cinq fois 61. Il eft facile à connoître par ces Lemmes que la conftru'ction du Quarré que nous avons donnée eft juste, puif. qu'elle y eft comprise & quelques autres encore que l'on pourroit faire. PROPOSITION XIV. Comparaison & rapport des methodes qui ont été données jufqu'à prefent, avec celles que j'ay propofées icy. Le plus ancien Auteur, à ce que je crois, dont nous ayons des methodes pour difpofer des nombres quarrés dans un Quarré qu'on appelle Magique, eft Manuel Mofcopule, dont j'ay trouvé un petit manufcrit dans la Bibliothèque du Roy. Il donne deux manieres de faire les Quarrés impairs. La premiere eft de compter les cellules par deux & par trois pour placer les nombres du Quarré de fuite, comme on verra dans l'exemple fuivant du Quarré de 5 de racine. Il place toûjours l'unité dans la cellule qui eft au deffous de celle du milieu; enfuite il compte deux cellules y comprenant celle-là même & en defcendant directement, puis étant venu à la feconde il détourne dans celle qui lui eft la plus proche à droite où il place le nombre 2. 124 7 20 3 41225 816 17 S13 9 1018 1 1422 236 19 21 5 |