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Où l'on donne la Méthode de conftruire les Problêmes Solides déterminez, par le moyen de deux équations locales, ou indéterminées, lorfque l'une des deux fe rapporte au cercle, ou y peut être ramenée. MÉTHODE.

XXIII.

L

Es inconnues de ces deux équations étant les mêmes, elles auront leur origine en un même point, & ayant conftruit ces deux équations l'une après l'autre par les regles de la Section précedente, les points où les courbes aufquelles elles appartiennent fe couperont, réfoudront les Problêmes, comme on va voir par les exemples qui fuivent.

EXEMPLE. I.

Problême Solide.

UN demi cercle A M B dont le diametre eft AB, & le FIG. 96. centre C, & une ligne GH perpendiculaire à AB, étant donnez de pofition, il faut trouver fur la circonférence le point M, par où mené du centre C, la droite CME, qui rencontre GH en E, & par le même point M, la droite MH parallele à AB, qui rencontre la même GH en H; HE foit égale au demi diametre CB du cercle donné, ou à une autre ligne

donnée.

ayant

Ayant fuppofé le Problême réfolu, on abbaissera du point M fur AB la perpendiculaire MP; & ayant nommé les données CB, où CM, ou ( Hyp.) HE, a; BG, b; & les indéterminées CP, x; PM,y; PG, ou MH sera a+b—x, & les triangles femblables CPM, M HE,

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) x

donneront x, ( CP). y ( PM) :: a + b ·x(MH).. (HE), d'où l'on tire ax = ay + by xy, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes. Et à cause du triangle rectangle CPM, l'on aura xx+y'y = aa qui eft une équation au cercle.

Si l'on fait préfentement évanouir l'inconnue y, l'on aura après avoir ordonné l'équation,

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Et fi l'on fait évanouir x, ( car il eft à propos de faire évanouir les deux inconnues l'une après l'autre, pour voir G l'équation qui réfulte d'une maniere n'eft pas plus fim. ple que celle qui réfulte de l'autre ) l'on aura.

4

zayaayy — zaʼy — aˆ — Q.

+ zab

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qui paroit plus fimple que la précédente. Mais comme ces deux équations font du quatriême degré, & qu'on ne peut, ni par la divifion, ni par la transformation, les. réduire à une équation du fecond; il fuit que le Problême: eft folide, & parceque l'une des deux équations indéterminées appartient au cercle, on le conftruira moyen en cette forte.

=

par leur

Il eft clair que l'équation xx + yyaa, appartient au cercle donné AMB; c'eft pourquoi il n'y a qu'à construire l'équation à l'Hyperbole ax — ay + by — xy ; faifant donc pour la réduire a + b xz, l'on aura x = a+b―z; & mettant cette valeur de x dans l'équation, elle deviendra aa + ab az; & faisant encore y + duite aa + ab uz, qui conftruction.

&,

=

@༢.= ༡༢., ou a@ + ad = ༡༢ + au, l'on aura l'équation réfournit avec les réductions cette:

Le point C étant l'origine des inconnues x qui va vers G, & y parallele à GH; à caufe de la premiere réduction a+b z, le point G fera (Art. 16. n°.4.) l'origine de qui revient vers C. A caufe de la feconde réduction

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༢.

yau, on prolongera HG, en O, & ayant fait GO =aCB; le point o fera l'origine des inconnues z qui va vers Z parallele à GC, & u qui va vers H, & le fommet de l'angle des afymptotes, qui feront OL & OH. Et à caufe de l'équation réduite aa+ab=uz, dont la quantité connue da + ab = a + b x a = CG x CB= (Conft.) CG × GO, l'on décrira (Art. 14. ) par le centre C du cercle AMB, l'Hyperbole CM qui coupera le cercle au point cherché M.

DE'MONSTRATION.

=

AYANT prolongé MP jufqu'à l'afymptote O Z en K, & mené CZ parallele à PK, par la propriété des afymptotes (Art. 14. no. 1. ) OL × LC OH x HM; donc CP x PK PM x MH; donc CP. PM :: MH.PK. Mais à caufe des triangles semblables CPM, MHE,CP. PM:: MH. HE; donc MH.PK:: MH. HE; & par— HE. C. Q. F. D. tant PK (= GO= (Conft.) CB)

=

EXEMPLE II.

Problême Solide.

2. DIVISER un arc de cercle donné BDC, dont le centre FIG. 977 eft A, & la corde BC, en trois parties égales BD, DF, FC.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, les cordes BD, DF, FC feront égales; celle du milieu DF fera parallele à BC; le rayon AĚ, perpendiculaire à BC fera auffi perpendicu laire à DF, & les coupera toutes deux par le milieu en H & en G, & fa partie AH comprise entre le centre A, & la corde BC, fera donnée de grandeur, & de pofition: mais AG & GD ou GF feront indéterminées. Si l'en mene encore les deux rayons AD, AF, qui rencontrent BC en I & en K; HI fera HK, & les triangles BDI, CFK feront égaux, femblables, & ifofceles; puifque par l'Hypothese l'angle IDB IDF — AIK — BID. Par

Bb

la même raison l'angle KFC KFD = IDF — AKI CKF; & qu'outre cela BD- CF.

Nommant donc les données AE, ou AD, ou AF, a; HB, ou HC, b; AH, c; & les inconnues AG, x; GD ou GF,y; DF, ou DB, ou BI sera, 2y; & partant HI, 6- 24.

A caufe des triangles semblables AGD, AHI, l'on aura x (AG). y (GD):: c(AH). by (HI), d'où l'on tire bx-2xy=cy, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes; & à cause du triangle rectangle AGD, l'on aura xx + yy = aa, qui est une équation au cercle du Problême BDC.

Si l'on fait préfentement évanouir une des deux inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées que l'on vient de trouver, l'on aura une équation du quatriême degré qui ne peut être réduite à une équation du fecond; d'où l'on doit conclure que le Problême eft folide; ainfi on le peut conftruire par le moyen des deux mêmes équations indéterminées. Mais l'équation au cercle se trouve conftruite, puisqu'elle fe rapporte au cercle du Problême BDC. C'eft pourquoi il n'y qu'à construire l'équation à l'Hyperbole, qui étant réduite donne avec fes réductions cette construction.

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Soit prolongée AH en L, en forte que ALAH, & menée par Z une parallele à BC, fur laquelle ayant pris ZO HB, l'on menera par O la droite OM parallele à AĞ, qui rencontrera H B en X. L'Hyperbole AD décrite par le centre A entre les afymptotes OZ, OM, coupera l'arc BDC au point cherché D; de forte que fi l'on mene DF parallele à BC, les points D & F diviseront l'arc BDC en trois parties égales B D, DF, FC.

DE'MONSTRATION.

AYANT mené par le point D, où l'Hyperbole A D coupe l'arc BDC, la droite DN parallele à l'afymptote OM, qui rencontrera HB en V, & LO en N, & par le centre A, le diametre gAf parallele à l'afymptote OL,

qui rencontrera OM en P,& ND en S. L'on aura à caufe des afymptotes OL, OD; DN × NO — AL × LO; donc SP × SD=SA× AL; donc DS. SA :: AL. SP: mais les triangles femblables DSA; AHI donnent DS. SA :: AH. HI, donc AL.SP :: AH. HI. Or ( const.) AH=2AL; donc HI=2SP; & partant HV, ou GD = 2SP + IV, & DF = 4SP + 2IV: mais HX ( (= HV+SP)=3SP+IV; c'eft pourquoi BX=( const.) HX=3SP+IV; & par conféquent B X+X I, ou BI = 4SP + 2IV; donc BI — D F —K C. Mais les triangles femblables A KI, A F D donnent AK.KI:: AF. FD, ou ( ayant mené AB, AC) AK. KI :: AB, BI, d'où il fuit que l'angle B AD CAF DAF, C. Q. F. D.

=

=

Si la corde BC paffoit par le centre A, & étoit confondue avec le diametre gAf, l'arc BC feroit un demi cercle, & la perpendiculaire AHc, feroit nulle ou =0; c'eft pourquoi, en effaçant dans l'équation à l'Hyperbole, les termes où e fe rencontre, l'on auroit y = 1/2 b le milieu Ag, d'où il fuit qu'ayant divifé Ag par en R, mené RT perpendiculaire à Ag qui coupera le demi cercle en T, & TZ parallele à gf, les arcs g7,TZ, & Zf seront égaux. Ce qui eft évident.

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3.

Problême Solide.

TROUVER deux moyennes proportionnelles entre deux F 16.98, lignes données KL, MN.

Ayant fuppofé le Problême résolu, & nommé les données KL, a; MN, b; & les inconnues x &y; l'on aura fuivant les termes de la question a.xx.y, & x.y::y. b, d'où l'on tire ay=xx, & bx=yy, qui font deux équations à la Parabole; & faifant évanouir l'inconnuey, l'on aura x' aab, qui eft une équation du troifiême degré, & montre que le Problême eft Solide.

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