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C

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bbcdxx

- edyy: mais

bbxx

D'EMONSTRATION.
Les triangles- semblables CBT, CPK donnent CB
(a). BT (6):: CP (*). PK= b; donc mK bx 별
-9, mL = 6 + y; & à cause des triangles sembla.
bles TBI, KmQ, & BHG, MIN, l'on a b(TB).de
(BI) :: 6-y(Km). 2(mQ), & 6 (BH)(BG)
:: 6 + y (m2). Š (MN), d'où l'on tire ces deux équa.
tions bz = bdx dy, & b=liant to cy, & en multiplianç
le premier membre de l'une par le premier de l'autre, &
le second par le second, l'on a bbfa =
par la premiere Proposition fa=cd; donc bb=
yy, en divisant par les quantitez égales [<, & cd; d'où
l'on tire xx

anyy; donc ** -- aa: yy. :: aaa bb ::
4aa. 466. C. Q.F. D.

COR o L L'ALA E
14. Il est évident (Art. 9. no. 7, 11 & 12), &

par cette
équation xx -- aa =

, qui est la même que celle du même Article no. 11, que le point C, est le centre de l'Hyperbole M Bm, que A B est l'axe; fi l'angle. CBH F16.70; est droit ; autrement A B est nommée diametre détermi, né; que D E parallele & égale à HT est l'axe , ou le diametre conjugué à AB, que MP & MF sont les ordonnées ou appliquées aux diametres conjuguez A B & DE. De sorte que F P est le parallelogramme des coordonnées,

bb

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aayy

bb

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COROLL AIRE: III
F16.70. 15. L'ÉQUATion précedente xx

ATION precedente xx — aa = "" donne
- + Vbb + yy, qui fait voir que si l'on prolon-
ge M F en N ; en forte que FN=FM, le point N.
fera à l'Hyperbole ; & fi l'on fait y = a, la ligne MN
se confondra avec la ligne A B, le point F avec le point
C, & l'on aura x =

+a; d'où il suit que le point M se
confond avec le point B, & le point N avec A ; de sorte
que CA=CB, & que le point A sera à l'Hyperbole.

Si dans la même équation on fait x=0, ayant mené
NQ parallele à DE, ou à PM , les points P & Q se con-
fondront avec le point C, & l'on aura y=+V-bb. Or
parceque les valeurs de y. sont imaginaires ; il suit que
I'Hyperbole ne rencontre point le diametre DE, ni de
côté ni d'autre du point C. Et parceque l'on tire aussi de
la même équation y=+*Vxx - aa ; il suit que l'Hy-
perbole rencontre les paralleles MPm, Non des deux
côtez de AB, tant que x( CP, ou CQ) surpasse a ( CB
ou CA); qu'elle coupe A B en B & À , lorsque CP=
CB, ou x= a: car xx - aa devient au aa=0;& par
conséquent y=+Vxx

O;
&

que lorsque les
points P &ę tombent entre A & B , c'est-à dire, lorf-
que a surpasse x, l'Hyperbole ne rencontre point les

ра.
ralleles à De menées entre A & B : car la quantité xx —
aa devient negative , & par conséquent les valeurs de
=+Vxx aa deviennent imaginaires. Enfin l'é-
quation xx — aa= fait voir que x (CP, ou CQ)
croissant, y( PM, ou QN ) croît aussi ; c'est pourquoi
l'Hyperbole s'éloigne de plus en plus à l'infini du diame-
tre AB prolonge de part & d'autre à l'infini: car il n'y a
rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'in-
fini, d'où l'on voit que l'Hyperbole a deux parties M Bm

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aayy bb

& N An opposées l'une à l'autre, qui ne se rencontrent point & s'étendent à l'infini. Ce sont ces deux parties de I'Hyperbole que l'on appelle Hyperboles opposées.

COROLLA I R E II 1. 16. Il est clair que les Hyperboles opposées sont égales & semblables ; puisque les coordonnées NF, ne de l'une sont égales aux coordonnées MF, MP de l'autre.

OLLAIR E. IV. 17.

Il est aussi manifeste que les Afymptotes CH, CT de l'Hyperbole M Bm, érant prolongées vers g, & versk, sont ausi les Asymprotes de l'Hyperbole opposée N AN; puisque Nk & ng, lont toujours égales à MK & ML.

COROL L'AIRE -V. 18. Il est encore évident que la ligne bÀt menée par le point A parallele à De, ou HT , & qui rencontre les Afymptotes en b&t, est égale à HT, ou à DE, & qu'elle touche l'Hyperbole N An en A; puisqu'elle est divisée en deux également en A , comme HT l'est en & que CA=CB.

COROLLA I R E VI. 19. L'on a (no. 12.) M2=

-y, & MĶ= a +yo l'on a aussi (no, 13.) bb

--y +3,qui montre que BH'(66)= KM x ML.

COROLLAIRE VII. 20. L'On tire de l'équation à l'Hyperbole xx - 2 =

cette autre équation aa=xx

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bx

bx

bbxoa

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44

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aayy

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bb

XXtob

b

ay

b

mais GM=x-2, & MO=x+7 : car les triau. gles semblables HBC, CFG donnent HB (6). BC (a) :: CF ou PM (y). FG=

& partant GM = FM

b

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OM x MG (

*{**-) = CB" (aa).

D E' F'INII I O N S. 21. Si l'on décrit ( Prop. 1.) dans les angles HCt, Tch par les extrêmitez D & E du diametre DE conjugué au diametre AB, les Hyperboles opposées RDS, TES, ces Hyperboles seront nommées conjuguées aux Hyperboles opposées MBM, NAN. COROLLAIRE

RE VIII. 2. Il est clair que les lignes Ht, Tb passeront par les points D & E, & qu'elles toucheront en ces points les Hyperboles RDS ,rEs, puisqu'elles y sont divisées par

le milieu, comme AB, à qui elles sont paralleles & égales, l'est en C.

COROLLAIRE I X. 23. D'où il suit que DE & AB sont les axes conjuguez des Hyperboles RDS, rE), fi DE est perpendiculaire à AB; autrement, elles en sont deux diametres conjuguez,

22.

AVERTISSEMENT.

24.

I l n'eft point necessaire de démontrer que les Hyperboles RDS, rEl, ont les mêmes proprietez que les Hyperboles MBM, NAn; puisque ce ne seroit qu'une répétition inutile.

DE'FINITION,

D E' F INITIO N. 25. Si l'on fait a.b:: 26. que je nommep, la ligne égale à p, est appellée le parametre du diametre AB.

2bb

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ap

24

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bb

aayy

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bb

bb

24

2 ayy

da

P

m

myy

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26. d. 6 :: 26. donne = 266, ou aap = 2abb d'où l'on tire

c'est pourquoi , fi dans l'équation à l'Hyperbole xx — aa = ; au lieu de

l'on met sa valeur l'on aura xx

d'où l'on P rire xx — aa .yy :: za.p, & si l'on met en la place de un autre raport égal l'on aura XX

On ajoutera à ce Corollaire ce qu'on a dit (Art. 12. no.9.10. 11. & 12.)

COROLLA I RE XI. Si l'on avoit nommé (no. 12.) BP, * ; AP auroit été 2a + x, & l'on auroit trouvé cette équation 2ax + xx

qui montre que lorsque les indéterminées n'ont point leur origine au centre de l'Hyperbole, il se trouve des seconds termes dans son équation.

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28. SI dans l'équation à l’Hyperbole xx-aa=

a est=b, ces deux équations de

bb viendroient les deux suivantes 4* – aa=yy, & 2ax +o

R

Zaxt XX =

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