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Si l'on fait x=0, l'équation E se changera en ces deux suivantes yy — 2 ay + ad =0,& bb - yy=0, d'où l'on tire y=a,&y=+6; il suit de la seconde y=+6, que les deux courbes IM & KF coupent l'axe De en deux points I & K , qui font éloignez du point E de la grandeur du demi diametre CM. Il suit de la premiere y=a, que la courbe IM peut passer par le point fixe D, ce qui arrive lorsque 6 a , & lorsque b surpasse a avec cette difference , que lorsque b=a, elle coupe l'axe De au seul point D ; & lorsque b surpasse a point D, & en un autre point plus éloigné de E que

le point D, de sorte qu'elle fait en ce cas une espece de næud, & eft semblable à la courbe du Problême précédent. L'on auroit connu la même chose

par

le
moyen

de l'é. quation F.

Nicomede auteur de cette courbe l'a nommée Concożde , & le point D, le pole de la Concoïde.

elle le coupe au

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Problême Indéterminé. 10. Un angle droit ABH, es un point fixe A , fur un de ses Fig. 110. côtez AB étant donnek, il faut trouver dans cet angle le point M, en sorte qu'ayant mené du point A par M , la ligne AMG qui rencontre l'autre côté BH en G, & du même point M , la ligne MP parallele à BH, MG soit égale à AP.

Ayant supposé le Problême résolu, & nommé la don. née AB, a; & les inconnues AP, ou ( Hyp.) MG, X; PM,y; B P. sera , a - *; AM Vxx +yy; & l'on aura à cause des paralleles BG , PM,*(AP). Vxx+yy ( AM) :: a - *(PB). *( MG), d'où l'on tire après les réductions ordinaires, y=+

, qui est une équation du quatriême degré ; & par conséquent la cour

XV 2ax ---aa

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be dont elle exprime la nature, est du troisiême genre.

On voit par cette équation que la courbe a deux parties égales & semblables, l'une d'un côté de son axe AB, & l'autre de l'autre. : Si l'on fait y=0, l'on aura x={a, d'où il suit que la courbe coupe AB par le milieu en c, & qu'elle ne la rencontre en aucun autre point; puisqu'on ne trouve qu'une seule valeur pour x.

Si l'on fait x = 0, l'on aura y ; qui pourroit faire penser que la courbe passe aussi au point A, puisque y y devient nulle : mais on en est desabusé, lorfqu'on fait x moindre qu'un į a, ou négative : car alors les valeurs de

у

deviennent imaginaires ; c'est pourquoi la courbe ne rencontre AB qu'au seul point C.

Si l'on fait x = a l'on aura y=+, ce qui fait voir que la ligne BH prolongée de part & d'autre à l'infini , est asymptote à la courbe.

Si l'on suppose que x surpasse a , ce qui est poslible; le dénominateur à x du membre fractionnaire de l'équation, deviendra une quantité négative ; c'est pourquoi les valeurs positives de y deviendront négatives , & les négatives deviendront positives ; mais pour les laisser dans l'état où elles sont, il n'y a qu'à changer les signes du dé

nominateur a - *

XV 2ax -- an, d'où & l'on aura y=+

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l'on voit que la courbe a encore deux parties qui sont
au-delà de l'asymptote BH, dans les deux angles HBD,
IBD faits
par le prolongement BD de l'axe AB, &

par la ligne HBI; que ces deux parties ont encore pour asymptote la ligne HBI:car si l'on fait dans la derniere équation x=a , l'on aura y=+*, & que ces deux mêmes parties ne rencontrent point la ligne BD prolongée : car rien n'empêche d'augmenter x à l'infini , fans que les racines de y deviennent nulles où imaginaires, ce qu'on a déja remarqué en faisant y=o. Les deux équations préceden

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construction. Soit 2ax — aa=kh, qui est une équation à la Parabole , qui étant construite suivant les régles de l’Art. 19, aura pour sommer le point C, & pour axe la ligne CD. Ayant mené d'un point quelconque P pris sur ČD, une ligne PK parallele à BH, qui rencontrera la Parabole en K, soit prise PM quatrième proportionnelle à BP, PA, & PK, & le point M sera à la courbe cherchée.

D E'MONSTRATION. Elle est claire par l'équation précedente.

Cette construction, & l’équation à la courbe, font voir que les deux parties de la courbe qui sont dans les angles HBD, IBD ne rencontrent point la Parabole CK: car lorsque le point P se trouve au-delà de B par raport

à A, BP est toujours moindre que PA ; & par conséquent PK moindre que PM. On voit la même chose par l'équation: car si l'on fait l'appliquée PK de la Parabole égale à l'appliquée PM de la courbe, c'est-à-dire Vzax. en mettant cette valeur de y dans l'équation à la courbe, l'on en cirera x= {a, qui marque que ces deux appliquées ne peuvent être égales qu'en un seul point c, ou elles sont nulles , ou =0,& que par consequent la courbe ne rencontre la Parabole qu'au seul point c.

On voit aussi de ce que PB. PA:: PK.PM que plus le point P s'éloigne de B, allant, vers D, plus les points K & M s'approchent l'un de l'autre ; de sorte que si l'on suppose le point P infiniment éloigné de B, PB sera pour ainsi dire égale à PA ; & partant aussi PK=PM , d'où il suit que

la Parabole CK & la courbe CMM, sont asymptotes l'une à l'autre.

-aa =y,

Ff iïj

II.

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E x EMPLE

Problême Indéterminé. DÉCRIRE la Courbe dont la nature eft exprimée par l'équation suivante , qui est du quatrième degré, & ou les deux inconnues x & y, font élevées au-dessus du second x* — ayxx+byyx+cy

En afsignant à y une valeur arbitraire , on regardera cette équation comme une équation déterminée du qua. triême degré, & formant, selon les regles de la Section précedente, une équation à la Parabole , par exemple az = xx ; & mettant dans l'équation precedente pour xx la valeur az, l'on aura aazz aayz +byyx + cy:

+byyx+cy =o, ou.2-yz

=0, qui est une autre

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équation à la Parabole ;'on combinera ces deux équations
à la Parabole pour avoir une équation au cercle ; on con-
stituera cette équation au cercle avec la premiere équa-
tion à la Parabole , qui est la plus simple, & les points
d'intersection, détermineront les valeurs de x correspon-
dantes à celles que l'on aura aflignées ày, que l'on prend
pour l'axe de la courbe qu'on veut décrire, & ayant appli-
qué ces valeurs de x, à l'endroit de l'axe où se termine
la valeur allignée à y, l'on aura autant de points de la
courbe cherchée que l'on aura trouvé de valeurs pour x
positives & négatives ; & de cette maniere, en afsignant
successivement differentes valeurs à y, l'on aura differens
points de la même courbe. Où l'on remarquera que l'é-
quation à la Parabole az=xx, ne renfermant point l'in-
déterminée y, la même Parabole servira toujours dans
tous les changemens de valeurs que l'on assignera à y. Il
n'y aura donc que le cercle dont la grandeur variera se-
lon
que
l'on

augmentera , ou que l'on diminuera la va

leur de y.

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tre

L'on s'est déterminé à prendre y pour donnée , quoique ses dimensions soient moindres que celles de x , parceque y a un second terme dans l'équation, & x n'en a point, outre que la construction est la même, soit que l'inconnue ait quatre dimensions, ou qu'elle n'en ait que

trois. Si les deux inconnues * & y avoient eu chacune un second terme, l'on auroit pris indifferemment l'une ou l'aupour

constante, & l'on auroit fait évanouir le second terme de celle que l'on auroit prise pour inconnue afin de faire toujours servir le cercle dans la construction.

Si l'une des deux inconnues étoit élevée au-dessus du quatrième degré, on décriroit encore la courbe

par

le moyen de la Parabole & du cercle, si l'autre inconnue étoit du troisième ou du quatrième : mais on la décriroic par

le moyen du cercle seul, selon les regles de la Section seconde , si elle n'avoit qu'une ou deux dimensions, en prenant dans l'un & l'autre cas celle qui excéde le

quatriệme degré pour constante.

Si dans une équation indéterminée , les deux inconnues excédent le quatriéme degré, le cercle ne pourra plus servir pour décrire la courbe; il faudra alors former une équation à la premiere Parabole cubique , par le

moyen d'une nouvelle inconnue , & de celle de l'équation dont on veut trouver les valeurs, c'est-à-dire , de celle que

l'on ne prend point pour constante.

On substituera dans l'équation proposée , en la place des troisiême , sixiême, neuviême, &c. puissances de l'inconnue que l'on ne prend point pour constante, leurs valeurs tirées de l'équation à la Parabole cubique į ce qui donnera une équation à une courbe qui servira avec l'équation à la Parabole cubique , à décrire la courbe dont l'équation proposée exprime la nature, comme on va voir par l'exemple qui suit.

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