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Or il est évident que pour déterminer la valeur de (PM) dans toutes les positions du point P, il faudra de crire un cercle du centre C, & du rayon KL ; c'est pourquoi ce cercle est lui-même la courbe cherchée, ce qui d'ailleurs étoit facile à remarquer : mais on a jugé à propos de faire sur l'équation au cercle, qui est la plus simple de toutes les courbes; les raisonnemens que l'on vient de faire, pour donner une idée de ceux que l'on doit faire sur les équations aux autres courbes, afin de les décrire par leur moyen, d’en marquer les principales determinations, & d'en découvrir les principales proprierez.

COROLLA IAE I. 10. On voit clairement qu'au lieu d'avoir assigné à x, dans l'équation précedente, des valeurs CP prises sur CH pour trouver tous les points M,m, ou pour déterminer les valeurs correspondantes de y=PM, I'on auroit pû re. garder x comme inconnue, & afsigner à y des valeurs ce prises sur CG, qui auroient servi à déterminer de la même maniere les valeurs correspondantes de x=IM= CP, en tirant de l'équation précedenté, x=Vaa-yy.

COROLL AIRE I I.
Il est clair

que si une des inconnues x de cette équation

yy=aa — xx devenoit une constante, la valeur de l'autre y pourroit de même être déterminée par le

moyen du cercle ; d'où il suit en general que toutes les équations déterminées du second degré peuvent être construites par le moyen du cercle, & qu'elles sont de même genre que les équations indéterminées du même second degré.

REMARQUE S. 12. On remarquera 1o. Que dans toutes les positions du point P, la ligne PM doit toujours demeurer parallele à CG ; & que dans toutes les positions du point la ligne QM doit toujours demeurer parallele à CH.

II.

2o. Qu'il y a toujours deux points, l’un (P) sur CH, & l'autre (Q) sur CG, qui peuvent servir également à déterminer un même point ( M). 3o. Que tout ce qu'on vient de dire du cercle se peut appliquer à toutes les autres courbes, lorsqu'il s'agit de les décrire

par
le
moyen

de leurs équations.

D E' FINITIONS. 13. Dans toutes les courbes, les lignes droites (CH) dont au moins une des extrêmitez (C) est fixe, & dont les parties (CP) sont nommées par l'inconnue de l'équation à qui on donne des valeurs arbitraires (CP) pour

déterminer la grandeur de la ligne (PM)exprimée par l'autre inconnue, sont nommées axes ou diametres de ces courbes.

14. Les mêmes parties ( CP ) sont nommées abcisses ou coupées.

15. Les lignes (PM) exprimées par l'inconnue de l'équation dont on cherche la valeur eu supposant l'autre inconnue comme donnée à chaque position du point P., & qui demeurent paralleles à elles-mêmes, pendant que le même point P change de place, sont nommées appliquées, ou ordonnées à l'axe CH.

16. Parceque QM est égale & parallele à CP, & CO à PM, & que le point'l pris sur CG peut servir à trouver le point M aussi bien que le point P; on peut prendre CG pour l'axe ou le diametre de la courbe; ce pour l'abcisse , ou coupée ; & QM, pour l'appliquée ou ordonnée ; c'est pourquoi on nommera CH , & CG, axes ou diametres cônjuguez; CP & PM, ou CQ & QM ensemble coordonnées'; le parallelogramme CPAQ formé par les coordonnées, le parallelogramme des coordonnées ; & le point C, le commencement , ou l'origine des coordon. nées.

17. Les équations indéterminées ne servent pas seulement à construire les Problêmes indéterminez, ou à décrire les courbes ausquelles elles se rapportent , & dont elles expriment la nature. On pourroit encore par leur

me,

moyen construire tous les Problêmes déterminez : car il n'y a point de Problême déterminé, quelque simple qu'il puisse être , où pour le résoudre, on ne puisse employer deux lettres inconnues , & trouver par consequent deux équations indéterminées, qui étant construites ensemble, selon les regles qu'on donnera dans la suite, les lignes droites, ou courbes, ausquelles elles se rapportent, détermineroient

par leur intersection les points qui satisferoient aux Problêmes, d'où l'on auroit ciré ces équations. On pourroit aufli tirer de ces fortes de constructions des démon. strations très-simples, à la maniere des Anciens. Mais il arriveroit quelquefois que les Problêmes ne seroient pas . tous construits avec les lignes les plus simples qu'ils le puissent être, quoique d'ailleurs la construction en fût. très-simple. Or selon Mr Descartes , & selon la raison mê.

c'est un vice en Geometrie d'employer dans la construction d'un Problême des lignes plus composées que celles qu'exige la nature.

On trouvera dans l'art. 4. no. 17, 18, 19, 20 & 21, des regles pour faire connoître quand un Problême détermipeut

être construit par le moyen de deux équations indéterminées. En voici pour distinguer les courbes les plus simples d'avec les plus composées.

18. C'est le degré d'une équation indéterminée qui fait connoître

que

la courbe dont elle exprime la nature est plus ou moins simple. Et le degré d'une équation est déterminé par la plus haute puissance de celle des deux inconnues, qui est la plus élevée, lorsqu'elles ne le sont pas également, ou par le produit des deux inconnues, quand il s'y rencontre, & qu'il a plus de dimensions que les mêmes inconnues dans les autres termes. Ainsi lorsque dans une équation, l'une ou toutes les deux inconnues, soit qu'elles soient multipliées, ou par elles-mêmes, ou entr'elles, ont deux dimensions, comme ax=yy, ou ax– xx=yy, ou xy = ab; l'équation est du second degré, & la courbé dont elle exprime la nature , est du premier genre.

le

par le

Lorsque l'une ou toutes les deux, ou leur produit, a trois dimensions, comme x' +axy=a', ou x'—axy=y, ou xxy = ayy + a, l'équation est du troisième degré, & la courbe dont elle exprime la nature, est du second genre, & ainsi de suite. Or on convient que les courbes du premier genre sont plus simples que celles du second; & celles-ci plus que celles du troisième, &c. C'est pourquoi ce seroit un vice de construire un Problême

par moyen d'une courbe du second genre, lorsqu'il peut être construit

moyen d'une courbe du premier. Il en est ainsi des autres genres.

R E MARQU E. 19. LORSQU'on décrit une courbe par le moyen de son équation, on regarde une des lettres inconnues qu'elle renferme, comme donnée à chaque fois qu'on change sa. valeur pour déterminer la valeur correspondante de l'autre, on doit donc aussi regarder à chaque fois l'équation, comme une équation déterminée ; & parceque les équations déterminées, sont d'autant plus faciles à construire, que leurs inconnues ont moins de dimensions ; il est à propos dans les équations indéterminées , où les inconnues

pas également élevées, de prendre pour constante, celle qui a plus de dimensions; & pour inconnue, celle qui en a moins.

Et puisque trouver un point d'une courbe, c'est résoudre un Problême déterminé; lorsque dans une équation indéterminée, l'inconnue que l'on ne prend point pour constante, n'aura qu'une dimension, la description de la courbe dépendra de la construction des Problêmes sim, ples déterminez. Lorsque cette inconnue aura deux dimensions, la description de la courbe dépendra de la con., struction des Problêmes plans ; lorsqu'elle en aura trois ou quatre, la description de la courbe dépendra de la conftru&ion des Problêmes solides ; & lorsqu'elle en aura un plus grand nombre, la description de la courbe dépendra de la construction des Problêmes lineaires.

ne font

сіїj

On remarquera aussi que toutes les operations que l'on fait en Geometrie, dependent de la Geometrie plane, c'est-à-dire de la construction des équations déterminées du premier & du second degré ; c'est pourquoi lorsque l'inconnue que l'on ne prend point pour constante dans une équation indéterminée, aura plus de deux dimensions , on ne pourra construire cette équation par elle-même, il la faudra changer en deux autres équations, où l'une des inconnues n'excede point deux dimensions ; & par le moyen de ces deux équations, on décrira les deux courbes dont elles exprimeront la nature, & leur intersection sera un des points de la courbe dont l'équation proposée exprime la nature.

En déterminant le genre des courbes, comme on a dit (no. 17.) on trouvera que le premier genre n'en renferme que quatre, qui sont le cercle, la parabole, l'ellipse & l'hyperbole. De sorte que toutes les équations du second degré appartiennent à quelqu'une de ces quatre courbes. Mais comme le cercle, à cause de la description qui est très-simple, passe pour la plus simple des quatre, ce seroit encore un vice en Geometrie , d’employer une des trois autres, lorsque le cercle peut y être employé seul.

C'est parceque l'on construit la plus grande partie des Problemes de Geometrie par le moyen de ces quatre courbes, que je me suis déterminé à donner dans cet ouvrage les élémens de la parabole, de l'ellipse & de l’hyberbole, les proprierez du cercle écant assez connues d'ailleurs, afin de n'y supposer que les simples élemens de Geometrie.

Les Geometres distinguent deux sortes de courbes; les courbes Geometriques, & les courbes Méchaniques.

20. Les courbes geometriques, sont celles dont les axes ou les diametres conjuguez, & les coordonnées sont des lignes droites, qui peuvent toujours former un parallelogramme, que nous avons nommé ( no. 16.) le parallelogramme des coordonnées , & qui ont des équations reglees qui expriment le raport que ces coordonnées ont entr'elles ; & dont on peut trouver par le moyen de ces

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