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ay + bx

Mais parceque deux équations à la Parabole écant combinées par

addition ou loustra&ion, peuvent toujours donner une équation au cercle, attendu que l'équation à la Parabole ne renferme qu'un quarré inconnu qui peut toujours être délivré de toute quantité connue ; il suit qu'on peut construire ce Problême par le

moyen de l'une des deux équations précédentes, & de l'équation au cercle qui résulte de la combinaison des deux mêmes équacions par addition, qui est = = Xx + yy. :. Ec

Ec parceque les deux premieres équations ay =xx, & bx yy sont également simples, on peut indifféremment fe servir de celle qu'on voudra. Prenons donc la premiere ay = xx. Pour la construire, soic A l'origine des inconnues x qui va vers H , & y, qui va vers G perpendicu. laire à AG; le même point A sera aussi le sommer dę l'axe AG; de la Parabole qu'il faut décrire, puisque l'équation ay = xx,

n'a

pas besoin de réduction ; il n'y a donc qu'à décrire ( Art. 10. no. 11. ) sur l'axe AG une Parabole dont le parametre soit la ligne donnée KL=a.

Pour construire présentement l'équation au cercle ay + bx= xx+yy; foit fait pour la réduire y -{a=u, & x-6=; & l'on aura l'équation réduite aa+ bb uu=2, qui avec les réductions donne cette construction.

Le point A étant toujours l'origine des inconnues y & x; à cause de la premiere réduction y — {=l,

l'on prendra AC=a=KL, & ayant mené Co parallele à AD; à cause de la seconde réduction x b=1, on prendra sur CO, CE=16={MN, & le point E sera l'origine des inconnues 2, qui va vers 0, & u, parallele å AG, & le centre du cercle qu'il faut décrire: mais Vaa + bb, qui est la racine du terme connu de l'é. quation réduite, est le demi diametre du même cercle ; c'est pourquoi fi du centre E par A on décrit un cercle,

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il coupera la Parabole en un point Q, par où ayant mené
QP parallele AH; PQ & PA seront les deux moyennes
proportionnelles qu'il faloit trouver.

D E' MO N S T R A TI O N.
IL est clair que le cercle coupe AG & AH en 1 & en
D, de maniere que AI = 2 AC=KL=,& AD=
2CE=MN=b. Ainsi PI = PA AI=y.
PF = AD PQ= 6 -

par la propriété du cercle APX PI=PQX PF , ou en termes algebriques, yy — ay'=bx

:-xx, ou yy — bx=ay — xx:: mais ( Art. 10 ) ay = xx ; donc yy bx=0; ou yy=bx. Or ay = xx donne Al, ou KL. PQ :: PQ.PĀ, & yy=bx donne PQ.PA :: PA. AD, ou MN; donc KL, PQ,PA,& MN sont continuellement proportionnelles. C. 2. F. D.

=y-a,&

x. Or

EXE M P L E

I V. Problême Solide. 4.

UN E courbe AM, dont l'axe eft AP, son fommet A, F16.99. a un point D au-dedans ou au-dehors de cette courbe , étant donnez de position sur un Plan , il faut mener du point D ane ligne droite D MC, qui coupe la courbe AM, ou fa tangente au point M à angles droits.

Ayant supposé le Problême résolu, soient menées les droites D B & MP perpendiculaires à AC; du point M la droite M E parallele à AC, qui rencontrera DB en E; & par le point M la tangente MT. Nommant présentement les données AB, 6; DB, C; & les indéterminées AP , x5 PM,y; & PT, t; BP ou ME sera b + *, si le point B est hors de la courbe , & DE, C- y.

Langle CMT érant droit par l'Hypothese, les triangles MPT, CPM & MED seront semblables ; c'est pourquoi }'on aura y (MP).t (PT ) :: *+ 6(EM)..-(ED); donc cy — yy=tx + bt, qui est une équation générale pour toutes les courbes AM, &

que

l'on déterminera à

l'on aura cy — yy

celle courbe que l'on voudra, en y substituant en la place de t , l'expression de la soutangente PT.

Si l'on veut par exemple que la courbe AM soit une Parabole ; PT sera ( Art. 11. no. 6.)=2x=t; c'est

=pourquoi en mettant pour t sa valeur - 24,

= 2x* + 2bx, qui est une équation à l’Ellipse; & nommant le parametre de la Parabole

l'on aura ( Art. 10.) Eyy, qui est l'équation à la Parabole AM. Si l'on fait évanouir x, l'on aura une équation du troisiême degré, qui ne peut être réduite ; & par conséquent, le Problème proposé est solide. Mais lorsqu'on a une équation à la Parabole, & une à l'Ellipse, ou à l'Hyper. bole par raport à ses diametres où les inconnues ne se multiplient point, on peut toujours par leur moyen trouver une équation au cercle en cette sorte.

Après avoir délivré dans l'équation à l'Ellipfe, ou à l'Hyperbole, le quarré de l'inconnue qui n'est point quarrée dans l'équation à la Parabole, de toute quantité connue, l'on fera évanouir le quarré de l'autre inconnue, & l'équation qui en resultera sera une équation à la Parabole, qui étant combinée avec la premiere par addi. tion, ou soustraction, donnera une équation au cercle. Ainsi en divisant par z l'équation précédente cy - yy= 2xx + 26x, l'on a cy - yy=xx+ bx , & mettant pour yy sa valeur ax, prise dans l'équation à la Parabole ax yy; l'on aura { cy - {ax = xx + bx, qui est une autre équation à la Parabole ; & en combinant par addition ces deux équations à la Parabole , l'on aura { cy - į ax + ax = xx + bx + yy, ou { cy + {ax = xx + bx + yy, qui est une équation au cercle.

Quoique l'on pûr construire le Problême par moyen de l'équation au cercle, & de la seconde équation à la Parabole ; il est néanmoins à propos de se fervir de la premiere ax=yy, parcequ'elle appartient à la Parabole don.

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