Enfuite il compte encore deux cellules en deffous, y comprenant celle où eft 2: mais comme il n'y en a point, il remonte directement à celle qui eft au haut du Quarré, & détournant à droite, il place 3 dans celle qui eft voisine. Il poursuit de même, & lorfque les cellules manquent droite, il retourne à la premiere bande qui eft à gauche, comme on voit icy, & il poursuit de même jufqu'à la raci ne qui eft 5.

Etant venu au nombre de la racine, il compte trois cellules en defcendant directement, & y comprenant celle où eft la racine; & dans la troifiéme fans détourner, il met le nombre fuivant 6, & il continue comme il a fait d'abord, comme s'il commençoit par le nombre 6, jusqu'au nombre 10 qui eft un multiple de la racine: mais pour placer le nombre fuivant 11, il compte encore trois cellules en deffous, comme il a fait pour le nombre 6, & c'est la même chofe aprés tous les multiples de la racine, & par ce moyen il achève le Quarré, comme on le voit icy.

101811422 41225 8 16 23 619 215 17 S13219 |II|24 7 20 3

Pour fa feconde maniere, où il compte par trois & par cinq, comme il dit, il met toûjours l'unité au milieu de la bande horizontale fuperieure, & en comptant trois cellules en descendant y compris celle qui eft remplie, il place 2 dans celle qui est la plus proche à droite de la troifiéme ; & comptant encore trois cellules en defcendant, il met à la droite le nombre 3, & il continuë de même jufqu'à la racine en remontant en haut quand il eft au bas du Quarré, & paffant à la premiere bande verticale à gauche quand il n'y a plus de cellules à la droite, de la même manière qu'il a fait dans l'autre methode.

Mais quand il eft venu jufqu'à la racine ou à ses multi ples, il compte cinq cellules en defcendant directement, & il place dans la cinquième le nombre, comme 6, qui recommence un autre multiple des racines, comme on voit dans cette Figure du Quarré.

La premiere methode de cet Auteur n'est qu'un cas de

celle que j'ay donnée dans ma dixiéme Propofition, comme on pourra voir icy en faifant la résolution du Quarré fait par fa methode en deux Quarrés Primitifs, dont l'un contiendra les nombres fimples, & l'autre les racines.

Dans ces deux Quarrés, qui ne font qu'un cas des regles generales des premieres Propofitions, comme je l'ay marqué dans ma dixième, tous les nombres oppofés centralement & également éloignés du

centre, étant pris deux à deux, font une fomme égale au double de celui de la cellule du milieu.

Car le premier de ces Quarrés qui contient les nombres fimples, à dans fa bande horizontalę du milieu ces nombres ordonnés fuivant la regle de cette Propofition, & la bande horizontale fuivante recommence par le premier nombre de l'ordre aprés le premier de la bande fuperieure. C'eft-pourquoy le même nombre fe trouvera repeté dans la diagonale qui defcend de droite à gauche, & ce nombre étant auffi celui de la cellule du milieu du Quarré eft le moyen de ces nombres, & le Quarré fera bon par ce qui a été remarqué dans la même Propofition X.

Pour le Quarré des racines il fuit aufli les mêmes regles, & comme ces deux Quarrés font formés par deux repetitions differentes des nombres de l'ordre, le Quarré

Parfait fera bon.

Pour ce qui eft de la feconde methode, ce n'est auffi qu'un ças de ma fixiéme Propofition; car ce Quarré étant réduit dans fes deux primitifs, on trouvera l'ordre des nombres fimples de la premiere bande horizontale 5, 3, 1, 4, 2, dans l'exemple cy-deffus, & celui des racines 5, 15, ©, 10, 20, & celui des nombres fimples fe fait en recommençant les bandes horizontales fuivantes par le premier qui fuit celui du milieu dans l'ordre de la bande fuperieure ; & celui des racines par celui du milieu de la bande fuperieure.

On remarquera que par cette methode les nombres qui recommencent les bandes horizontales des Quarrés Primitifs ne font pas toûjours le même quantiéme aprés le premier, mais differens dans chaque Quarré; ce qui ne change pas les regles de ma fixiéme Propofition.

M. Bachet dans fes Problêmes plaifans imprimés en 1624, dit qu'il a vû les fept nombres Quarrés depuis 3 de racine jusqu'à 9 tout difpofés fuivant la queftion des Quarrés Magiques, & c'eft comme ils font dans Agrippa; mais qu'il n'a trouvé en aucun endroit de regle pour les faire: que pour ce qui regarde les Quarrés impairs, il en a inventé une qu'il donne comme on la voit icy; mais que pour les pairs il n'a pû rien trouver qui l'ait satisfait.

Il fait d'abord le Quarré ABCD comme dans cet exemple de 7 de racine, puis il ajoûte à chaque côté de

ce Quarré des especes de pyramides de cellules qui vont toûjours en diminuant de deux cellules jufqu'à l'unité; ainfi le premier Quarré ABCD se trouve changé en un autre Quarré plus grand EFGH, dont les cellules quar. rées font pofées fur l'angle par rapport aux côtés de ce Quarré, & chacun de ces côtés n'a auffi que fept cellules; il écrit dans ce nouveau Quarré E F G H tous les nombres de fuite du Quarré propofé, comme on les voit icy.

|22|47|16|41|10|354 S234817421129 30624491 83612 1331725431937 381432 1 264420 21398332 2745 ·6|15|4c| 9 | 34 328

Enfuite il transporte les nombres des pyramides dans les cellules vacantes du premier Quarré, celle d'enhaut en bas, celle de bas en haut, & celle d'un côté à l'autre, fans les renverfer ni les retourner,& par ce moïen tout le premer Quarré eft rempli fuivant ce qui eft requis dans la Propofi tion, comme on le peut voir icy. Il dit qu'on peut faire la même chofe avec d'autres nombres, pourvû qu'ils foient en progreffion Arithmetique.

Cette methode donne la même difpofition que la premiere de Mofcopule; c'eft-pourquoy tout ce que j'ay dit de celle-là fervira pour celle-cy: mais celle de Mofcopule eft plus fimple que celle de Bachet.

M. Frenicle donne d'abord la même regle que celle de Bachet, comme on peut voir dans le Traité de ces fortes de Quarrés qu'il avoit compofé, lequel j'ay fait imprimer fur fes manufcrits. Il donne enfuite des variations de ces Quarrés, comme je les ay marquées dans ma Propofition 11. Mais enfin il propofe de faire ces fortes de Quarrés de telle maniere, que fi l'on en ôte des enceintes jufqu'au Quarré du milieu, qui eft i dans les impairs, & 4 dans les pairs, le Quarré restant sera toûjours un Quarré Magi

que.

I

Il s'étend fort au long fur ces fortes de Quarrés; mais la methode qu'il donne pour les faire n'eft qu'un fimple tatonnement pour choisir les nombres du Quarré. Il est

2

vrai qu'il fait plufieurs remarques, lefquelles peuvent beaufervir pour pour la conftruction.

coup

J'ay expliqué dans ma treiziéme Propofition une maniere affez facile & fimple pour trouver tous les Quarrés poffibles d'une même racine lefquels ayent cette proprieté, & j'ay donné enfuite une methode generale pour faire un de ces Quarrés qui peut être varie en plufieurs ma

nieres.

La construction de cette efpece de Quarré Magique étoit un Problême qui s'étoit rendu celebre du tems de M. Frenicle, & la maniere de le conftruire paroiffoit plus fimple que celle dont on fe fervoit pour ceux qui n'avoient pas cette proprieté, car la démonstration en étoit évidente. C'eft pourquoy l'Auteur des nouveaux Elemens de Geometrie ne donne que cette conftruction, que le Pere Prefter a rendu plus claire dans fes nouveaux Elemens de Mathematique.

M. de la Louberre Envoyé extraordinaire auprés du Roy de Siam, rapporte dans la Relation de fon voyage fait en 1687, qu'il avoit appris que les Indiens de Surate avoient une methode de ranger les Quarrés Magiques; mais qu'il ne pût en avoir connoiffance que pour les impairs, qu'il rapporte comme il fuit.

46132022 |10|12|19|21| 3

5

On met l'unité au milieu de la premiere 1724 1815 815 bande horizontale, & en montant diago235 71416 nalement de gauche à droite. On place tous les nombres de fuite du Quarré, & quand les bandes manquent en haut on 1118229 defcend en bas, & quand elles manquent à droite on paffe à gauche: cela fe fait juf qu'à ce que l'on trouve la cellule remplie où il faudroit aller, ce qui arrive lorfque les nombres font les multiples de la racine; alors on met le nombre fuivant dans la cellule immediatement au-deffous du dernier, & par ce moyen on remplit tout le Quarré.

Il eft aifé de voir que cette conftruction n'est qu'un cas de ma dixiéme Propofition, où toutes les cellules oppo