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cd

c'est

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zadz

de t,

bdx

ab

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: mais

EI +10=+; & BN(D). BC (a) :: MI (). MO =. Enfin les triangles semblables EOM , ECL donnent + (EO). (OM):: 25(EC). t(CL), d'où l'on tire zasz

: mais (Prop. 1.) =cd, & drt-cz pourquoi en mettant ces valeurs de S& de fz dans celle l'on aura t =

Or l'on vient de trouver dd + ZZ ady

mettant donc cette valeur de 3, & celle de son quarré dans la précedente valeur de t, l'on aura.

2aabbx 2ažby après les réductions t=

aabbbbxx - zabay +-aayy (Prop.s.) aayy=bbxx - aabb; c'est pourquoi en mettant cette yaleur de

aayy

dans la derniere de t, l'on aura après les réductions, t= and; d'où l'on tire x.a::a.t.c.Q.F.D.

COROLLAIRE 32. Il est clair qu'on peut par ce moyen,

d'un point quelconque donné sur l'Hyperbole, mener une tangente sans le secours des asymptotes, en prenant CL troisiéme proportionnelle à CP'&'à CB.

COROLL AIRE I I. 33. Si de CP (x) l'on ôre c. ("), l'on aura PZ= pour l'expression de la soutangente PL.

COROLLAIRE III. 34 I de CB (a) l'on ôte cz (), l'on aura B Z

ou si l'on suppose que CP (x) devienne infi

I.

ax

aa

ax

GL:
132 APPLICATION DE L'ALGEBRE
niment grande , le point touchant M sera infiniment
éloigné de B; & effaçant le terme - aa dans l'expression
de BL; parcequ'alors il devient nul par raport à ax,
l'on aura BL= =a; d'où il suit que le point I tom.
be en C , & la tangente L M devient Ç E qui est l'afym.
ptote de l'Hyperbole.
PROPOSITION VIII.

Theorême.
F16.72. 35. Une Hyperbole B M, dont c eft le centre ; A B &

DE, les axes conjuguez, étant donnée ; si l'on fait CF & CG
chacune égale à l'intervalle BD,ou BE, & que l'on mene d'un
point quelconque M, pris sur l'Hyperbole , les droites MF, MG,
& (no. 32. ) la tangente ML. Je dis que l'angle L M F sera
égal à l'angle LMG.

Ayant mené l'appliquée M P perpendiculaire à l'axe
AB, & nommé CB, ou CA, a; CD, ou CE,b; CF,
ou CG, ou BD, r; MF; 2; MG,); CP, *; PM,y; PF
fera, *(; PG,*+f; & CL (no, 31.)

donc FL

0x + da
& GL=6+
Il faut prouver que MF (2). MG(S):: FL (**

cx + aa
(**)

:: 66 - aa. cx + aa.

DEMONSTRATION.
LEs triangles rectangles FPM & GPM donnenc
A. XX — 20x + 6 + yy=2,
B. xx to 26x + 16+ yy=s : mais (Prop. 4.)
C.
. уу

& le triangle rectangle BCD donne

aa

ga

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оп

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bbwca

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CCXX

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bb = aa , mettant donc cette valeur de ble dans

- aace ta* l'équation C, l'on a yy

& mettant cette valeur de

yy

dans les deux équations A, & B, l'on aura après les réductions & extractions de racines , cx aa= az, & ,c* + aa = af; donc ex:

5af; donccx.com aa. cx + dai: az af :: 2.1.C.Q.-F. D.

CÓRO L'L AIRE 36. D'où l'on voit que si l'un des points F, ou G étoit un point lumineux, les prolongemens des

rayons réfléchis à la rencontre de l'Hyperbole se réuniroient à l'autre point G ou F.

DE' É INITION. 37. LEs points F & G sont appellez les foyers de l'Hyper bole,

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SECTION VIII. l'on donne la méthode de résoudre les Problémes

indéterminez du premier du fecond degré c'est-à-dire , de construire les équations à la ligne droite, aux quatre courbes du premier genre , qui font le Cercle, la Parabole, l'Ellipse @z l'Hy, perbole.

M É T H O DE.

'On a vû dans les Sections précédentes 10. Que XV. L

les équations indéterminées, ou les lettres inconnues qui ne sont multipliées ni par elles-inêmes ni entr'elles, appartiennent à la ligne droite , & que lorsque ces équations n'ont que deux termes , comme celle-ci ay bx, ou x=y; les inconnues x &y ont leur origine au point d'intersection de deux lignes droites, dont l'une renferme tous, les points qui satisfont au Problême, & l'autre, tous les points d'où menant des lignes paralleles à quelque ligne donnée, & terminées par la premiere , la construction du Problême se trouve faite. 2°. Que lorsqu'une équation à la parabole n'a que

deux termes, l'un desquels est le quarré de l'une des inconnues, & l'autre , le produit de l'autre inconnue par une quantité connue, comme ax=yy; les inconnues x, & y ont leur origine au sommet de l'axe, ou d'un diametre expri

& que lorsqu'elle a plus de deux termes, low rigine des inconnues n'est point au sommet d'un diame.

30. Que lorsqu'une équation au cercle, ou à l’Ellipse, ou aux diametres de l'Hyperbole, n'a que trois termes , deux desquels renferment les quarrez des deux inconnues, & le troisiéme est entierement connu, comme sa — Xx =

= bx

mé par x,

tre.

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CC

* & y ont leur origine au centre de ces trois Courbes , & que lorsque ces équations ont des seconds termes , l'origine des inconnues n'est point au centre.

4o. Que lorsqu'une équation aux asymptotes d'une Hyperbole n'a que deux termes dont l'un est le produit des deux indéterminées, & l'autre un Plan connu comme xy = ab, l'origine des inconnues x & y est au sommet de l'angle des asymptotes , & que lorsque cette équation a plus

de deux termes, l'origine des inconnues est ailleurs ;
où l'on remarquera que les quantitez constantes, quel-
que composées qu'elles se puissent rencontrer , ne changent
rien de ce que nous venons de dire ; puisque l'on peut
toujours mettre en leur place des valeurs simples: par
exemple cette équation -- xx=yy, est une équation
au cercle dont le centre est l'origine des indéterminées :
car on peut trouver (Art. 5.) une quantité simple dd
de sorte que mercant dd dans l'équation précé-

a4 - 64
dente en la place de elle deviendra dd
Il en est ainsi des autres.

Nous avons donné dans les Sections précédentes la maniere de construire les équations indéterminées du second degré, c'est-à-dire, de décrire les quatre

courbes du premier genre par le moyen de leurs équations: mais ces équations étoient dans l'état où nous les venons de proposer ; c'est-à-dire que l'équation à la ligne droite, à la parabole, & aux asymptotes de l'Hyperbole, n'avoit que deux termes; l'équation au cercle, à l’Ellipfe, & aux diametres de l'Hyperbole , n'avoit que trois termes parmi lesquels il n'y en avoit point de second: mais lorsqu'on résout un Problême , les équations où l'on arrive ne sont pas toujours, ou plûtôt, sont rarement dans

S

at - bt

CC

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xx=yy:

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