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puisque PC=I, PD=2, PE=3, &c. PN sera =

-1, P0=-2, PL=-, &c. donc en rangeant ces expressions des perpendiculaires , & celles des parties de l'axe AP , de maniere que l'expression de PQ/réponde à celle de QV ; celle de PO, à celle de os , &c. l'on aura les deux progressions suivantes , qui se répondront terme à terme , & chaque terme de la progression arithmérique , sera le logarithme de celui qui lui répond dans la progression geométrique.

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1

ou x

I. X X X ,

&c. Prog. arith. 3.-2.-1.0. 1. 2. 3, &c.

COROLLA I Å E I V. 19. D'où l'on voit, 1°. Que les expofans des puissances en sont les logarithmes. 2o. Que la somme de deux logarithmes , est le logarithme du produit des deux nombres qui leur répondent. Ainsis (=3+ 2 ) est le logar. de x

(=xx x'=x3+?). 3o. Que la différence de deux logarithmes, est le logarithme du quotient des deux nombres qui leur répondent. Ainsi 21=5–3 ) est le logarithme de x2(=

.). 4°. Que le double , le triple , &c. d'un logarithme, est le logarithme du quarré, du cube , &c. du nombre correspondant. Ainsi 4 (= 2+2, est le logarithme de **)=x*xx' ***. go. Que la moitié, le tiers, &c. d'un logarithme, est le logarithme de la racine quarrée, cube , &c. Ainsi 3 ( égal à la moitié de 6, est le logarithme de x=vx

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5-3

6

O

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COROLLA I RE V. 20. IL L suit aussi des deux Corollaires précédens que le logarithme de la racine d'une puissance multipliée par l'exposant de cette puissance sera le logarithme de la même puissance , & qu'on peut par consequent changer une puissance, ou une autre quantité quelconque en son logarithme , & au contraire : car en fupposant les mê. mes choses que dans les Corollaires précédens PC=1, étant le logarithme de CF=x;PD=2(=2 PC=2 fois le Logarithme de CF=x), sera le Logarithme de DG=x?; PE=3 ( 3 PC = trois fois le Logarithme de PC=x), sera le Logarithme de x' : ce qu'on ex. prime en cette forte : L:DG ( I signifie Logarithme) =2 LCF, ou L :x= 2 Lx; L:EH=3LCF, ou L :x3

3 Lx. De même, L:OS(=-2PC)=-2ZCF, ou

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I : ax

-xx=La +- * to Lx ; L :aa — XX = La + x fe La =*; L: axx -x' = 2 Lx + La X.

= Il n'est pas plus difficile de changer les quantitez logarithmiques en leurs nombres correspondans : car il n'y a qu'à les élever à la puissance exprimée par leurs logarithmes , & multiplier celles qui sont jointes par le signe +,& diviser par celles qui ont le signe -. Ainsi N:3

LX fN. signifie Nombre) =x'; N: mLx = x; N : La +

*x + 303 Lx_Dy= N:2Lx + La+*— iLa

g
Il en est ainsi des autres.

Parce que les logarithmes des quantitez égales, sont

aa

aussi égaux ; il suit qu'on peut changer les équations or-
dinaires en équations logarithmiques, & au contraire.
Ainsi yy = aa — xx, qui est une équation au cercle, se
change en celle-ci, 2ky=La+*+ La — x,

*, qui est une
équation logarithmique. De même 2Ly=La + Lx, qui
est une équation logarithmique , le change en celle-ci
yy=ax qui est une équation à la Parabole. Il en est ainsi
des autres.

PROPOSITION V.

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و

PROBLEM E.
Fig. 120. 21. Un cercle APB , dont le centre effc , étant donné , il

faut décrire la courbe AMD qui fait avec tous les rayons CMP,
Cmp, un angle égal à un angle donné.

Il est clair que si l'on suppose que le rayon Cp soit infi-
niment proche de CP , & que l'on décrive du centre C,
par m le petit arc mR , le petit triangle MRM pourra

être regardé comme rectiligne ; c'est pourquoi ayant mené du centre C, la droite CT perpendiculaire à CP , & prolongé le petit côté Mm jusqu'à ce que le prolongement rencontre CT en T: la droite MMT , qui sera une tangente au point M , la perpendiculaire CT, qui sera la soûtangente , & la partie CM du rayon CP formeront le triangle rectangle MCT semblable au petit triangle MRm, & qui sera toujours semblable à lui-même, à cause de l'angle CMm, ou CMT égal à un angle donné. Supposons donc que le raport constant de MC à CT soit comme mà n.

Ayant nommé la donnée CA , ou CP , a ; l'arc indéterminé AP , *; PM ,y; Pp sera dx ; MR, dy , & CM, a -- y. Or à cause des secteurs semblables CPP, CRm, l'on aura CP (a): CM (a-y):: PP (dx). MR adx ydx

; & à cause des triangles semblables. MRM,

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a

adx yda MCT , l'on a MR.(dy). RM

):: MC(ay) aadx — 2 aydx + yyds . CT =

: mais m. n:: a -y (MC).

ady aadx zayda tyydos

(CT); donc n * a - y =m* ada

ady

a

gadx 2 aydx + yydx

gax -ydx Qunmx

en divisant chaque ady

na dy membre par acy, ou( no. 14. ) = mdx , qui donne cette construction.

Ayant supposé m=2, qui est une équation à la ligne droite, & =u, qui est une équation à l'Hyperbole ;

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na

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on prolongera CA en F, en sorte que AF=m=,

l'on menera par A la droite G H perpendiculaire à CA , & ayant nommé AG , *,& AH , * ; l'on construira l'Hyperbole HOS entre les asympotes CA & CB parallele à AH. D'un point quelconque o pris sur l'Hyperbole, ayant mené oi parallele à AH ,l'on prendra sur AG le point G, en sorte qu'ayant mené GK parallele à AF, le rectangle AGKF soit égal à l'espace Hyperbolique A10H, & ayant fait l'arc AP=AG, & mené le rayon CP, l'on décrira du centre c par 1 l'arc IM , qui coupera CP au point A1 qui sera à la courbe cherchée.

D E M O N S T R A TI O N.

AYANI

ANT mené un rayon Cp infiniment proche de CP, qui coupera la courbe au point m; décrit du centre C pár m l'arc mL ; mené LQ parallele à 10, fait Ag=Ap,& mené gk parallele à GK. Par la construction, l'espace AgkF

est égal à l'espace Hyperbolique ALQH, & AGKF = XI0H; donc Ggkk =İLQO: mais GgkK=zdx

nady

nady =mdx, & ILQO=udy

donc mdx C. l. F.D.

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à

COROLLAIRE I. 22. Il est clair 10. Que la courbe AMD ne passera point au centre C du cercle, puisqu'elle coupe tous les rayons angles égaux. 2°. Qu'elle fera une infinité de tours autour du même centre: car lorsque AG fera égale à la circon. férence APBA, le point M de la courbe sera sur le rayon CA: & comme l'espace Hyperbolique HACBS est infini , avant que de l'avoir épuisé, il faudra prendre sur AG prolongée à l'infini , une infinité de fois APBA ; c'est pourquoi la courbe AMD rencontrera une infinité de fois le rayon CA, & fera par conséquent une infinité de tours autour du centre C.

COROLLAIRE I I. 23. ON tire de l'équation que l'on vient de construire mdx. ndy :: aia-y; d'où il fuit que si l'on prend dx pour constante, ou ce qui revient au même, si les

parties AP croissent également en devenant Ap, ou, croisfent en proportion arithmétique, les appliquées PM, ou CM, feront (no. 17.) en proportion geométrique ; c'est pourquoi cette courbe est noinmée Logarithmique Spirale.

REM A R R u E. 24. Si l'on changeoit l'équation précédente mdx

. neady en celle-ci adx

en divifant

par m, & en mul

nady

ma

- my

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