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mna? en même dénomination, il restera

+ yy =0

2

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ma

mn

ma

m-n

mnad

connues

y & z ont leur origine au centre. Or pour trouver le centre du cercle, ou l'origine des inconnues y & il faut construire la réduction x =*. Ce qui se fait en cette forte.

A étant l'origine des inconnues x qui va vers B , & y. qui lui est perpendiculaire , soit prise AC

le point C sera (Art. 16. no. 2.) l'origine des inconnues y&z & par consequent le centre du cercle qu'il faut décrire: mais le terme connu de l'équation réduite

2mn tann est le quarré du dem diametre du même cercle ; c'est

Vmnaa pourquoi fi du centre C & du rayon

(Dans Vmnaa au lieu de mr, on peut

peut substituer

88

Ainsi au de Vmnaa, on aura Vaags

ag. Par consequent vmnas =CD=CE.) Si, dis-je, du centre C & du rayon CD ou CE l'on décrit le cercle DME, tous les points M de la circonférence satisferont au Problême.

mm

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au lieu

Bag.

ag

mn

D E'M ONS TRA T 1.0.N. Ayant abbaissé d'un point quelconque M pris sur la circonference du cercle la perpendiculaire MP, par

la proprieté du cercle CD', ou CE-CP=PM ; ce qui est en termes 'Algebriques

-K=yy; car mm -- 2metonn

V

mnas

Vmnaa par construction CE

& CP=%. Donc

m-1

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2max

Or PM=y. Donc PM =yy: mais << = xx —

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l'équation precedente, on aura après les réductions, & transpositions mxx — nxx — 2max + maa + myy — nyy =o, qui est l'équation que l'on a construite. c. 2. F.D.

PROBLÊME INDÉTERMINÉ. F16.80.1. Les mêmes choses étant fuppofaes que dans le Problème

précedent ; il faut trouver le point M, en sorte que MA soit à MB dans la raison donnée de md n.

En donnant aux lignes les mêmes noms que dans le Problême précédent, on aura par la qualité du Problê. me. Vxx + yy. Vaa 2ax + xx +yy :: min ; donc n x Vxx + yy=mxVaa - 2ax + xx+yy, ou nnxx + nnyy = mmaa 2mmax+ mmxx +mmyy, ou en supposant que m surpase n, & divisant par mm - nn;

,

l'on aura xx + yy=0; qui est une équation au cercle dont l'origine des inconnues x &y n'est point le centre à cause du second terme

was faisant donc x

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mm

nn

mma

2mmax mm - nn

mm -nn

= pour faire évanouir le second terme, l'équation se

mmnnan

réduira à celle-ci 2K

+yy=0; carayant

2mmnn tena

m's substitué 2+

valeur de x, & son quarré dans l'é.

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m2 n2

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= o destitué de fecond terme : mais réduisant ces termes

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+ yy=0, où les inconnues z & y ont leur

mma

origine au centre du cercle qu'il faut décrire. Pour trou. ver ce centre, il faut construire la réduction x =*. Ce qui se fait en cette sorte.

Le point A étant l'origine des inconnues de l'équation à réduire x qui va vers B, & y qui lui est perpendiculaire; soit prise AC=

au lieu de

= 4C,

mma

mm-nn

m2 12

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mm

on a

m

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ad

m+n

mng

Par consequent substituant d à la place de

=AC; le point C sera celui que l'on cherche ; c'est pourquoi fi du centre C, & du rayon=

qui est la racine du terme connu de l'équation réduite , l'on décrit le cercle DME, tous les points de la circonférence fatisferont au Problême.

mm-nn

Pour trouver CE ou CD=

il faut faire m

mna

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mn n. m :: n.

mn

ag

mna

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ag

ag

=g. Donc substituant g dans l'équation precedente, on aura

Puis faisant in +

mtn n.a::8

sera égale à CE ou CD qui sera mtn mtn le rayon

cherché. On peut encore trouver plus simplement le centre du cercle en cette forte ; puisque i

est l'expref

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mma

mm

nn

sion de la distance du point A au centre que l'on cher-
che, si l'on ôte & si l'on ajoute à cette expression l'ex-
pression du demi diametre qui est

l'on aura
mma tmna
&

& divisant les deux termes

mna

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mma

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mm

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de la premiere fraction par m –

N., & ceux de la se: conde par m+n, l'on aura &

mtn AD & AE

DE sera le diametre du mtn cercle, & par conséquent le point C, qui divise DE par le milieu, sera son centre.

ma

ma

mn

1

D E'MONSTRATION. AYANT

ANT abbaissé d'un point quelconque M la perpendiculaire PM, par la proprieté du cercle DP XPE= PM?. Çe qui est en termes Algebriques

- 2mmnn +7 Kyy: car DP=CD-CP, & PE=CD + CP. Done D P PE=CD-CP x CD + CP=

mmnnaa

4 m

mna

PM. Or CD

& CP=2 & PM

ma Donc CD-CP x CD+CP

m2 - 42

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-n2

mna

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m2. m4 ag

m

m

2mmax

mm nn

mmnna

2mmax

XX

- nn

par mm

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=yy;mais 22= m4 — 2m2 n2 tnt

2mmorta + xx, & mettant cette valeur de zz dans l'é.

mtaa quation précédente l'on a

mt 2mmnntn? mm =yy, & en divisant les deux termes de la premiere fra.

2mmax +mmaa cion nn l'on a xx

+yy = 0, qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F.D.

REMARQUE. 2. Sị dans les équations à réduire des deux Problêmes précedens mest égale à n, elles deviendront * =ya; car dans ces deux Problêmes , les analogies se réduisent à celle-ci, *x + yy. aa – 2ax + xx +92 1.1: Donc *x + yy = a - 2ax + xy + yy ;

ou bien

zax Par consequent x=a; ce qui montre que lelieu qui satisfait au Problême est une ligne droite qu'il faudra élever perpendiculairement au milieu de AB, & si m est moindre que n, dans les réductions, & dans les équations réduites n se trolivera en la place de m , &m en la place de n, & le centre du cercle sera sur A B prolongé du côté de A. "

PROBLEME INDETERMINE. 3.

DEV X lignes GA, HB perpendiculaires l'une à l'au- Fici 8r tre, & un point fixe Djur AG étant données ; il faut trouver dans l'angle GAH un point M par a par ayant mené la droite MDB qui rencontre AH en B, le re{tangle MD X D B soit égal au quarré de la ligne donnée D A.

aa,

A

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