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bbzzxx détruit les termes où m se rencontre,

entre

༢༢ ,

aayy d'où l'on tire <=aa — *x, en mettant pour aayy sa va

агуу leur aabb bbxx tirée de l'équation aa – xx =

bb trouvée par la premiere Proposition; d'où l'on conclud que CI=AP® PB: & que CP=AI ~ IB : car l'on a aussi xx = aa 22:

COROLLAIRE V. F 16.63. 19. Si l'on fait dans cette équation xx = aa —22,3

(CI)=x (CP); les points P & 1 se confondront en un FIG. 64. seul point Y , & les deux diametres conjuguez MV, FS seront égaux, & l'on aura 2xx = aa ; donc x=

donc x=V-aa qui servira à déterminer leur position en cette sorte. Soit prise CY moyenne proportionnelle entre CB & fa moitié, & menée par y la perpendiculaire MYS qui rencontrera l’Ellipse aux points M & S, par où l'on menera les diametres conjuguez MV, FS qui seront égaux.

COROLL À I Ř E VI. F16.64. 20. Il est clair que AY x.YB=Cr* : car l'équation

(no. 18.) xx=aa - << subsiste toujours, quoique x=h ou CP=CI=CY.

COROLLA IR E VII. 21. A Cause de AY x YB=CY=(no.19.) į aa, l'on a (Art. 12. no. 5.) į aa (C72). yy ( P M2 ) :: aa (CB'). bb (CD?); car ( Art. 12. no. 5.) on a aa — xx.yy :: aa, bb. Mais (no. 19.) *=Vaa. Donc xx=

- aa. Donc substituant į aa dans le premier terme aa — xx de l'analogie précedente à la place de xx, on aura aa – į aa

= aa. yy:: aa. bb, d'où l'on tire y =Vļbb, qui ser. vira à trouver le point Q sur CD, comme l'on a trouvé

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(no. 19.) le point Y sur CA ; & la perpendiculaire FQM déterminera aussi la position des deux diametres conjuguez égaux MCV, FCS.

COROLL AIRE VIII. 22. PUISQUE ( Art. 12. no.5.) AP ® PB, ou (no. 18.) CI".F16.6;. PM'::CB'. CD', & AI ~ IB ou (no. 18.) CP. IS CB'. CD', l'on a C12. PM2:: CP. IS', ou CI. PM:: CP.IS, d'où il suit que les triangles CPM, CIS sont égaux. PROPOSITION XI.

Thegrême. 23. AYANT supposé les mêmes choses que dans la Pro- F 16.6z. position précédente

. Je dis que le rectangle VOXO M des parties du diametre MV faites par l'appliquée OL est à OL', quarré de la même appliquée; comme V M, quarré du diametre VM, est à FS, quarré du diametre conjugué à VM.

Ayant nommé AC, ou CB, a; CD, ou CE,b;CP,
*; PM,y;OR, ou ON, K; Clem; CV ou CM,d; FC,
ou CS ,f; CO,u; & O L OU OG, f.
Il faut prouver que dd - uu.

uu.] :: dd. ff :: 4dd. 4ff.
D E'M ON S T RATION.
L'Ona ( art. 12.)
A.

les triangles semblables MCP,
OCQ, donnent d (CM).* (CP) :: u(CO). m (CO);
donc
B. dm = UX,

& les triangles semblables SCI, LON,& CI (no. 18.) aa – xx, donnent f (CS"). aa — xx (CI)::S (LOʻ). 22,(ON); donc Coffre= aa xxff.

En reprenant présentement l'équation du quatriême Corollaire de la Propofition précédente no, 18 , qui étant divisée par 2, devient,

aa

dayy
bb

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tant dans le numerateur du premier terme , & dans le dénominateur du second pour aayy , sa valeur aabb - bbxx tirée de l'équation A ,l'on aura

damm

ZZXX

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aan x2648 l'équation B , & pour 23,

sa valeur

tirée de l'é.

ff quation C, l'on aura après les réductions & transpositions,

ddf dd

d'où l'on tire dd - uu.[::dd. ff:: 4dd.

ff 4ff. C. Q. F. D.

COROLL AIRE I. 24. SIMV & F S sont les deux diametres conjuguez égaux, d sera =f; & l'équation deviendra dd s, qui seroit une équation au cercle, Gi l'appliquée OL faisoit un angle droit avec CM.

D E' FINITION. 25. Si l'on fait d.f:: 2f. p, la ligne p sera appellée le parametre du diametre M.

COROLLA IR E II. 26. LA proportion d.f :: 28. p donne dp = 2ff; donc en multipliant par d, l'on a ddp=2dff; donc = id; c'est pourquoi si l'on met 'dans l'équation précédente pour la valeur, l'on aura dd zars d'où l'on tire dd uu. uu. ] :: 2d.p.

COROLLAIRE

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COROLLAIRE II I. 27. n peut encore mettre pour un autre raport * == ; & l'on aura dd - uu=mff, d'où l'on tire cire dd uu.] ::m. n.

On ajoutera ici les mêmes choses que l'on a dites art, 12, no. 9, 10, 11, 12, 13, & 14.

PROPOSITION XII.

Theorême. 28. Les mêmes choses étant encore supposées, si l'on mene Gq parallele à MV. Je dis que Fqx qs. 9 G* :: FS*. VM'.

En nommant encore CM , ou CV, d; CS, ou CF; f;co, ou qG, u;OG., ou Cq;f; Fq sera f-Si &qS, f+f

Il faut prouver que ff - D. uu :: 4ff. 4dd.

DE' M O N S T R A TI O N. EN reprenant l'équation de la Proposition précédente

dal - dd.

la multipliant par ff, transposant & diviff

ffuu sant par dd, l'on en tirera f -/= qui donnera f

jouu:: ff. dd :: 4.ff. 4dd. C. l. F. D.

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dd

D E' FINITION, 29. Si l'on fait f.di: 2d.p, la ligne =p fera appellée le parametrc du diametre F S.

P

I.

COROLLAIRE 30. L A Proportion précédente donne pf = 2dd; donc

f Pff = 2fdd, ou

metrant donc dans l'équation la valeur 44, l'on aura ff-f=

2f

j dd

P

2 fut

précedente pour la valeur

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P

P

d'où l'on tire ff - l. uu :: 2f. p.

COROLLAIRE II.

ff 31. L'ON

N peut encore changer le raport

2f ou en

P

muu

ce

un autre raport égal, & l'on aura ff -/= qui donne fluu::m. Na

On ajoutera encore ici ce qu'on a dit art. 12. no.9, 10, II, 12, 13 & 14.

COROLLA IR E III. 32. Il est clair ( no. 25.& 29.) que le re&tangle de l'un des diametres conjuguez par son parametre est égal au quarré de l'autre diametre.

PROPOSITION XIII.

Problême.. 33. Dev x lignes quelconques FS & MV qui se coupent par le milieu en C à angles obliques étant données de position & de grandeur pour deux diametres conjuguez d'une Ellipse, déterminer la position & la grandeur des axes de la même Ellipse.

Cette Proposition contient deux cas qu'on pourroit néanmoins réduire à un seul, comme on va voir dans le second : le premier est lorsque les lignes FS & MV sone égales : le second lorsqu'elles sont inégales.

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