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par la même raison. Donc le triangle NKD est égal au triangle G01. Donc leurs côtez sont égaux chacun à chacun. Donc KN=OG. Mais OG = FC, étant paralleles entre-elles, & comprises entre les mêmes paralleles OF, GC, par construction. Donc K N = FG. Donc ôrant FN de part & d'autre, il restera FK=CN=DL.

Reprenons. Ayant donc nommé DL,OU CN ou FK, C; DN, ou LC, d; & les indéterminées CF, ou GO, S; FO, ou CG ou NR, K; NF ou RO fera f-,& DR, d-k; les triangles semblables DRO, OFK donneront d

2 (DR). [-C (RO) :: (OF). c (FK); donc cd -2=

-62, ou cd=. Et comme cette équation est la mê. me que celle qu'on a trouvée (art. 9. no. 16.), il suit que la courbe décrite comme on vient de dire, est une Hyperbole. Et parceque / croissant, & diminue, ou au con. traire , & qu'on peut augmenter / à l'infini , & diminue. ra aussi à l'infini ; c'est pourquoi les lignes CH, & CK sont les asymptotes, parcequ'elles ne peuvent jamais rencontrer l'Hyperbole. c. l. F. D. L'équation cd=sz peut aussi se résoudre par le cercle.

. F16.68. Car faisant un cercle ABC, dont le rayon CA sera pris

à volonté, si on mene la corde AB , dont AD=C & DB=d, & que par le point D qui sépare les deux lignes données, on tire à volonté une autre corde EG, la ligne ED sera égale à 2, & DG égalera S. Mais comine on peut prendre le rayon du cercle aussi grand que l'on vou, dra , il est manifeste que a & s augmenteront à l'infini.

COROLLAIRE I. F16.67. 1. Il est clair que tous les rectangles semblables à CF x

FO sont égaux entr'eux, puifqu'ils sont toujours égaux au même rectangle CL * ID; & que l'on a toujours se cd.

COROLL AIRE I I. 2. Si l'on prend sur l'Hyperbole un point quelconque B, & que l'on mene par B une ligne quelconque TBVS

qui

qui rencontre l'Hyperbole en un autre point K , & les
asymptotes en T &'en S, TB sera toujours égale à VS:
car ayant mené BX & VQ, paralleles aux asymptotes ,
l'on aura ( Corol. 1.) CX X XB=CQ QV, ou ( en
nommant CX, d; XB, C; CQ,fi QV,;)a=cd,
ou fx=cd 62, qui étant changée en analogie,
donne d - RiS-C: Zic d'où il suit par la Démon-
stration de cette Proposition que XB=OS; donc TB
=VS.
COROLLAIR E

I II.
3. Il est clair que les parallelogrammes CD,CB,CO,
CV sont égaux entr'eux.

COR Ó L L A IR E I V. 4. Si l'on avoit nommé NF, ou RO,S, l'on auroit eu sa =d-ch, qui montre que lorsqu'une équation à l'Hyperbole renferme plus de deux termes , les indéterminées n'ont point leur origine au sommet de l'angle des asymptotes.

COROLLLA ÍRE V. s. Il est évident que lorsqu'on décrit une Hyperbole par un point fixe, comme D, les points o que l'on trouve en faisant KO = DI peuvent servir à en trouver d'autres comme B e B à en trouver d'autres comme V , &c. PROPOSITION II.

Theorême. 6. En fupposant les mêmes choses que dans la premiere F 16.67: Propofition, si l'on mene par le rommet C de l'angle des asymptotes une ligne quelconque CM qui rencontre o G& DL, prolongées ou non prolongées en P & en M. Je dis que le rectangle ČM ~ CN, ou CM * LD est égal au re{tangle CP x CF , ou CP x GO.

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Ayant nommé les données CL, d; CN, C; CM, a, & les indéterminées CF, ou GO,S; CG,ou F0,2; CP, u.

Il faut prouver que ac = uf.

DEMONSTRATION. A Cause des triangles semblables CLM, CGP, l'on a CL. CAL :: CG. CP, ou en termes algebriques d. a :: 2. U; donc du = az: mais (Prop. 1.)/2=cd, d'où l'on tire z=; mettant donc cette valeur de

z

dans l'équation précédente , l'on aura fu=ac. C. Q. F.-D.

On peut encore démontrer cette Proposition en cette sorte. À cause des paralleles DM,OP, l'on a CL. CG :: CM.CP; c'est pourquoi en mettant dans l'équation de la Proposition précédente fa=cd, en la place de d (CL) & de 3 (CG) leurs proportionnelles a (CM) & u(CP), l'on aura fu ac. PROPOSITION II I.

Problême. F19.69.4. UNE Hyperbole MBm, dont les asymptotes font CT,

CH, étant donnée , il faut d'un point quelconque B, donné sur l'Hyperbole , mener une tangente HBT.

Ayant mené par B les droites BG & BI paralleles aux asymptotes, soit prise IT = C1. Je dis

que TBH'menée du point 7 par B touchera l'Hyperbole en B,& ne la rencontrera en aucun autre point.

DEMONSTRATION. Par l’Hypothese TBH rencontre l’Hyperbole en B ; & parceque CI=IT, TB sera ausli = BH; d'où il suit que BT H ne rencontre l'Hyperbole qu'en un feul point B: car si elle la rencontroit en un autre point 0 ; HO ( no.2.)=BT seroit = BH.ce qui est impossible. C'est pourquoi TBH touche l'Hyperbole en B. c. Q. F. D.

la ligne

COROLLA I RE 1.. 8. Il est clair que toutes les tangentes, comme TBH terminées

par les asymptotes en T & H, sont divisées en deux également par le point touchant B.

COROLL AIRE II. 9. Il suit aussi que si la position de la tangente TBH, est celle que la ligne menée de l'angle C des asymptotes au point touchant B, divise cet angle en deux également, les angles CBH, CBT seront droits, & au contraire : car puisque les angles BCG, BCI sont égaux, le parallelogramme Gi fera un rhombe ; & partant CI=CG; donc CT (no. 6.) double de CI=CH double de CG; c'eft pourquoi les angles CBH, CBT sont droits.

COROLLAIRE III. 10. Il suit encore que fi l'angle des asymptores HCT est droit dans toutes les Positions de la tangente TBH , ligne C B menée de l'angle des afymptores au point tou. chant B sera =BH=BT ; fi cer angle est aigu, CB surpassera BH, ou BT ; s'il est obtus CB sera moindre . que BH, ou BT: car si du centre B milieu de HT l'on décrit un demi cercle sur le diametre HT, le point C sera sur la circonférence si l'angle HCT est droit ; hors du demi cercle, s'il est aigu ; & dans le demi cercle, s'il est obtus; donc au premier cas CB=BH ou BT ; au second, CB , surpasse B H, ou BT ; & au troisiéme , elle est moindre.

COROLLA IRE uIl est encore manifeste que les lignes LK, Mm paralleles à la tangente HBT sont coupées par le milieu en P par la droite CB prolongée, car puisque BH= BT, PL sera = PK: mais (n’. 2.) ML=mK ; donc PM= Pm.

la

IV.

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.

PROPOSITION IV..

Problême, 12. Une équation à l'Hyperbole xy = aa étant donnée décrire l'Hyperbole. On voit par l'équation, qui n'a que

deux termes, que l'origine des indéterminées x, & y est au sommet de l'an. gle des asymptotes.

Soit c l'origine des indéterminées x, qui va vers T; & y qui va vers H, & ayant pris CI & CG chacune =a, on achevera le parallelogramme CGBI: & l'on décrira ( Prop. 1.) l'Hyperbole MBM, entre les asymptotes CT, & CH.

DEMONSTRATION,
Elle est évidente par la premiere Proposition.
PROPOSITION V.

Theorême.
F 16.69.13. SOIT une Hyperbole MBm dont CH & CT sont les

asymptotes ; soit aulli par un point quelconque B, menée ('no. 7.) une tangente HBT, & du point C par le point touchant B la ligne CBP. Si par quelque point P , l'on mene PM parallcle à HT, qui rencontre l'Hyperbole aux points Mem, & les asymptotes en L & K. Fe dis que CP . CB'. PM::: CB:. BH', ou ce qui revient au même , ayant prolongé B C en A, & fait CA CB, que A Px ÞB, PM::: AB'. TH”,

Ayant mené BI, BG, mQ &mN paralleles aux asymprotes,

& nommé les données AC, ou CB, a; BH, ou BT ,6.; CI, ou GB, C; CG, OU IB, d; & les indétermi. nées CP, *; P M , ou Pm,y; CQ, ou Nm,S; CN ou Om , ; AP sera x+a , & , x. Il faut prouver que xx — aa,

aa. yy :; aa. bb:: 40a. 466,

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