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ax

x(HM ).(H1)::(HG).

(IR), d'où l'on tire

atb cy= ou acy + bey = axz

atb

axz

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COROLLAIRE I. s. Il est clair que lorsque le point B, ou P touchera le cercle ALI en un point T , larc ALT sera égal à la demi circonférence AFB, & le point décrivant D ou M sera sur le rayon HT en S,

de forte

que

ST=BD.
COROLLA IR E I I.
6. Şi le point décrivant Détoit entre C & B , le cercle
DGE seroit intérieur au cercle AFB , & lorsque le point
B, ou P seroit parvenu en T , le point décrivant D, ou

M, ou, ce qui est la même chose , le point S de la Cour.
be seroit sur le rayon HT prolongé au-delà de T de la
longueur de BD, & l'équation précedente deviendroit
acy -- bcy = axz: car BD=b deviendroit négative de
positive qu'on la supposée.
COROLLA IR E

E III.
7. Si le point Détoit en B, ou ce qui est la même cho-
se , fi B devenoit le point décrivane , le cercle DG E se
confondroit avec le cercle AFB, & le point S de la Cour-
be tomberoit en T , ou le point B toucheroit le cercle
ALI; & en ce cas DB=b devenant nulle, ou = 0, l'é.
quation deviendroit cy=xL.

COROLLA I R E. IV. 8. Si l'on suppose que le point H s'éloigne infiniment de A dans la ligne AB, le cercle ALI deviendra une ligne droite perpendiculaire sur AB au point A ; l'arc GM , une autre droite parallele à ALI ; & les rayons AH & MH, deviendront infinis , & par conséquent paralleles & égaux ; c'est pourquoi c sera égale à , & l'équation

precedente (no.4.) se changera en celle-ci ay + by=ax, en la divisant par les quantitez égales c & 2, & faisant de nouveau les mêmes raisonnemens que l'on vient de faire dans les trois premiers Corollaires , l'équation du second deviendra ay ---by=ax;

ay-by=ax;, celle du troisième deviendra y=x.

La Courbe DMS, est en ce cas nommée , demi Cycloäde ou demi Roulette à Base droite.

COROLLAIRE V. 9. Si le cercle AFB au lieu de rouler , glissoit sur la ligne AL droite , ou circulaire, en sorte que le point touchant A parcourût d'un mouvement uniforme la ligne ALT=AFB, pendant que le point décrivant D parcoureroit aussi d'un mouvement uniforme la demi circonférence DGE>, <, ou=AFB , & en lui demeurant concentrique ; il est clair que la demi roulette décrite par ces mouvemens, seroit la même que si le cercle AP rouloit sur la ligne ALT.

COROLLA IRE V I. 10.

o. Mais si le point décrivant D employe plus de temps à parcourir uniformement la demi circonférence DGE, que le point touchant A n'en employe à parcourir aussi uniformement ALT = AFB , la demi roulette fera nommée Alongée.

Si au contraire le point D employe moins de temps à parcourir DGE , que le point A n'en employe à parcourir ALT = AFB ; la demi roulette sera nommée Accourcie.

COROLLAIRE VII. 11. Si le point touchant A , & le point décrivant D fe mouvoient avec des vitesses qui fussent telles que les puis. fances m des parties parcourues par le point A sur AL, & les puissances n des parties parcourues dans des temps égaux par le point D sur la demi circonférence DEG>,

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font pas

<,ou=AFB, gardassent entr'elles un raport constant, l'on pourroit avoir par ces mouvemens non seulement toutes les roulettes dont on vient de parler: mais encore, une infinité d'autres de différens genres.

R E MARQUE. 12. Les Roulettes & bâses droites , sont toutes méchaniques : car une ligne droite se pouvant étendre à l'infini , le cercle mobile AFB, pourra faire une infinité de tours , ou glisser sur cette ligne infinie AL pendant que le point décrivant D, parcourera une infinité de fois la circonférence du cercle concentrique DGE : mais la roulette décrite par le point D rencontrera à chaque tour, ou la ligne AL, ou une autre, qui lui sera parallele ; c'est pourquoi la ligne AL prolongée à l'infini, ou sa parallele , rencontrera en une infinité de points la Roulette DMS qui sera par conséquent méchanique.

Mais les Roulettes à bases circulaires , ne même : car lorsque les diametres du cercle immobile ALT , & du mobile ABF seront entr'eux, comme nom. bre à nombre , leurs circonférences seront aussi comme nombre à nombre ; c'est pourquoi le point décrivant D, recombera au même point S après une ou plusieurs révolutions, & si le cercle mobile continue de rouler , ou de glisser après ce tour au point s, le point D recommencera à décrire la même Roulette & partant un rayon HM tiré du centre H , la rencontrera en un certain nombre déterminé de points; alors la Roulette sera geométrique, & l'on pourra trouver une équation qui servira à en déterminer tous les points geométriquement , comme on pourra voir dans un livre que Monsieur Nicole va donner au public sur toutes les espéces de Rou. lettes, où il en expliquera très-[çavament toutes les propriétez.

Mais lorsque les diametres du cercle mobile , & du cercle immobile seront incommensurables , le point décrivant ne retombera jamais dans un même point ; & en

pas de

1

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!

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A

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faisant une infinité de tours autour du cercle immobile,
il décrira une infinité de Roulettes qui ne seront nean-
moins qu'une même Courbe ; & partant un rayon tiré du
centre du cercle immobile rencontrera cette Courbe en
une infinité de points , & elle sera par conséquent mé-
chanique.
PROPOSITION IV.

PR O B L E M E.
13. I faut décrire la courbe BM dont l'axe eft AP, une ap-
pliquée PM , & dont une des proprietezest que la soûtangente
PT est toujours égale à une ligne donnée KL.

Ayant supposé le Problême résolu , & mené l'appli- Fig.117.
quée pm infiniment proche de PM; la ligne MmT, me-
née

par les points M ,m infiniment proches, sera une tangente : car la courbe BM , étant regardée comme un poTygone d'une infidité de côtez, Mm sera un de ces côtez. Or il est clair que si la courbe BM est toujours convexe d'un même côté , le petit côté Mm étant prolongé, ne la coupera point , & le prolongement MT sera par conséquent une tangente.

Ayant mené mR parallele à AP, RM sera la différence des deux appliquées infiniment proches PM & pm; c'est pourquoi on lui donnera le même nom qu’à PM, précédé de la lettre d, qui signifiera différence , & l'on n'employe. ra point dans la suite la lettre d à d'autres usages. Ainsi nommant l'appliquée PM ,Y; RM sera dy, c'est-à-dire, différence de y; de sorte que la lettre d né fait

que cara. êtériser y , & n'est l'expression d'aucune quantité : mais parce qu'il n'y a aucun point fixe sur AP , pour pouvoir nommer l'intervalle qui se trouveroit entre ce point fixe, & le point P par une autre inconnue , * ; on se conten. tera de nommer Pp, ou Rm , dx; on nommera aussi la donnée KL, ou ( Hyp. ) PT ,a: or le petit triangle MRM étant regardé comme rectiligne à cause de l'infinie peti

telle du petit côté Mm , sera semblable au triangle MPT;
c'est pourquoi l'on aura dy (MR). dx ( Rm)::y (MP).a
(PT) d'où l'on tire ydx=ady, qui est une équation diffé-
rentielle.

14. Pour construire les courbes qui ont de telles équa-
tions , il faut 1°. Que l'une des différences avec fon in-
connue , si elle s'y rencontre soit dans un des membres
de l'équation, & l'autre dans l'autre , & que les deux
différences soient dans le numérateur , si l'équation est
fractionnaire ; selon cette régle l'équation précédente de

ady vient dx

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20. Qu'en multipliant ou divisant l'équation , s'il est
nécessaire , par une quantité constante , chaque membre
soit un plan dont chaque différence soit un côté. Ainsi
ady

aady
l'équation dx deviendra adx , en multipliant
chaque membre par a.

39. On égalera chaque membre à une nouvelle incon-
nue, après l'avoir divisé par la différence qu'il renfer-
me, & l'on aura par ce moyen deux équations à deux
courbes geométriques , ou une équation à la ligne droite
& l'autre à une courbe. Ainsi de l'équation précédente,
on tire a=, qui est une équation à la ligne droite, &

=), ou aa=y/, qui est une équation à l'Hyperbole

pár raport à ses asymptotes.
F16.118. 4. Ayant mené deux lignes DQ, FP qui se coupent à

angles droits en A ; on fupposera que les quatre incon-
nues qui se trouvent dans l'équation différentielle, & dans
les deux équations que l'on en a tirées, ont leur origine
commune au point d'intersection A, de maniere que

les
deux inconnues de chaque équation se trouvent sur les deux
lignes qui forment un même angle droit , c'est-à-dire ,
que fi l'on nommé AP , *; & AQ; qui sont les deux
inconnues de l'équation différentielle précédente , il fau-

1

aa

1

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