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12.DÉCRIRE la courbe dont la nature est exprimée par l'équation suivante , qui est du sixième degré,& les inconnues x & y font toutes deux élevées au-dessus du quatrième.

** + ayx* — byyx' + bcy'x+y=0,

En prenanty pour constante, & la ligne qu'elle exprime pour l'axe de la courbe qu'on veut décrire , l’on fera aaz = *?; donc a'zx=x®, & substituant dans l'équation proposée en la place de x•, & de x' leurs valeurs a*22, & aaz, I'on aura celle qui fuit, a%22+ a'zyx — aabzyy + bcy? x+y=0, qui est une équation où l'inconnue x', n'a qu'une dimension ; & que l'on construira par conséquent par les régles de la Section seconde , & les intersećtions avec la Parabole cubique , que l'on décrira aussi par les mêmes régles puisque l'inconnue 2, n'a aussi qu'une dimension, donneront des valeurs de x correspondantes à celles

que

l'on aura assignées à y. Il en est ainsi des autres équacions plus composées.

Mais au reste de quelque genre que puisse être une courbe, il est rare que l'on ne puisse pas trouver une maniere de la décrire , plus simple que celle qu'on tire de son équation, en suivant les régles prescrites no. 2. & 3. ou autrez

ment.

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COROLLA I R E. 13. Il est clair qu'on peut construire les équations déterminées où l'inconnue est élevée au-dessus du quatriême degré comme on vient de dire , en formant une équation à la Parabole cubique avec une nouvelle inconnue , & celle de l'équation : car après les substitutions l'on pourra toujours avoir une équation à une courbe où l’inconnue de l'équation proposée n'excédera pas le second degré; & la courbe dont cette équation exprime la nature , & la

Parabole

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14. Un

point A

Parabole cubique étant décrites, leurs intersections de
termineront les valeurs ou racines de l'inconnue de l'é-
quation proposée. Il est pourtant certain qu’un Probleme
de cette nature sera toujours construir plus élégamment,
lorsqu'ayant employé deux inconnues pour le résoudre,
on le construira avec les deux premieres équations dans
lesquelles on sera tombé à la maniere.de ceux de la Section
neuviême , comme on va voir par l'exemple qui suit.

E x E M P L E
De la construction des Problèmes dont les équations déterminées

excédent le quatrième degré.

Problême. N angle droit ABH, & un point fixe A sur un de F 16.111, fes côtez, étant donnez ; il faut trouver au-dedans un point M, d'où ayant abbaissé sur AB la perpendiculaire MP, le reftangle ÁP x PM,

soit égal à AB ; & qu'ayant mené du par le même point À la droite AMC qui rencontre BH en C, AM foit égale à BC.

Ayant supposé le Problême résolu , & nommé la donnée AB, a ; & les inconnues AP , *; PM,y; AM sera Vxx+yy; & l'on aura par la premiere condition du Problême

xy =

= aa , qui est une équation à l'Hyperbole par raport a les asymptotes.

A cause des triangles semblables APM , ABC, l'on a, AP (x).. PM (y):: A B(a). BC == (Hyp.) Vxx + y = AM, ou en quarrant les deux membres , & multipliant par xx, aayy =+*+ xxyy, qui est une équation à une courbe du troisiême genre, d'où faisant évanouir y par le moyen de l'équation à l'Hyperbole xy= aa, l'on aura a'=x'+a* xạ , qui est une équation déterminée du sixiéme degré.

Pour la construire par le moyen de l'équation détermi . née a'=x*+ a*xx, soit fait aaz=x, qui est une équation à la premiere Parabole cubique ; & mettant dans l'é

3

GS

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Fig. 112.

quation a'=x' + a*xx, en la place de x' la valeur aan, elle deviendra aa=*+ xx, qui est une équation au cercle.

Soit présentement F l'origine des inconnues des deux équations au cercle, & à la Parabole cubique, & qui va vers G , & x qui lui est perpendiculaire , & va en haut. Si du point F pour centre & pour rayon AB=a, l'on de. crit un cercle ; & sur la même FG pour axe, dont le sommet est F,& le parametre a, la Parabole cubique KFN; elle coupera le cercle en deux points K & N , & la perpendiculaire NQ sera la valeur positive de x, & KL sa

valeur négative qui sera égale à la positive , de forte FIG. 111. qu'ayant fait AP=NQ, le point P sera un des points 112. cherchez.

D E'MONS I R A TI O N. Par la proprieté de la Parabole cubique (Art. 9.no.18.) Fl x aa = ON', ou en termes algebriques aan = x", qui montre que cette Parabole , n'est pas semblable à la Parabole ordinaire , & que ses deux parties vont l'une d'un côté , & l'autre de l'autre de l'axe FG d'un sens contraire : car l'on cire de son équation x=vaaz, qui fait voir que x, n'a qu'une seule valeur qui est positive : mais si l'on fait z négative , l'on aura x=-aaz, où x n'a qu'une seule valeur qui est négative. Maintenant par la proprieté du cercle , l'on a FI - FQ=QN', ou en termes algebriques aa — =xx, ou a* -**=a*xx, qui est l'équation que l'on a construite. C. Q. F. D.

Mais pour résoudre entierement le Problème, il faut encore déterminer la grandeur de PM=y; c'est pourquoi reprenant l'équation à l’Hyperbole xy=aa , qui est la plus simple des deux premieres qu'on a trouvées, l'on en tirera y = qui est une équation déterminée du premier degré à cause de x dont la valeur vient d'ê. tre trouvée ; c'est pourquoi si l'on prend PM troisième proportionnelle AP & à AB , le point M sera celui que l'on cherche,

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aa

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par le

On pourra aussi construire cette équation a®=x'+a*xx moyen

du cercle & de la Parabole ordinaire : car ayant fait as=xx, l'équation déterminée deviendra à =' + aas, en mettant pour xx sa valeur as , qui est une équation du troisiême degré, que l'on construira par les régles de la Segion neuviême ; & après avoir trouvé par ce moyen la valeur de f, l'on aura celle de x= AP qui est une moyenne proportionnelle entre a & : cela fait , il faudra encore déterminer la grandeur de PM=y comme on vient de faire.

Pour construire présentement le Problême avec les deux premieres équations xy=da,

&

aayy=x++ xxyy ; l'origine des inconnues x&y, dans l'une & dans l'autre étant au point A , x allant vers B , & y parallele à BH; Fig. III. ayant fait BH=AB=a , & mené AS parallele à BH, l'on décrira par H entre les asymptotes AB, AS l'Hyperbole HM.

L'énoncé du Problême donne une description trèsfimple de la courbe AM dont l'équation aayy=x*+xxyy exprime la nature, & cette courbe coupera l'Hyperbole HM au point cherché M. La Démonstration en eft clai. re, & l'on voit que cette construction résout pleinement, naturellement , & très-élegamment le Problême.

On pourroit regarder ce Problême, comme un Problê. me solide , puisqu'on l'a construir avec le cercle, & la Parabole ordinaire : mais on a jugé à propos de le faire servir d'exemple pour la construction des Problêmes dont les équations excédent le quatrième degré.

Si on examine la nature de la courbe AM par le moyen de son équation, l'on en tirera une description assez sím. ple; & l'on trouvera qu'elle touche son axe AB au point A, & qu'elle a pour asymptote la droite BH , &c. REMARQUES

GEN ER A LES Sur la construction des Problèmes déterminez é indéterminez. 15. Les Problêmes déterminez tels qu'ils puissent être, ont toujours autant de solucions que les deux lignes, droi

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le

tes ou courbes , qui servent à les résoudre, ont de points communs ou d'intersections ; & fi ces deux lignes ne se rencontrent point, le Problême sera impossible.

On pourroit aussi se servir de l'équation à l'Hyperbo

xy=aa , au lieu de l'équation à la Parabole ay=xx, pour tirer des équations indéterminées des équations déterminées , du troisiême & du quatriême degré , & de l'é. quation à l'Hyperbole cubique xxy =', au lieu de l'é. quation à la Parabole cubique aay=x, pour construire les Problêmes déterminez dont les équations excédent le quatriême degré. Enfin les Problêmes déterminez construits de la maniere que nous avons proposée, seront toujours construits avec les courbes les plus simples qu'ils le puissent être.

16. Pour décrire les courbes du premier genre , on a réduit leurs équations à un certain état : on n'a point fait la même chose pour décrire celles des genres plus composez , parce qu'il y en a une trop grande quantité dans chaque genre. Il peut neanmoins arriver qu'en changeant l'origine, ou la position de leurs axes ou ce qui revient au même , de leurs coordonnées, les équations en deviendront plus simples ; & par conséquent aussi leur construction. Or ces changemens se font de la même maniere que ceux qui se font

par

les réductions, comme on a. vû dans toute l'étendue de la Section huitiême , en égalant une de leurs inconnues + ou — une quantité connue à une nouvelle inconnue , & substituant dans l'équation la valeur de l'inconnue que l'on en yeur faire évanouir , ce qui donnera une équation dont la forme sera differente de la premiere. On peut faire la même chose sur l'autre inconnue.

On peut encore non-seulement changer l'origine des coordonnées : mais on peut aussi changer l'angle qu'elles font entr'elles, & leur faire faire tel angle qu'on voudra, comme l'on a fait en plusieurs endroits de la même Section huitièmę.

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