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xx=yy , c'est-à-dire, qu'alors A PR PB=PM'; les diametres conjuguez AB, D E seront égaux ; ( no. 9.) les asymptotes à angles droits ; & tous les diametres égaux à leurs parametres.

L'on remarquera que ces deux équations à l'Hyperbole ne different de celle du cercle, & les deux premieres de celle de l’Ellipse, qu'en ce que

les deux

quarrez inconnus, ont un même signe lorsque l'un est dans un membre de l'équation , & l'autre dans l'autre; ou differens signes , lorsqu'ils sont tous deux dans un même membre , & c'est le contraire dans celle du cercle, & de l'Ellipse, comme on a remarqué ( Art. 12, no. 13.); d'où l'on conclura qu'une équation locale appartiendra tou. jours à l'Hyperbole , quelque mélange de constantes qu'il s'y puisse rencontrer, lorsque les quarrez des deux lettres indéterminées auront un même signe, l'un étant dans un membre de l'équation & l'autre dans l'autre , ou des signes differens, étant tous deux dans le même membre; & souvent même lorsque les indéterminées s'y trouveront multipliées l'une par l'autre. Je dis souvent: car il y a des exceptions à faire qu'on trouvera dans la suite.

DEFINITIO N.
L'HYPERBOL E qui a ses asymptotes à angles
29.
droits, ou ( no. 9. ) ce qui revient au même , dont les
diametres sont égaux entr'eux & à leurs parametres , est
appellée Hyperbole équilatere ; parceque l'axe d'une Sedion
conique est appellé par Apollonius , latus transversum, &
son parametre , latus reétum.

PROPOSITION VI,
30. UN E équation à l'Hyperbole xx + cc –dd =
étant donnée, décrire l'Hyperbole,

Soit c l'origine des inconnues x qui va vers P, & y qui ya vers f , & qui font un angle quelconque FC P , le

myy

n

Fig. 70.

a

myy

point C sera aussi le centre de l'Hyperbole; puisqu'il n'y

point de second terme dans l'équation. En supposant 10. Que d surpasse c; soit ff=dd - 00, & mettant dans l'équation en la place de dd - cc sa valeur ff, elle deviendra xx-f=

Soit pris CB=f; CB sera (no. 13.) le demi diametre de l'hyperbole qu'il faut décrire. Soit fait m. n :: ff. fif; vaff sera ( Art. 12. no. 12.) le demi diametre conjugué CD. Ayant mené par B la ligne HBT parallele à CD, & fait BH & BT chacune égale à voting

CD ; l'on menera les lignes CHL, CT K du centre C par les points H & T qui seront ( no. 13.) les asymptotes, & l'on décrira l'Hyperbole ( Prop. 1. ) par le point B.

D E'M ONS I R A TI O N. Elle est évidente par les Art. & no. que l'on vient de citer. 30. En supposant 20. Que c surpasse d, soit fait gg

dd, & mertant dans l'équation en la place de cc dd sa valeur 98, l'on aura *x+88 =-:

: mais parceque cette équation n'exprime point dans l'état où elle est, la proprieté de l'hyperbole démontrée (no. 13. ) ou dans la Prop. s: car xx +88 n'est point égal à APR PB; il faut la changer en celle-ci multipliant par n, divisant parm, , & transposant, qui montre que le demi diametre exprimé par Vag% doit être pris sur CF exprimé par y. Ayant donc pris CD=V"; & fait

88, 8 sera le demi diametre conjugué à CD; fi l'on mene présentement par D la ligne tDH parallele à CB , & qu'on fasse +D & DH chacune=8; les lignes menées du centre c par t & par H, seront les asymptotes; & l'on décrira l'hyperbole par le point D.

CC

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ngs n. m ::

m

2

D E'MONSTRATION.
ELLE est la même que la précédente.
PROPOSITION VIL.

Theorême,
F16.71. 31. UN E Hyperbole BM , dont Ceft le centre ; AB & DE

les deux axes, ou deux diametres conjuguez, quelconques; a
CH, CT, les asymptotes , étant donnée. Si l'on mene (no. 6.)

quelconque M autre que B la tangente EMF, qui rencontre les asymptotes en E & F. Je dis qu'elle rencontrera le diametre A B en un point L, qui sera situé entre le centre C, & l'extrêmité B du mėme diametre A B ; que CP, CB :: CB, CL.

Ayant mené par M les droites. PMK parallele à DE, ou HT; MO, parallele à CB; MI, parallele à CH, &

par le point B , les droites BG, paralleles aux asymptotes CT , CH, & nommé les données & constantes CB, ou CA, a; CD, ou BH; ou BT ,b; BG, ou CN,C; BN, ou CG, d; & les indéterminées CP, x; PM,y; CI, ou (no. 6.) IE ,; MI, 2, & CL, t. Il faut prouver que x. a : a. t.

D E M O N STRATION. LEs triangles semblables CBT, CPK donnent CB(a). BT (6)::CP (x). PK=-; donc MK= triangles semblables TBN, KMI, donnent b(TB). d (BN) :: Fy(KM). Z(MI), d'où l'on tire x= bdx — ady. Les triangles semblables BNC, M10 donnent EN (d). NC(C):: MI(3). 10=*; donc Ep =

ba

bx

y. Les

bx

ab

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