née AM qui se trouve toute construite ; c'est pourquoi il
ne reste qu'à construire l'équation au cercle, afin que

le
Problême soit entierement réfolu.
: L'équation au cercle étant réduite , donne avec les ré.
ductions, cette construction.

Ayant pris AF={6-4a, on menera FG parallele
BD &=*C, & du centre G par A , l'on décrira un cer-
cle qui coupera la Parabole au point cherché M.

D E'MONSTRATION.
AYANI

A NT joint GA, & mené GI parallele à AP, qui
rencontrera PM en H, & la circonférence du cercle en 1,
l'on aura par la propriété du cercle, GA ou G /
GH=HM", ou en termes algebriques bb - ab +o
Ísaat tocc- ** — bx 466+ ax + ab

is da
yy – į cy+jórc, qui se réduir à xx + bx — į ax
i cy;-yy. L'on a aulli par la propriété de la Parabole ax =
yy, qui étant combinée par addition avec l'équation pré-
cédente donne xx + bx + ax=4cy, ou 2 xx + 25x =
cy — yy ( en mettant pour ax sa valeur yy, en multipliant
par 2, & transposant) qui est l'équation que l'on a con-
îtruite. C. Q.F. D.

Problême Solide.
s.
Iz
I faut décrire un triangle CBD rečtangle en B,

dont on F1G. 100,
connoit le plus grand ED des deux segmens de la base faits par
la perpendiculaire BE, qui tombe de l'angle droit B sur la base
CD, & la différence DF des côtez.

Ayant supposé le Problême résolu , & nommé les données ED, a; DF,b; & les inconnues EC , *; CB, ou

XX =

BF,9; CD sera x + a; & BD, y+b; l'on aura à caufe
des triangles rectangles CEB, BED, CB' — CE =
DB — Ď E“, & en termes algebriques yy
zby + bb — aa, ou xx= aa — 2by — 66, qui est une
équation à la Parabole.

A cause des triangles semblables DCB, BCE, l'on aura a + x (DC). y (CB ) ::y: *(CE); donc yy=ax+ XX, qui est une équation à l'Hyperbole équilatere.

Si l'on fait présentement évanouir l'une des deux in. connues, on aura une équation du quatrième degré qui ne pouvant être réduite à une équation du second, montre que le Problême est solide.

Or quoique les lignes exprimées par les deux inconnues * &y, n'ayent point les qualitez dont il est parlé dans la premiere Observation de l’Article 4. Neanmoins, parceque

l'on

peut toujours trouver une équation au cercle quand on a deux équations indéterminées du second de.. gré où les deux inconnues ne sont point multipliées entr'elles, quoiqu'il n'y en ait aucune des deux à la Parabole, on peut par leur moyen construire le Problême, comme on va voir par cet exemple. La seconde équation yy = ax + xx donne xx=yy

& mettant cette valeur de xx dans la premiere tion xx = aa

2 by — bb, qui est à la Parabole , l'on

ax = aa — 2by - bb, qui est une autre équation à la Parabole ; & en ajoutant les deux premiers & les deux seconds membres de ces deux équations à la Parabole , l'on aura *x + yy

4 by 2bb, ou xx — ax + yy + 4 by = 2aa - 2bb, qui est une équation au cercle.

Pour réduire cette équation , foit fait x—ia=z&y + 2b=ui l'on aura 22= a + 2bb — uu, qui avec les réductions fournir cette construction.

Soit le point A l'origine des inconnues x, qui va vers G, & y qu'on suppose perpendiculaire à AG ; & qui va en haut,' A cause de la premiere réduction x La=k, on

prendra

ax,

équi

aura yy.

- ax = 2aa

ayant mené

ax = ad

= ax + aa

prendra AR= {a,

&

par R la perpendiculaire RO; à cause de la seconde réduction y + 26=u, l'on prendra ŘO=

= 26; & le point o sera le centre du cercle qu'il faut décrire; à cause de 2bb, on prendra R I moyenne proportionnelle entre 26, &b; & du centre 0, & du rayon í H, que l'on déterminera en prolongeant RA en H, en sorte que AH=a, l'on décrira un cercle.

Pour construire présentement l'une des deux équations à la Parabole, par exemple la seconde yy aby — bb, ou yy + zby

66; soit fait pour la réduire y +b=S; &x+ a=t,& l'on aura | =at, qui donne avec ses réductions cette construction. A cause de la seconde réduction x +a=t, l'on prolongera AG du côté de A en H, en sorte que A H=a, &

ayant mené HK perpendiculaire à AH ; à cause de la premiere réduction y+b=li on prendra HK=b, l'on menera KS parallèle à AG , & l'on décrira ( Art. 10. no. 11.) sur l'axe KS, dont le sommet est K, une Parabole par le moyen de l'équation réduite [=at. Cette parabole couperá le cercle en deux points M & N, de maniere Fig.100. qu'ayant abbaissé des points M & N les perpendiculaires MP, NQ;PM sera la valeur positive de y=CB; NQ, sa valeur négative ; & AP, la valeur de x= EC. De sorte que

i l'on fait ECE AP, & qu'on décrive sur le diametre DC un demi cercle dans lequel ayant ajusté CB = PM, & mené BD, le triangle CBD sera celui qu'il faloit décrire.

DEMONSTRATIO N. AYANT

Ant joint I H & mené par le centre o le diametre VOT parallele à AG qui rencontrera M P prolongée en X de part ou d'autre du point O. Par la construction, & par la propriété du cercle, l'on aura IH”, ou or, ou OT' – Ox= XM”, ou en termes algebriquesa +

Сс

2bb

xx - ax

a,

4 aa=yy +4by + 466, ou 2aa - xx + ax =yy + 4by + 2bb.

Par la propriété de la Parabole KM dont le parametre est l'on aura a KL = LM, ou ax + aa= yy+ zby + bb , ou en soustrayant la seconde équation de la premiere , le premier membre du premier ; & le second du second, l'on aura aa — xx= zby + bb, qui est la premiere équation du Problême, & en soustrayant cette équation de la précédente, chaque membre de chaque membre, l'on aura ax + xx =yy, qui est la seconde équation du Problême. C. Q. F. D.

le moyen

SECTION X.
Où l'on donne la Méthode de construire les Problémes
Solides
par

de leurs équations déterminées ; ou ce qui est la méme chose , de construire les équations déterminées du troisiéme, @ du quan triéme degré.

M É T H O D E.
XXIV

ait
lettres
qu’une pour résoudre un Problême, quand on est venu à
une équation déterminée du troisième ou du quatriême
degré, qui ne peut être réduite à une équation du second,
le Problème est neceflairement Solide, comme on a déja
dit ailleurs, & on le pourra toujours construire par le
moyen de cette équation, en observant les regles qui
fuivent.

1. Si l'équation a un second terme , on le fera premies rement évanouir. Cela fait

2. Si l'équation est du troisiême degré, on la multiplied ra par l'inconnue qu'elle renferme pour la rendre du quatriệme.

3. On formera une équation à la Parabole dont un des membres sera le quarré de la lettre inconnue de l'é. quation que l'on veut construire, & l'autre membre sera le produit d'une autre lettre inconnue par une lettre connue quelconque, ou plutôt par une des lettres connues qui se trouve le plus fréquemment dans l'équation à conftruire : car par ce moyen on rend la construction un peu plus simple.

4. On fera évanouir l'inconnue de l'équation à construire dans le premier & dans le troisiême terme : ( car on