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on doit, à chaque fois, regarder cette équation comme une équation déterminée ; & par consequent lui attribuer tout ce qu'on a dit dans l’Article précedent des équations déterminées. En effet, résoudre, ou plutôt construire un Problême indéterminé, c'est construire une infinité de fois un Problême déterminé.

R E MARRU E. 1. Les valeurs arbitraires que l'on alligne à une des lettres inconnues d'une équation indéterminée, doivent souvent être limitées, & être renfermées dans certaines bornes. Et si elles excedent ces bornes, les valeurs de l'autre inconnue, seront ou negatives ou imaginaires. Par exemple, dans cette équation x=b-y, toutes les valeurs arbitraires

que
l'on

peut donner à l'inconnue y ne doivent point exceder la grandeur donnée'b, autrement celles de x seroient negatives; ce qui est évident. Si l'on fait y=0, l'on aura x=b; & si l'on fait y=6, l'on aura x=0; car l'équation deviendra x=6—6=0. Dans cette équation

- yy,
les valeurs arbitraires

que
l'on
peut

donner à l'inconnue y, ne doivent point exceder la grandeur donnée a: car autrement les valeurs de x seroient imaginaires, puisque tout le second membre de l'équation leroit negatif. Si l'on fait

y=a,

l'on aura xx = aa aa=0, & li l'on faisoit y=0, l'on auroit xx=aa; donc x=+a. Mais dans cette équation ax=by, on peut donner telle valeur que l'on voudra à l'inconnue y:car x aura toujours une valeur positive , à moins que

l'on ne false

YO, auquel cas l'on aura ax=0, ou x=

THE ORÊ M E. Si l'on aligne à une des inconnues d'une équation indéterminée du premier degré, elles ne sont multipliées ni par elles - memes, ni entr'elles, tant de valeurs arbitraires qu'oni voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valcurs correspondantes de l'autre inconnue, seront dans une ligne droite.

XX = at

2.

DEMONSTRATION. Soit l'équation ay=bx, en la réduisant en Analogie l'on a a. b:: x. y; soit presentement une ligne droite AH,

dont le point A soit fixe; & ayant pris sur AH l'interF 16. 3. vale AB égal à la ligne donnée a, mené par le point B,

la ligne BC égale à la ligne donnée b, qui fasse avec AH tel angle qu'on voudra, & mené par A & C, la droite AG indéfiniment prolongée. Il est clair qu'ayant pris sur AH un point quelconque D, mené D E parallele à BC; & nommé AD, x; & DE, y; l'on aura toujours a. b:: x. y, en quelqué endroit de la ligne AH que l'on prenne le point D, ou ce qui est la même chose, quelque grandeur arbitraire

que l'on assigne à l'inconnue x, celle de fera toujours déterminée par la ligne AG. De sorte que la ligne AG est le lieu qui renferme tous les points qui satisferont au Problême, qui doit être resolu par l'équation proposée ay=bx. C. C. F. D.

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COROLLA I R E I.
3. Si l'équation proposée étoit déterminée, comme

ay =bc, ce seroit toujours la même chose, excepté que la lettre « qui tient la place de x, est constante; ainsi

ayant F16. 3. pris fur AH, AD=c, & mené DE parallele à BC; DE

Tera la valeur de y; mais en ce cas de tous les points de la ligne AG, il n'y a que le seul point E qui résout le Problême , puisque ĀD=c ne peut avoir differentes valeurs.

COROLLAIRE I I. 4. D'où l'on voit que les équations déterminées, & indéterminées du premier degré, sont de même genre; puisqu'elles se construisent par les mêmes lignes , & de la même maniere.

COROLLA IR E III.
S. I dans l'équation précedente ay = bx, a étoit égale
à b, elle deviendroit y=x; & il n'y auroit alors qu'à faire
BC=AB ; & assignant à x la valeur arbitraire A D; Fig. 3.
DE (y) parallele à BC, seroit égale à AD=x.

COROLLA I R E IV.
6. Il est évident

que dans toutes les équations indéter-
minées du premier degré, les inconnues ont entre elles un
raport constant, c'est-à-dire, qu'elles sont l'une à l'autre
comme une ligne donnée, à une ligne donnée, ou en rai-
son d'égalité : comme dans l'équation precedente ay=bx,
où x. y:: a. b, & dans celle-ci y=x, ou x. y:: 1.1.

COROLLA IR E V.
7.
ON voit aufli

que dans les équations indéterminées
du premier degré, une des inconnues croissant ou dimi-
nuant, l'autre croît aussi ou diminue ; qu'elles peuvent
toutes deux augmenter ou diminuer à l'infini , en gar-
dant toujours entre elles le même raport.

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A

1

THE OR EM E.
8. S1 dans une équation indéterminée qui n'est point du

pre-
mier degré, & ou par consequent les deux lettres inconnues
font multipliées ou par elles-mêmes, ou entre elles , de quelque
maniere que ce puisse étre, l'on aligne à l'une des deux tant
de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points
qui détermineront les valeurs correspondantes de l'autre, seront
dans une ligne courbe.

DEMONSTRATION.
Dans les équations à la ligne droite, les inconnues ,
gardent toujours (no. 6.) entre elles un raport constant.
Or lorsque dans une équation, les deux lettres inconnues
sont multipliées ou par elles-mêmes, ou entre elles, ou

de l'une & de l'autre maniere tout ensemble ; elles ou les lignes qu'elles expriment , ne peuvent garder le même raport dans toutes les variations ou changemens de valeur qu'elles peuvent recevoir : car il faudroit pour cela, que

l'une des deux fût dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre, toutes deux seules, ou accompagnées seulement de lettres connues. Mais par l'hypothele, ces deux lettres sont multipliées ou par ellesmêmes ou entre elles ; donc elles ne peuvent garder un raport constant dans tous les changemens de valeur qu'on leur peut assigner : c'est pourquoi, en assignant tant de valeurs

que

l'on voudra à l'une des deux, les valeurs relatives de l'autre ne peuvent être déterminées par une ligne droite. Il faut donc qu'elles le soient par une ligne courbe. C. Q. F. D.

C'est ici la preuve generale, chaque équation en fournit de particulieres, en les comparant à l’équation à la ligne droite, comme on va voir par l'exemple qui suit.

E x E M P L E. 9.

IT l'équation yy = aa — xx, qui est du second degré; Il est clair, 19. Que x croissant, y diminue:car le second membre de l'équation devient d'autant plus petit, que x devient grande. 2o. On ne peut pas augmenter * en sorte qu'elle surpasse la ligne exprimée par a : car le second membre deviendroit negatif; & la valeur de y seroit par consequent imaginaire. 3o. Si l'on fait x =a, l'équation deviendra

уу :

aa=0. Il est donc évi. dent que cette équation ne se rapporte point à la ligne droite ; puisque ses qualitez sont toutes differentes de celles des équations du premier degré; & partant qu'elle le rapporte à une ligne courbe. Pour déterminer & décrire cette courbe

par

le

moyen FIG. 4. de son équation yy=aa—xx. Soit une ligne droite CH,

donnée de position dont l'extrêmité C soit fixe, & dont les parties CP soient nommées x; soit une autre ligne CG perpendiculaire à CH, & dont les parties CQ soient nom

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mées,

у

mées, y; soit aussi une ligne donnée KL nommée, a; ayant mené PM parallele à CG, & QM parallele à CH; e M sera=CP=x,& PM=CQ=y.

Si l'on assigne présentement tant de valeurs différentes qu'on voudra à l'une des inconnues x (CP) l'on déterminera par la Geometrie, les valeurs correspondantes de (PM). De sorte que tous les points M seront à la courbé à laquelle se rapporte l'équation proposée yy=aa—xx.

Supposons premierement x=0; le point P tombera en C, & le point M, sur la ligne CG ; & effaçant dans l'équation, le terme xx, qui devient nul par la supposition de x=0, l'on aura yy=aa ,

donc
у

+a; c'est pourquoi si on prolonge CG du côté de C; & qu'on fasse Ce, & CE chacun E=KL=a; CE sera la valeur positive de y, & Ce sa valeur negative, & les points E & e, seront à la courbe dont il s'agit.

Supposons en second lieu y=0, le point q se confon. dra avec le point C, le point M tombera sur CH, & l'on

donc pourquoi, si l'on prolonge CH du côté de C, & qu'on

part & d'autre du point C, CB & chacune égale Kl=a; CB sera la valeur positive de x, & CA sa valeur negative, & les points B & A , seront à la même courbe en question. D'où l'on voit deja que les quatre points A, E, B, e, sont également distans du point C.

Si l'on assigne à x une valeur quelconque CP moindre que CB pour déterminer la valeur de PM=Y,

y, l'on aura en extrayant la racine quarrée y=+ Vaa d'où l'on tire cette construction. Ayant prolongé PM du côté de P; du point C pour centre, & pour demi diametre l'intervalle KL=ā, l'on décrira un cercle qui coupera PM en M &m; PM sera la valeur positive de

y & Pm sa valeur negative, & les points M, m seront à la courbe cherchée, car à cause du triangle rectangle CPM; l'on a PM=CM – CP, c'est-à-dire en termes Algebriques yy=aa—xx ; donc y=+Vaa —xx.

С

aura Otaa.

xx, ou xx =

=da;

ta; c'est

prenne de

XX

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