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des deux inconnues, n'eft élevée au quarré, & qu'elles font multipliées l'une par l'autre comme dans celle de l'Art. 14. no. 4. Mais parceque cette équation contient trois termes, il fuit ( Art. 14. n°. 4. ) que 4.) le point B qui eft l'origine des inconnues x & y, n'eft point le fommet de l'angle des afymptotes. Pour le trouver & déterminer la pofition des afymptotes, il faut réduire l'équation en changeant les produits compofez en produits fimples. Faifant donc b+x=z, l'on aura x = 2—6, & mettant dans l'équation en la place de x fa valeur z―b, l'on en tirera az — yz=ab, & faisant encore a-yu, Í'on aura y = a-u, & mettant cette valeur de y dans l'équation précédente, l'on aura uz ab, où les inconnues u & %, ont (Art. 14. ) leur origine au fommet de l'angle des asymptotes. Les deux réductions précédentes, & l'équation réduite fournissent cette construction.

=

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A cause de la premiere réduction x + b = z, on prolongera DB en I en forte que B I — = 1⁄2 AE = ÷ b & ayant mené 1 K parallele à BE, le point I fera l'origine des inconnues z qui va (Art. 16. n°. 1. ) vers G, & y qui va vers K. A cause de la feconde réduction a—y =u, on prendra IK น = 1⁄2 BE = { a, & ayant mené // KO parallele à AH, ou à BG, le point K fera l'origine des inconnues qui va vers O, & a qui va ( Art. 16. n .4.) ༢. vers I, & le fommet de l'angle des afymptotes KI & KO, puifque l'équation uz = 4 ab n'a que deux termes; comme celle de l'Art. 14. On voit par l'équation uz = ab, que l'Hyperbole doit paffer par le point Bj puifque ab = ax b KIX IB. On décrira donc (Art. 14.) par le point B, entre les afymptotes KO, KI, P'Hyperbole BM qui fatisfera au Problême.

DE'MONSTRATION.

X

AYANT mené par un point quelconque M pris fur
l'Hyperbole, les lignes CMD & MP paralleles à BE &
à KO; l'on aura ( Art. 14.) KI × IB = KP × PM, ou en
termes algebriques, uz ab, ou by + xy = ax,
en remettant pour & pour leurs valeurs tirées des ré-
ductions. C. Q. F. D.

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1. Si dans cette équation on fait bo, le point A fe confondra avec le point E, & l'on aura y = a, qui est une équation à la ligne droite, & qui montre que le point M fe trouvera für la ligne KO qui partage EB, & CD par le milieu.

PROBLEME INDÉTERMINÉ. FIG. 94.2. UN angle GAH, & un point C, étant donnez de position fur un Plan. Si l'on mene du point C une infinité de lignes droites comme CDB, qui rencontrent les lignes AG, AH aux points D&B, & que l'on prenne fur chaque CDB un point M, en forte que CM foit toujours à DB dans la raifon donnée de man. Il faut trouver une équation qui exprime la na ture de la courbe qui passe par tous les points M.

m

le
Ayant fuppofé le Problême réfolu, on menera par
point donné C & par le cherché M, les lignes CI, MK
paralleles à AH, qui rencontreront GA prolongée en I
& en K:& ayant nommé les données AI, a; IC, b; &
les inconnues IK, x; KM, J; AK fera a —x ; & les
qualitez du Problême donneront m. n. :: IK (x). AB
: car à caufe des paralleles, IK. AB :: CM. DB,
donc KB—a—x+, & IB=a+ "; & à caufe des
triangles femblables CIB, MK B, l'on aura b (IC). a
+1 ( I B ) : : y (KM). a— x + 2x (KB); d'où l'on tire
mab-mbxnkx maxy, qui eft une équation à l'Hyper-
bole entre fes afymptotes, qu'il faut réduire
pour en dé-
terminer la pofition. Faifant donc max, l'on a

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m

m

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x=z-"; & mettant cette valeur de x dans l'équation, l'on aura, après avoir ôté ce qui fé détruit, en trans

mmab
ชช

nn

+mb ༢.

pofant, =zy + m2 — by; & faisant encore y mmab zu, où les inconnues u & z —b⇒u, l'on aura ma ont leur origine au fommer de l'angle des afymptotes. L'équation réduite & les réductions fourniffent la conftruction fuivante.

+x=z, l'on pro

A cause de la premiere réduction longera AI en 0, en forte que 104, & l'on menera

OQ parallele à IC; à cause de la feconde réduction y + mb. l'on prolongera — b=u, en supposant que m furpaffe n,

0Q du côté de O en R, en forte que OR=

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mb b; & ayant mené RS parallele à IB, les lignes RQ, RS feront les afymptotes, & R, l'origine des inconnues qui va vers S, & a qui va vers Q. Si l'on prolonge CI en F, FC sera (conft.)-b+b=mb, & OI ou RF étant (conft.) ==; l'on aura RF × FC=ma; c'est pourquoi l'Hyperbole qui fatisfait au Problême passera par le point C. On la décrira par l'Article 14.

DE'MONSTRATION.

AYANT mené d'un point quelconque M pris fur l'Hyperbole, la ligne MKP parallele à RQ, l'on aura par la propriété de l'Hyperbole RP × PM=RF × FC, ce qui est en termes algebriques uz = "<+ xy, en remettant pour & pour leurs valeurs tirées des réductions. C. Q. F. D.

mmab

nn

ou

mab

mb x + nbx

n

3. Si m=n, la ligne RS fe confondroit avec OB, & 10 feroit égale à IA; car l'équation à réduire deviendroit ab =ay+xy, & la premiere réduction seroit a + x =, & il n'y en auroit point de feconde.

PROBLEME INDÉTERMINÉ.

FIG. 95. 4. DE EUX lignes droites AG, BH, dont les extrémitez A &B font fixes, & qui étant prolongées concourrent en un point C, étant données de pofition; foit une autre ligne DE menée librement de l'une à l'autre parallele à une ligne donnée de pofition. Il faut déterminer fur DE, le point M, en forte qu'ayant mené AM & BM, l'angle DAM foit toujours égal à l'angle

EB M.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, on menera BK parallele à DE, & ayant divifé l'angle ACB en deux également par la ligne CO, on menera par les points A & B les lignes AF & BI paralleles à CO, qui rencontreront DE en F & en I, & KB en L. Ces paralleles feront données de pofition, & KL, LB ou FI & AL feront données de grandeur. Or puifque par la conft. les angles DAF, EBI font égaux, le Problême se réduit à trouver fur FIle point M, en forte que l'angle FAM foit égal à l'angle IBM. Pour en venir à bout, foient menées FP qui faffe avec AF l'angle AFP AFD, ou BIM, & qui rencontre B1 en P,& MN parallele à FB. Il eft clair que les triangles FIP, MNI feront ifoceles: car les angles AFD+AFM —2 droits=(const.) AFP +AFM AFM+ MFP+ FIP MFP+ FIP+ IPF donc AFM IPF = FIP. Et =

parceque le triangle FIP demeure toujours le même, puifque la ligne FI demeure toujours parallele à elle-même, fes côtez feront donnez de grandeur; & les triangles AFM, BNM seront femblables.

Nommant donc les données LB, ou FI, a; AL,b; IP, c; & les inconnues FM, x; LF, ou BI,y; MI ou MN fera a-x, & AF, b+y; & les triangles femblables FIP, MIN donneront FI(a). IP(c) :: MI.

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caufe des triangles femblables, AF. FM :: BN. NM,

ou en termes algebriques, b+y. x :: J+

abx

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a-x; d'où

Pon tire aab + aay zaxy = acx — cxx, qui eft une équation à l'Hyperbole que l'on peut regarder, ou par raport à ses diametres, ou par raport à fes afymptotes mais comme on en a conftruit de femblables dans l'article précedent, en réduifant les équations aux diametres, on conftruira celle-ci en la réduisant aux asymptotes felon l'Article 15. n°. 14. L'on a en transposant

& divifant par 2a,

faifant x

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az, l'équation se réduit à celle-ci,›

1 aab + czz — — aac

2a

I

8.

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yz + 1 bz — (3, en fuppofant que b furpaffe c ; & faifant encore y + 1 b — — — u, l'on aura l'équation réduite ab — ac=uz, qui appartient à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes, & où les inconnues u & z. ont leur origine au fommet de leur angle. Les réductions & l'équation réduite donnent cette conftruction.

༢.

Le point Z étant l'origine des inconnues x qui va vers B, & y qui va vers F; à cause de la premiere réduction x — 1/a = az, on divisera ZB par le milieu en R, & le point R fera l'origine de z qui va vers B, & de y qui va vers Q. Ayant mené RQ parallele à BP; à caufe de la feconde réduction y+b-u, on prolongera QR en S, en forte que RS RS= 16 = LA, & ayant mené ST parallele à RB, le point S fera l'origine des inconnues z qui va vers T, & u qui va vers Q, & le fommet de l'angle des afymptotes qui feroient SQ & ST, fi la feconde réduction étoit y+bu: mais elle eft y+b=

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