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c'est pourquoi soit prolongée I B du côté de B, qui rencontrera ST en V, & ayant fait VY==IP, soit menée SY , & du point M la ligne M X parallele à IB, qui rencontrera ST en X,& Sy en 2, & 2X sera

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car sv ( :-).vY() :: SX(). X2=9; &

< par

ܙܘܐ

x

tant MZ (u)=y+16-, & BY={

bis, & alors les lignes SQ & Sy seront les asymptotes ; & par conséquent Sz & ZM, les coordonnées.

Il n'est pas cependant necessaire de faire évanouir l'expression de SX= de l'équation réduite , pour introduire en la place celle de sz: car 1°. Soit qu'on le fasse ou non, on trouvera par le moyen de l'équation réduite, que l'Hyperbole doit toujours passer par le même point: comme en ce cas, où l'équation réduite est , ab ţ ac =ul;

le terme connu ab - ğ ac = { b C ;*

a = BY SV , fait connoître ( Art. 14. no. 12.) que l'Hyperbole doit passer par le point B; & fi l'on nomme sy,d; & sz,f; pour introduire l'expression sz dans l'équation réduite en la place de celle de S.X , l'on aura à cause des triangles semblables SVY, SXZ, SV. SY :: SX. Sz, ou en termes algebriques į a. d::2.), d'où

- & mettant dans l'équation réduite -- ab --- ac =uz, en la place de z la valeur , l'on aura bd —-cd=ju, dont le terme connu bd - - od

6 xd = BY $Y", montre comme auparavant, que l'Hyperbole doit passer par le point B. Ce que l'on connoît ausli par l'équation à réduire aab + aay

abx 2axy acx cxx ; car faisant x=a, afin

l'on tire z=1

4

2d

2

4

I

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4

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que le point M tombe en B, l'on aura aab + aay — aab

2aay = aac aac, d'où l'on tire y=0; d'où il suit que l'Hyperbole passe par le point B, puisque BI s'y anéantit.

20. Le rectangle SV x BY, OU RB BY étant égal à se * SX, le rectangle SY BY sera ( Art. 14. no. 6.) égal au rectangle sex Sz; d'où l'on voit qu'il est en quelque façon plus simple de réduire ces sortes d'équations aux asymptotes de l'Hyperbole que de les réduire aux diametres. Si donc l'on décrit par le point B entre les asymptotes SQ, SY l'Hyperbole BM, elle' satisfera au Problème.

DEMONSTRATION. A ANT mené d'un point quelconque M pris sur l'Hyperbole la droite M2 X parallele à OS ; par la proprieté de l'Hyperbole ( Art. 14. no. 6.), l'on a sy x BY=SY * M2, ou en termes algebriques - ab 5 uz, d'où l'on tire aab + cxx —- acx — abx = 2axy — aay, en remettant pour u& pour z, leurs valeurs. C.Q.F.D.

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s. Si les paralleles AF, B1 étoient perpendiculaires à DE, les points P & N se confondroient avec le point I, & IP=c deviendroit nulle ou = 0; c'est pourquoi il faudroit effacer tous les termes où c se trouve dans l'équation à réduire aab + cxx - acx —

-abx = 2axy aay, & l'on auroit, ab -- bx

= 2xy — ay, que l'on construiroit comme celle du premier Probleme de cet article.

COROLLAIRE I I. 6.SI outre cela le point A tomboit en K, AL = 6 deviendroit nulle , & l'on auroit x= a, en effaçant tous les termes où b se rencontre dans l'équation ab

1

8

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8

bx =

2xy — ay, & le point M se trouveroit dans la ligne droite RQ menée par le milieu de KB parallele à IB.

COROLLAIRE III. .7.

Les choses étant supposées comme dans l'énoncé du Problême no. 4. Si 2 AL= IP, ou 2b = c dans l'équation réduite - ab - ac=zu, l'on aura – ab

ac, & partant zu = 0; d'où il suit qu'en ce cas l'Hyperbole se confond avec ses asymptotes , & que par consequent le point M se trouvera dans la ligne Ře qui est une des asymptotes. En effet en ce cas l'équation à réduire devient dab+ 26xx - 3abx — 2axy + aay=0, en mettant 2b en la place de c, qui étant divisée

par 2x a=0, il vient bx

il vient bx — ab — ay=0,& l'équation 2x - a=0, donne xa

x = - qui montre que le point M se trouve dans la ligne Rl menée par le milieu de LB parallele à AL.

COROLLA IR E IV. 8. Enfin fi 2 AL est moindre.que IP, ou que le point A, se confonde avec le point K, ou qu'il se trouve au dessous de K, l'Hyperbole se trouvera de l'autre côté de RQ, & passera par le point A : car dans l'équation réduite - ab ac=uz

, ac supassera - ab dans le premier cas; - ab sera nulle ou = o dans le second ; & dans le troisiême, 6 deviendra negative de positive qu'elle étoit. Ainsi la quantité - ab ac sera toujours ne gative , & partant l'Hyperbole se trouvera de l'autre côté de RL

an

2

1

4

4

4

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REMARQUE S. LORSQU'on veut réduire ces fortes d'équations 9. à l'Hyperbole par raport à ses alymptotes il faut observer 1?. Que la lettre inconnue qui n'est point quarrée dans l'équation , se trouve multipliée par une quantité connue dans quelqu'un de ses termes ,

autre que dans celui où elle se trouve multipliée par l'inconnue qui est quarrée, il faut mettre tous les termes où l'inconnue qui n'est point quarrée se trouve dans un des membres de l'équation, & tous les autres termes dans l'autre, & faire la premiere réduction sur le membre où l'inconnue qui n'est point quarrée se trouve.

20. Dans la seconde réduction ( qui seroit la seule, si la lettre inconnue qui n'est point quarrée ne se trouvoit point seule dans quelque terme de l'équation) la lettre inconnue qui n'est point quarrée doit toujours être positive.

3. Dans l'une & l'autre réduction, l'inconnue qui n'est point quarrée, doit toujours être délivrée de toute quantité connue.

4). Quand on ne veut point se donner la peine de faire toutes ces réflexions, il n'y a qu'à réduire ces équations à l'Hyperbole , en les regardant par raport à ses diametres, où il n'y a aucune précaution à prendre. Il faut éclaircir ceci par un exemple.

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E x E M P L E.
aab + CXX

abx

acx

za

10. Soit l'équation

= xy -- ay, qui est celle que l'on vient de construire. Si on suppose que le point A tombe en K , AL=6 deviendra nulle

0; c'est pourquoi en effaçant tous les termes, où 6

ou

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se propose de réduire à l'Hyperbole par raport à ses asym

protes , & dont les termes sont disposez dans l'un & l'autre membre de l'équation selon ce qui est dit dans le premier cas de la remarque précédente.

Faisant donc x - La=k, l'on réduira l'équation à celle-ci czz — 2ayz = 4 aac, ou - y2 = į ac. Il faudroit pour faire la seconde réduction prendre my =u; mais parceque l'inconnue y qui n'est point quarrée dans l'équation à réduire fe trouve négative dans cette seconde réduction , & qu'elle y doit être positive, les réductions

que

l'on vient de faire ne serviront de rien. If faut donc changer les lignes de tous les ternies de l'équation pour la réduire de nouveau, & l'on aura = {ay - xy ; & en faisant į a - x=2, l'on réduira l'équation à celle-ci į ac = 2y +

ky + , & faisant y +=u, l'on aura į ac = zu. Les réductions & l'équation réduite serviront à décrire l'Hyperbole , qui pal

par le point K ou A qui ( Hyp. ) ne font qu'un même point. On voit encore par l'équation à réduire que l'Hyperbole doit passer par le point K: car fi l'on fait x=0, l'on aura aussi y=0, d'où il fuit que les coordonnées s'anéantissent au point K.

acx - CXX

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و

fera

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