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PREMIER CAS. 34 AYANT

ANT joint les points M, S&M, F, & ayant Fig. 65. divisé MS & MF par le milieu en P & Q, on menera les lignes CP, CQ indéfiniment prolongées de part

& d'au. tre qui se couperont à angles droits en C, puisque CS, CM, CF sont égales , & que les points P & Q divisent par le milieu MS & M F.

Soit ensuite faic PI=CP & QH=CQ, & du centre c par 1, & par H décrit deux cercles qui couperont CP, & CQ aux points A, B, D & E. Je dis que l'Ellipse dont AB & D E sont les axes , passera par les points M; F, V & S.

DEMONSTRATION. AYANT nommé AC, ou CB, 4; CD, ou C Esb, CP, ou PI , *; PM, ou CQ, ou QH,y; l'on a la propriété du cercle , & par la Construction, aa — XX (AP * PB) = = xx ( PI , ou CP* ), & bb— yy ( E QxQD)

= yy / QHP, ou CQ), d'où l'on tire x=vaa, =V { bb; c'est pourquoi ( no. 19. & 21.) les points S, M, V & F, sont à l'Ellipse dont les axes font A B, & D E. C. l. F. D.

SECOND CÄ S. 35. Soit

I prolongée CM du côté de M, & soit faite F16.66. MK prise sur le prolongement, égale à la troisième proportionnelle à CM & CS ; & ayant

mené par M la droite HMT parallele à FS, du point O milieu de CK; on élévera la perpendiculaire OG qui rencontrerá HMT en un point G ; puisque ( no. 13.) MT est tangente à l'Ellipse dont MV & F S sont deux diametres conjuguez ; (no. 10.) l'angle CMT est obtus, & du centre G l'on décrira un cercle qui passera par K, & coupera MG aux points T & H par où , & par C, l'on menera T c, & HC indéfiniment prolongées au-delà de c par raport à T & à H: l'on menera ensuite MP & MQ paralleles à

& y

& que

par C,

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CH & à CT ; & ayant pris CB moyenne proportionnelle entre CT &CP; CD, moyenne proportionnelle entre CH & CQ, fait CA=CB, & CE=CD. Je dis que l'Ellipse dont AB & ED ( qui à cause du cercle le coupent à angles droits ) sont les axes, passera par les points M,F,V & S.

DEMONSTRATION. AYANI

ANT abaiffé du centre G sur CT la perpendiculaire GN, le point N divisera CT par le milieu en N;& partant NG=CH, & ayant abbaissé du point $ sur la même CT la perpendiculaire SI, &'nommé les données CB, ou CA, a; CD, ou CE, b; CM ou CV, d; CF , ou CS, f;& les indéterminées CP, ou QM, X; PM, ou CQY; & CI, K; l'on aura ( Const. ) CP (x).CB (a) :: CB (a). CT= &

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aa

bb

y

*, & Q H = y, & les triangles semblables CIS, MQH, TPM donneront CI (2).CS (f)

fa :: MQ(x). MH= f*,8

& CI(%).CS(F)::TP.

aaf (-).TM=

donc HM + MT, ou HT=2; & partant GT = ; & partant GT donc à cause de

a'f l'angle droit GNT, (GT)

(NT'+

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MQ(x). QH (-y) :: C1(). 15 =

ху

b*zz

2bbzz

zzyy

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b* zz

*S*

2bbzz

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aayy

bb

donc à cause de l'angle droit CIS, ff (CS*) = 28+

xxyy (CI' + IS'); donc

K +

atyy zzyy

cette équation délivrée de fractions xxyy donnera A. b*x' = a*b* — 2a*bbyy + ay:

Pour abreger encore il faut diviser cette équation par

, qu'il faut égaler à o, & l'on aura B. a*6* 2a*bbyy + a*y-6*** = 0.

Laquelle étant divisée par aabb + bbxx - aayy, il viendra au quotient aabb bbxx

aayy=0, qui se réduit à cette équation aa -- ** = qui est une équation à une Ellipse dont les axes sont ( Prop. 1. ) AB=2a, & DE= 26, & qui prouve au moins que cette Ellipse passe par les points M, &V ; puisque (Hyp.) CM=Cỹ. Or ( Const.) CM (d).CS (f):: CS(f). MK=:

aaff ffacc mais par la proprieté du cercle

(HM MT CM X MK= Const. CS*)=ff, d'où l'on tire = aa — xx; c'est pourquoi ( no. 18.) l'Ellipse passe ausi par les points S & F. C. Q. F. D.

R E M A R R v E. Pour trouver le diviseur aabb

aayy bbxx , tirez la racine quarrée de l'équation marquée ( A) vous aurez aabb

- aayy=+bbxx, laquelle étant réduite à o, donnera aabb

- 4ayy - bbxx=0, qui sera le diviseur cherché.

Si vous voulez une maniere plus générale pour trouver ce diviseur, ordonnez l'équation A en cette, forte,

ZZ

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bbxx

ad

C. a*y* — 2a*bbyy = 6*x* — a*b*.

Divisez-la par a*, & vous aurez D. y* - 2bbyy

6. Ajoutez de

part & d'autre le quarré 6* de la moitié bb du coefficient 2bb du second terme 2bbyy, & vous aurez E. y* — 2bbyy + 6*

Tirez la racine quarrée de part & d'autre, & vous aurez F. yy — bb=+

Multipliez tout par aa , & vous aurez aayy aabb =+bbxx. Faisant passer tout d'un côté, vous aurez les deux équations aayy ---- aabb + bbxx=0, & aayy — aabb

-bbxx=0, à cause qu'un quarré positif a toujours deux racines, l'une positive & l'autre négative. Enfin changeanc les signes de la premiere de ces deux dernieres équations, vous aurez aabb

= 0, qui est le diviseur cherché.

COROLLA I R E. 36. SI MV=FS; CM sera=MK; car par la constru&tion MK a été faite égale à la troisième proportion. nelle , à CM & CS. Donc si MV=FS, par conséquent CM=CS. Donc CM=MK; & partant les points 0 & G se confondront avec le point M, qui sera le centre du cercle qui étant décrit par c déterminera la position des axes par sa rencontre avec HT en H & en T, qu'on déterminera comme on vient de faire. PROPOSITION XIV.

Problême. Une équation à l’Ellipse ab — xx=

xx="

métant donnée, décrire l'Elipse , lorsque les coordonnées font un angle oblique.

On déterminera la grandeur des diametres conjuguez

aayy - bbxx

par la Prop. 6. on trouvera les axes par la Proposition précedente; on déterminera les foyers par la troisiême, & on décrira l’Ellipse par la premiere.

XIV.

SECTION VII. l'on démontre les principales proprietez de l'Hyperbole décrite par des points trouvez

sur un Plan.
PROPOSITION I.

Theorême.
N angle quelconque HCK, & un point quel F.G. 67.

conque D dans cet angle , étant donnez de position sur un Plan; si l'on mene librement par le point D une ligne IDK qui rencontre CH w CK en I den K, e qu'on prenne sur ID K la partie KO=ID. Je dis que les points o en D, ex tous ceux que l'on trouvera comme on vient de faire le point o, en menant d'autres lignes par le point D, feront à une Hyperbole , dont CH & CK sont les asymptotes.

DE' M O N S T RATION. Ayant mené

ANT mené par les points D & 0, les lignes DL, OG paralleles à CK, & DN, OF paralleles à CH, & nommé les données DL, ou CN, ou (Const.) FK,; car KN=OG, puisque le triangle KDN a ses côtez égaux aux côtez du triangle OGI, chacun à chacun. 10. Le côté KD=01; car ( par construction ) KO=DI. Donc ajoutant OD, on aura KD=01. 2°. L'angle adjacent NKD est égal à l'angle adjacent GOI, puisqu'ils sont externe & interne du même côté. 30. L'autre angle adjacent N DO est aussi égal à l'autre angle adjacent G10

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