cd c'est zadz de t, bdx ab : mais EI +10=+; & BN(D). BC (a) :: MI (). MO =. Enfin les triangles semblables EOM , ECL donnent + (EO). (OM):: 25(EC). t(CL), d'où l'on tire zasz : mais (Prop. 1.) fä=cd, & drt-cz pourquoi en mettant ces valeurs de S& de fz dans celle l'on aura t = Or l'on vient de trouver dd + ZZ ady mettant donc cette valeur de 3, & celle de son quarré dans la précedente valeur de t, l'on aura. 2aabbx — 2ažby après les réductions t= aabbbbxx - zabay +-aayy (Prop.s.) aayy=bbxx - aabb; c'est pourquoi en mettant cette yaleur de aayy dans la derniere de t, l'on aura après les réductions, t= and; d'où l'on tire x.a::a.t.c.Q.F.D. COROLLAIRE 32. Il est clair qu'on peut par ce moyen, d'un point quelconque donné sur l'Hyperbole, mener une tangente sans le secours des asymptotes, en prenant CL troisiéme proportionnelle à CP'&'à CB. COROLL AIRE I I. 33. Si de CP (x) l'on ôre c. ("), l'on aura PZ= pour l'expression de la soutangente PL. COROLLAIRE III. 34 I de CB (a) l'on ôte cz (), l'on aura B Z ou si l'on suppose que CP (x) devienne infi I. ax aa ax GL: Theorême. DE, les axes conjuguez, étant donnée ; si l'on fait CF & CG Ayant mené l'appliquée M P perpendiculaire à l'axe donc FL 0x + da cx + aa :: 66 - aa. cx + aa. DEMONSTRATION. & le triangle rectangle BCD donne aa ga оп bbwca CCXX bb = aa , mettant donc cette valeur de ble dans - aace ta* l'équation C, l'on a yy & mettant cette valeur de yy dans les deux équations A, & B, l'on aura après les réductions & extractions de racines , cx aa= az, & ,c* + aa = af; donc ex: 5af; donccx.com aa. cx + dai: az af :: 2.1.C.Q.-F. D. CÓRO L'L AIRE 36. D'où l'on voit que si l'un des points F, ou G étoit un point lumineux, les prolongemens des rayons réfléchis à la rencontre de l'Hyperbole se réuniroient à l'autre point G ou F. DE' É INITION. 37. LEs points F & G sont appellez les foyers de l'Hyper bole, SECTION VIII. Où l'on donne la méthode de résoudre les Problémes indéterminez du premier du fecond degré c'est-à-dire , de construire les équations à la ligne droite, aux quatre courbes du premier genre , qui font le Cercle, la Parabole, l'Ellipse @z l'Hy, perbole. M É T H O DE. 'On a vû dans les Sections précédentes 10. Que XV. L les équations indéterminées, ou les lettres inconnues qui ne sont multipliées ni par elles-inêmes ni entr'elles, appartiennent à la ligne droite , & que lorsque ces équations n'ont que deux termes , comme celle-ci ay bx, ou x=y; les inconnues x &y ont leur origine au point d'intersection de deux lignes droites, dont l'une renferme tous, les points qui satisfont au Problême, & l'autre, tous les points d'où menant des lignes paralleles à quelque ligne donnée, & terminées par la premiere , la construction du Problême se trouve faite. 2°. Que lorsqu'une équation à la parabole n'a que deux termes, l'un desquels est le quarré de l'une des inconnues, & l'autre , le produit de l'autre inconnue par une quantité connue, comme ax=yy; les inconnues x, & y ont leur origine au sommet de l'axe, ou d'un diametre expri & que lorsqu'elle a plus de deux termes, low rigine des inconnues n'est point au sommet d'un diame. 30. Que lorsqu'une équation au cercle, ou à l’Ellipse, ou aux diametres de l'Hyperbole, n'a que trois termes , deux desquels renferment les quarrez des deux inconnues, & le troisiéme est entierement connu, comme sa — Xx = = bx mé par x, tre. CC * & y ont leur origine au centre de ces trois Courbes , & que lorsque ces équations ont des seconds termes , l'origine des inconnues n'est point au centre. 4o. Que lorsqu'une équation aux asymptotes d'une Hyperbole n'a que deux termes dont l'un est le produit des deux indéterminées, & l'autre un Plan connu comme xy = ab, l'origine des inconnues x & y est au sommet de l'angle des asymptotes , & que lorsque cette équation a plus de deux termes, l'origine des inconnues est ailleurs ; a4 - 64 Nous avons donné dans les Sections précédentes la maniere de construire les équations indéterminées du second degré, c'est-à-dire, de décrire les quatre courbes du premier genre par le moyen de leurs équations: mais ces équations étoient dans l'état où nous les venons de proposer ; c'est-à-dire que l'équation à la ligne droite, à la parabole, & aux asymptotes de l'Hyperbole, n'avoit que deux termes; l'équation au cercle, à l’Ellipfe, & aux diametres de l'Hyperbole , n'avoit que trois termes parmi lesquels il n'y en avoit point de second: mais lorsqu'on résout un Problême , les équations où l'on arrive ne sont pas toujours, ou plûtôt, sont rarement dans S at - bt CC xx=yy: |