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SECTION XII. Des Courbes méchaniques , ou transcendentes , de leur description, @r des Problémes qu'on peut

construire par leur moyen. XXVI. Outes les Courbes geométriques ren

trent en elles-mêmes, ou s'étendent à l'infini ; de maniere que leurs axes , ou leurs coordonnées les rencontrent en un nombre déterminé de points , ce qui fait que les lettres indéterminées des équations qui en expriment la nature , ou, ce qui est la même chose, qui expriment la relation que leurs coordonnées ont entr'elles, ont un nombre déterminé de dimensions , & qu'on peut par conséquent trouver tous les points de ces Courbes geométriquement, c'est-à-dire , par l'intersection de deux lignes geométriques droites, ou courbes.

Toutes les courbes méchaniques rentrent aussi en ellesmêmes, ou s'étendent à l'infini : mais on ne peut point trouver d'équations qui expriment geométriquement la relation de leurs coordonnées : car il y a des Courbes méchaniques dont une des coordonnées est une ligne droite , & l'autre une ligne courbe dont la rectification est geométriquement impossible. Il y en a d'autres done les coordonnées sont deux lignes courbes ; d'autres dont les appliquées partent toutes d'un même point, & d'au. tres qui sont figurées de maniere que leurs axes les rencontrent en une infinité de points ; d'où il suit qu'afin qu'une équation en pût exprimer la nature ; il faudroit qu'au moins une de ses inconnues eût une infinité de dimenfions, ce qui est impossible ; & c'est pour cela que ces Courbes sont aussi nommées transcendentes.

Il suit de tout ceci que l'on ne peut geométriquement trouver tous les points des Courbes méchaniques, puisque leurs équations n'en expriment que méchaniquement la nature.

Gg iij

ou

Il y a même des Courbes méchaniques dont on ne connoît que certaines proprierez , d'où l'on ne peut tirer d'équations en termes finis. Il faut alors avoir recours à l'infini , en regardant les Courbes comme des Polygones d'une infinité de côtez , & en comparant les côtez d'un triangle infiniment petit , formé par une petite portion de la Courbe comprise entre deux appliquées infiniment proches, par la difference de ces deux appliquées ; & par la distance de l'une à l'autre, & que l'on regarde comme un triangle re&iligne , aux côtez d'un grand triangle formé par la tangente ,

la perpendiculaire , par l'appliquée , & par la soûtangente , ou par la foûperpendi. culaire , & les équations que l'on tire de la comparaison des côtez de ces deux criangles , sont nommées équations différentielles ; parce que les côtez du petit triangle font les différences de la Courbe , des deux appliquees infiniment proches, & des deux abscisses qui correfpondent à ces deux appliquées.

On n'entreprend point ici de donner une Theorie complete des Courbes néchaniques ; mais plutôt une simple explication de celles qui se rencontrent le plus ordinairement dans les Ouvrages des Geometres , & particulierement dans l'excellent Livre de l'Analyse des Infiniment Petits de feu Monsieur le Marquis de l'Hôpital , où il sup. pofe que son Lecteur connoisse toutes les courbes dont il explique les plus belles proprierez.

PROPOSITION I. F 16.113. 1.

1. Soit un cercle ABP, dont le centre est C, & un rayon CA. Si l'on conçoit que le rayon C A fasse un tour entier autour de fon extrêmité immobile C, de maniere que le point A fe meuve uniformement sur la circonfé. rence de A par B en A , pendant qu'un point mobile parcourera auffi d'un mouvement uniforme , le rayon CA állant de C en A ; ce point décrira par la composition de ces deux mouvemens., une Courbe CDMA, qui aura. cette proprieré dans toutes les situations de AC, par

exemple en celle de CP , que la circonference entiere
ABĀ sera à la partie ABP: comme CA ou CP à CM,
ou ( ayant nommé CA, a; ABA, C; ABP, X; CM, y ;)
6.x :: a.g

d'où l'on tire =cy.
Si l'on suppose que le rayon CA fasse encore un, ou
plusieurs tours le point décrivant parcourera pendant
chaque tour, sur prolongée, des parties comme A E
égales à CA, & la courbe fera autant de cours autour
d'elle-même , que CA en aura fait ; & comme on peut
supposer que

le

rayon CA fasse une infinité de tours ; il suit que la Courbe peut le rencontrer en une infinité de points ; & que par conséquent elle est méchanique , ou transcendente.

Archimede Auteur de cette Courbe l'a nommée Spirale.

Pour la décrire, ayant divisé la circonférence ABA, & le demi diametre CA en un nombre égal de parties égales , & mené CP à quelqu'une des divisions, on portera de C en M autant de parties de CA, que ABP en contient , ou de P en M , autant de parties de CA que AFP en contient ; & de l'une ou de l'autre maniere le point M sera à la Courbe CDM : car l'on aura toujours ABA. ABP :: CA.CM, ou ABA. AFP :: CA. PM.

On décrira de même le ze tour, en portant sur le longement de CP autant de parties de CA que ABP en contient, & ainsi des autres , en décrivant pour chaque tour un cercle dont le rayon soit double , triple, &c. du

Śi l'on suppose que le rayon CA, & le point décrivant, ilir se meuvent avec des vitesses qui foient en telle raison qu'on voudra , c'est-à-dire, que ces vitesses soient telles que l'on ait toujours ABA" ABP::CA". CP, ou c". x" :: a". y", d'où l'on tirera d'x"="y", qui est une équation pour toutes les Spirales à l'infini.

Ce seroit la même chose li le rayon AC tournoit autour du point C d’un sens contraire, de A par F vers P, pendant que le point mobile descendroit de A vers C, en fupposant les vitesses telles qu'on les vient de supposer i

sur le pro

rayon CA.

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car nommant AFP, *; & PM,y; l'on auroit encore c".*" ::a”.y", ou a"x"="y", qui est l'équation précédente.

Si m & n signifient des nombres positifs , les fpirales seront nommées paraboliques ; & fi l'une des deux signifie un nombre négatif, elles seront nommées hyperboliques ; parceque sic & x exprimoient des lignes droites aussi-bien que a & y, ces équations appartiendroient à la Parabole dans le premier cas; à l’Hyperbole dans le second. Par exemple, si m=I,&n=2, l'on aura aax = cyy. Si m

&n=-1, l'on aura xy = ac. Si m=2, -I, l'on aura xxy=acc, &c. L'on décrira ces Courbes comme si elles étoient geométriques, en supposant la quadrature du cercle..

I,

&n=

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FIG. 114. 2. Soit

IT un quart du cercle ADB , dont le centre est C, & les rayons CA & CB. Si l'on conçoit que le

rayon CA se meuve uniformement autour du centre C, jusqu'à ce qu'il arrive en CB , & que pendant ce temps-là une perpendiculaire PM au rayon CA , partant du point A, parcourre aussi uniformement le rayon AC, en demeurant parallele à CB ; l'intersection M du rayon C A qui devient CD, & de la perpendiculaire. PM , décrira une courbe AME, qui sera telle que ADB. AD:: AC. AP. Dioclés , son Auteur, l'a nommée Quadratrice.

3. Si le rayon AC au lieu de se mouvoir autour du centre C, se 'mouvoit parallele à lui-même, de forte qu'étant parvenu dans une situation quelconque DF, l'on ait toujours' ADB'. AD :: AC. AP ; l'intersection M de la parallele DF avec la perpendiculaire PM; décriroit la Courbe AMB, que Monsieur T chirnhausen a aussi

nommée Quadratrice. Fig. 114. , Si l'on nomme AC, a; ADB, C; AD, * ; ÅP, Y; l'on 115. aura c.x::a.ys donc'ax=wy, pour l'équation commune à ces deux courbes..

PROPOSITION

FIG. 11S.

PROPOSITION III. 4. Soient deux cercles AFB, ALI égaux ou inégaux, F1c. 116. qui se touchent en A , dont les centres soient C & H, & les rayons CA, ON CB & HA: soit de plus un point fixe D , pris sur le rayon CB prolongé, ou non prolongé.

Si l'on suppofe présentement que le cercle AFB roule fur le cercle ALI, jusqu'à ce que le point B soit

parvenu en T , le point D décrira par ce mouvement une portion de Courbe DMS, que l'on appelle demi Epicycloide , ou demi Roulette.

Pour trouver une équation qui renferme quelque pro. prieté de cette courbe , fuppofons que le demi cercle mo. bile AFB, soit parvenu en roulant dans la situation KLP dont le centre Toit 0, le point D sera alors en M , qui est un des points de la courbe , & le point B sera en P. Ayant décrit du centre C par D le demi cercle DGE, du centre H par M l'arc MG , qui rencontrera la demi circonférence DGE en G, l'on menera du centre H du cercle immobile ALI, les droites HM., qui coupera en I le cercle ALI , HLO qui passera par le point touchant 1 , & HG qui coupera l'arc ALI en R, & du centre C du demi cercle mobile AFB, la droite CG qui coupera AFB en F.

Il est clair que les triangles HCG, HOM font égaux, & équiangles : car HC= HO, HG=HM , & CG= OM :c'est pourquoi les angles CHG,OHM seront égaux, & partant l'arc RI= l'arc AL=( Hyp. )l'arc LK=là cause de l'angle HOM=HCG ) l'arc FB.

Nommant donc les données CB , ou CF, ou LO, &c. a; BD, ou MP, ou AE,b; HA , ou HI,&c,c; l'arc

l'arc MG,y; & l'appliquée HM, 2; CD sera', a+b; & les secteurs semblables CDG , CBF, donneront CD (a+b).CB (a):: DG (*). BF =

=RI;

ntb & à cause des secteurs semblables HMG , HIR,

Hh

DG , x;

l'on a

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