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I. f.

APPLICATION

D E L' AL GEBRE A LA GEOMETRIE

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SECTION PREMIERE. l'on donne les définitions & les principes generaux

qui servent pour resoudre les Problémes,
démontrer les Theorêmes de Geometrie.

DÉFINITION S. 1.

L y a deux sortes de propositions dans la
Geometrie, ausquelles on peut appliquer
l’Algebre , qui sont les Theorêmes & les
Problêmes.

1. Les Theorêmes sont des propositions qui contiennent des veritez Geometriques qui ne dependent d'aucune operation, & qu'il faut seulement démontrer.

A

2. Les Problêmes font d'autres propositions qui demandent que l'on fasse quelque operation, & que l'on démontre que l'operation que l'on a faite, satisfait à la question, Ce qui s'appelle resoudre le Problême.

Il y a des Problemes déterminez, & d'autres indéterminez.

3. Les Problèmes déterminez sont ceux qui n'ont qu'une seule solution, ou qu'un nombre déterminé de solutions. Si l'on propose, par exemple, de couper une ligne donnée en deux également, on voit clairement que ce Pro

blême ne peut avoir qu'une seule solution ; mais si l'on Fig. 1. propose de couper une ligne donnée AB en un point C,

en sorte que le rectangle AC ~ CB soit égal au quarrée d'une autre ligne donnée EF; il est clair que ce Probleme peut avoir deux solutions, & qu'il n'en peut pas avoir davantage : car fi après avoir trouvé le point Ċ qui satisfait à la question, on la coupe encore en un autre point D qui soit autant éloigné de A que c l'est de B, le rectangle AD ~ DB sera égal au rectangle AC ~ CB puisque AD

CB, & AC=DB. Il est aisé de voir qu'il n'y a point d'autre point qui puisse satisfaire au Problème.

4. Les Problêmes indéterminez sont ceux qui ont une infinité de solutions : comme si l'on propose de diviser une ligne donnée en deux parties fans y admettre aucune autre condition, il est évident que tous les points de cette ligne satisfont au Problême. De même si l'on propose de trouver deux lignes dont le raport soit égal à celui de deux autres lignes données ; l'on voit évidemment que les deux lignes que l'on cherche, peuvent être prises d'une infinité de grandeurs differentes, & qui auront toujours entr'elles le même raport. Semblablement.

s. Si l'on demande de trouver un point B sur la circonference d'un demi cercle ABC, en sorte que la perpendiculaire BH, menée du point cherché B sur le diamerre AC soit moyenne proportionnelle entre les parties AH & HC du diametre AC. On sçait que tous les points de la circonference ont cette proprieté , c'est-à-dire que toutes

FIG. 2.

des perpendiculaires , comme BH sont moyennes proportionnelles entre AH & HC en quelqu'endroit que l'on prenne le point B.

DEFINITIO N. 6 Les lignes droites ou courbes qui renferment, ou fur lesquelles sont tous les points qui resolvent un Probleme indéterminé, sont appellez lieux Geometriques. Ainsi la demi circonference ABC est le lieu qui contient tous les Fig. 2. points B, d'où l'on peut tirer des perpendiculaires BH moyennes proportionnelles entre AH, & HC.

Å v E RIISS E M E N T. 7. Quoique l'on se propose ici de donner la maniere de montrer les Theorèmes de Geometrie par le moyen de l'Algebre; il ne faut pas entendre cela si generalement qu'il n'y en ait quelques-uns d'exceptez : car il y en a d'Elementaires l' Algebre n'a point de prise. On ne peut, par exemple, démontrer par l'Algebre que les cotez homologues des triangles semblables sont proportionnels. Il en est de même de plusieurs autres ; & c'est particulierement de ces deux Theorêmes que l'Algebre a besoin, e par le moyen desquels on vient à bout de tout, comme on verra dans toute l'étendue de cet ouvrage. Soit qu'il s'agisse de refoudre un Probleme , ou de démontrer un Theoreme de Geomedrie par le moyen de l' Algebre, il est toujours necessaire de trouver des équations et pour ce sujet il faut nommer toutes les lignes connues e inconnues qui y peuvent servir , par des lettres de P Alphabet , avec cette difference que l'on nommera les données ou connues , ou déterminées, ou conftantes par les premieres a, b, c, d, &c. & les inconnues on indéterminées, ou variables par les dernieres, r, s, t, u, x, y, z.

Et parcequ'il y a souvent plusieurs chemins pour trouver les équations necessaires pour la démonstration d'un Theorėme , ou pour la résolution d'un Problème , on pourroit prendre celui qui se presenteroit le premier s'ils conduisoient tous à des équations également simples, & d'où l'on püt tirer des constructions également élegantes : mais comme l'on arrive quelquefois à des équa

& que

tions très-composées, en suivant certaines routes, l'on arriveroit à de très-simples en en suivant d'autres ; il s'ensuit que lorsqu'on ne trouve

pas les premieres équations ausquelles on est parvenu par les premieres suppositions, assez simples, il en faut chercher d'autres par d'autres voyes, & ne se point 1cbuter: car lorsqu'un Problème est simple de sa nature , on trouve ordinairement des équations simples pour le resoudre : mais par. ceque pour trouver des équations simples, cela dépend particulierement des lignes que l'on nomme par des lettres inconnues, c'est-à-dire , qu'en nommant certaines lignes par des lettres inconnues, on arrive à des équations très-composées, au lieu qu'en en nommant d'autres par les mêmes lettres inconnues, on arrive souvent à des équations très-simples.

8. On ne peut donner de regles précises pour déterminer parmi les lignes inconnues celles que

l'on doit nommer par des lettres inconnues, pour parvenir aux équations les plus simples, ni pour tirer certaines lignes qui font necessaires tant pour la démonstration des Theorémes, que pour la resolution des Problèmes, mais l'on peut faire certaines remarques, & établir certains principes qui ne laissent pas d'avoir un grand usage dans l'un e l'autre cas., On les trouvera ailleurs.

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L

PRINCIPES GENERAU X

Pour appliquer l'Algebre à la Geometrie.
II. ORSQU'IL s'agit de resoudre un Problême, ou

de démontrer un Theorême de Geometrie, on doit premierement bien entendre ce dont il s'agit, c'està-dire l'écar de la question, & bien remarquer les qualitez des lignes qui doivent former la figure sur laquelle on doit operer: car il y a des lignes données de position seulement; d'autres données de grandeur, & de position tout ensemble ; d'autres données de grandeur, & non de position; & d'autres enfin qui ne sont données ni de grandeur, ni de position.

1. Les lignes données de position seulement, sont celles dont la situation est invariable & toujours la même , mais

dont la longueur n'est point déterminée: comme la ligne EFG , qui étant une fois posée dans une situation perpen- Fig. 2. diculaire au prolongement du diametre AC d'un demi cercle ABC, à une certaine distance du point C, ne peut avoir aucune autre position.

Les lignes données de grandeur & de position tout ensemble, sont celles qui ne peuvent changer de situation, & dont la longueur est déterminée , de sorte qu'elles ne peuvent ni alonger ni acourcir:comme le diametre AC du demi cercle ABC, qui étant une fois posé dans une situation perpendiculaire à la ligne FG, ne peut avoir aucune autre position.

Les lignes données de grandeur, & qui ne le sont point de position, sont celles dont la grandeur ne peut varier ; quoique leur situation puisse changer, comme le demi diametre DB, qui demeure toujours de même grandeur en Fic. 2. quelque endroit de la circonference ABC que l'on prenne le point B. Les lignes données de grandeur sont aussi appellées lignes connues ou lignes constantes , & on les nomme par des lettres connues, a, b,c,d, &c.

Les lignes qui ne sont données ni de grandeur ni de sition, sont celles qui en changeant de places, changent aussi de grandeur, comme la perpendiculaire BH qui changera de grandeur & de place autant de fois que le point H s'éloignera ou s'approchera du point D. Les lignes qui ne sont données ni de grandeur ni de position, sont aussi appellées lignes inconnues, indéterminées, ou variables, & on les nomme par des lettres inconnues x, y, z, &c.

2. Lorsqu'on veut resoudré un Problême, on le doit considerer comme déja resolu, & ayant mené les lignes que l'on juge necessaires, l'on nommera celles qui font connues par des lettres connues, & celles qui sont inconnues par

des lettres inconnues, & sans faire de distinction entre les quantitez connues & inconnues, on examinera les

qualitez de la question, & l'on cherchera le moyen d'exprimer une même quantité en deux manieres differentes ; & ces deux expressions d'une même quantité étant égalées, l'une

po

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