ABP, AI (b). 10 (a) : ; A B (y). BP ; & par=%; tant PM=x+: mais parceque les coordonnées de la parabole font OP & PM, l'expreffion de OP doit fe trouver dans l'équation réduite auffi-bien que celle de PM, qui eft z, & au contraire celle de IB, qui eft u ne s'y doit plus rencontrer; parceque (Art. 10.) une équation à la parabole ne renferme que les expreffions de l'abciffe, de l'appliquée, & du parametre. Il faut donc trouver une équation qui renferme l'expreffion de I B( u ) & celle de OP, afin de faire évanouir a de l'équation réduite, & introduire en fa place l'expreffion de OP. Pour ce fujet, je nomme la donnée OA, c; & l'indéterminée OP,, & les triangles femblables A10, ABP donneront AI. AB:: AO. AP: & componendo AI.IB:: AO.OP, ce qui est en termes algebriqués b. u:: c. f; donc uc — =bs, & partant u , & mettant cette valeur de u dans l'équation réduite zz༢༢. bu, P'on aura z=bbf, & fi l'on fait b=f, l'on aura zz=ff, & l'on décrira par l'Article 10. no. 11, ou par l'Article 11. no. 11, felon que l'angle OPM eft droit ou oblique, la parabole OM qui fatisfera au Problême. = DEMONSTRATION.. AYANT mené d'un point quelque M la droite M P parallele à AG; OP étant, f; PM, ; & le parametre,f; l'on aura par la propriété de la parabole z=ff, ou z = zz bu, en remettant pour ƒ & pour, leurs valeurs &, & remettant encore pour zz, & pour, leurs valeurs xx+ 24x3 + a2z3, & ÿ + b, l'on aura xx + 24x3 + aary — by + bb, qui eft l'équation que l'on a conftruite. C. Q. F. D. aayy REMARQUE. bb = = 7. Il n'y a que la portion de la parabole qui commence en G, & va vers M qui réfout le Problême, puifque y commencent au point A. CONSTRUCTION Des Equations, ou des lieux à l'Ellipse. PROBLEME INDETERMINE. XX. UN triangle ABC étant donné, il faut trouver un F16.87. point M hors de ce triangle, en forte qu'ayant mené MPF parallele à AB qui rencontre AC en P,& BC en F, le quarré de PM, & le quarré de FP foient enfemble égaux au quarré de AB. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé les données AC, a; AB, b; & les indéterminées A P,x; PM, y; CP fera ax, & les triangles femblables CAB, CPF donneront CA(a). AB(b) :: CP (a—x). PF donc par les qualitez du Problême 1.02 aabb-2abbx+bbxx aa est une équation à l'Ellipfe dont le point A qui eft l'origi ne des inconnues x & y, n'eft point le centre, à caufe qu'il y a dans l'équation un fecond terme logget suby Je fais donc pour la réduire a ➡z, & l'équation devient par ce moyen zz—aa + aayy aa — zz, d'où fuit cette conftruction. ༢༢, aayy + La réduction x — a=z, montre que le point Ceft le centre de l'Ellipfe, puisqu'il n'y a point de reduction pour y; & l'équation réduite, en faisant y =o, donne ༢. a; ce qui fait voir que z va vers A & vers D, & le termine en ces deux points, & que par conféquent AD eft un des diametres: ce que le terme connu aa de l'équation réduite fait auffi connoître: mais parceque le quarré connu aa fe trouve encore avec yy, il fuit (Art, 12. n°. 9.) que bb eft le quarré du diametre conjugué au diametre AD; c'eft pourquoi fi l'on mene par le centre C la ligne G CH parallele à AB, & qu'on faffe CG, & CH chacune AB b; GH fera le diametre conjugué au diametre AD, & l'on décrira par l'Art. 12. no. 21, ou Art. 13. n°. 37, felon que l'angle BAC, ou ACH eft droit, ou oblique, l'Ellipfe AGDH, qui fatifera au Problême. DE'MONSTRATION. AYANT mené librement la droite PM parallele à aayy aa. bb, d'où l'on tire xx-2ax + =o. C. Q. F. D. bb PROBLEME INDÉTERMINÉ. FIG. 88. 1. UN triangle ABC dont les côtez AC, BC font prolongez vers H & vers G étant donné. Si d'un point quelconque P pris fur la bafe AB, on éleve PEF perpendiculaire à AB, oz parallele à quelque ligne donnée de pofition; il faut trouver quelle eft la courbe qui divife EF, & fes femblables en M, do maniere que PE. PM:: PM. PF. Ayant fuppofé le Problême résolu, mené CD parallele à PM, & nommé les données AB, a; AD, b; DC, c; DB, d; & les indéterminées AP, x; PE, z; PM,y; PF, u; PB fera ax; & les triangles femblables APE, ADC & BDC, BPF donneront x (AP). z(PE) :: b (AD).c (DC), d'où l'on tire bz= cx ; & d (BD).c (DC) ::: a — x (BP). u (PF), d'où l'on tire du ac cx: & par les qualitez du Problême, z(PE). y (PM) :: y PM). u (PF), d'où l'on tire zyy; l'on a donc trois équations, que l'on réduira à une feule, en faifant évanouir & u: (car il ne faut pas faire évanouir x & y; parcequ'elles ont les qualitez requifes par la premiere & huitieme obfervation de l'Art. 4. qui font celles qu'il faut' le plus exactement fuivre dans les Problêmes indétermi nez) o, qui eft une équation à l'Ellipfe, que l'on conftruira en cette forte. Ayant fait x a=z, l'équation fe réduira à 14=༢, ༢༢ fi l'on di vife A B par le milieu en O, le point o fera le centre de l'Ellipfe, & l'origne des inconnues qui va vers B & vers A,& fe termine en ces deux points ( car fi dans l'équation réduite on fait y = o, l'on aura q = +a) & y qui va parallele à BC. Pour avoir l'expreffion du demi diametre conjugué au diametre AB, on fera bd. cc :: & fera (Art. 12. n°. 11.) l'expreffion cher aacc aa. 4 4bd ac 2Vbd chée; prenant donc fur KOZ parallele à DC, OK & OL chacune égale à ac 2Vbd KZ fera le diametre conjugué au diametre AB. L'on décrira l'Ellipfe AMBL par l'Art. 12. no. 21, ou Art. 13, no. 37. DE'MONSTRATION. AYA ANT mené d'un point quelconque M pris fur l'Ellipfe la droite MP parallele à CD, l'on aura par la propriété de l'Ellipse AP × PB. PM1 :: AB1. KL2. Ce qui est en termes algebriques aa — xx. yy :: aa. SI le point B étoit infiniment éloigné du point ; la ligne FCB feroit parallele à AB, & dans l'équation Y bdyy précedente ax-xx = a & d deviendroient infini cc ment grandes par raport aux autres lettres; de forte que le terme xx feroit nul par raport à ax, a seroit =d, =yy qui montre que la -= courbe AMC feroit une parabole. 3. SI le point B étoit de l'autre côté de A fur le prolongement de AD, dans l'équation ax — xx= a bdyy CC d & x deviendroient négatives, & il faudroit changer les fignes des termes où a, d & x ne font multipliées ni par bdyy elles-mêmes ni entr'elles, & l'on auroit ax-xx- CC FIG. 89. qui eft une équation à l'Ellipfe. Pour la construire, foit le point A l'origine des inconnues y qui va vers H, & x qui va vers G, & qui font l'angle GAH tel que le demande le Problême d'où l'on fuppofe que l'équation que l'on construit a été tirée, A |