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cause du demi cercle; CB fera — Vaa―bb. La même chofe s'execute encore en la maniere fuivante. Soit dé. FIG. 13. crit un demi cercle fur le diametre AB=2a, élevée au centre C la perpendiculaire CH, prife CGb racine du quarré negatif, menées EF, & FD paralleles à AB,& à HC, & mené le rayon CF; GF ou CD fera-Vaa—bb; puifque CF =a, & CG, ou DF = b. Cette derniere ma niere convient mieux à la construction des équations que la précedente.

4. Il y a des quantitez Algebriques plus compofées que celles dont on vient de parler (no. 1, 2, 3 ;) & que l'on ne peut exprimer geometriquement, qu'après y avoir fait certains changemens. Or ces changemens consistent particulierement à mettre l'expreffion Algebrique d'un quarré en la place de l'expreffion Algebrique d'un rectangle, ou de mettre l'expreffion Algebrique d'un rectangle dont un côté foit donné en la place d'un autre rectangle, où d'un quarré. Ainfi pour exprimer geometriquement cette quantité fractionnaire dont le nume

aa+bb-cd
b

rateur n'eft point le produit de deux quantitez que l'on puiffe féparer par la divifion, & qui ne peut par confequent être réduite en analogie, il faut donc changer le quarré Algebrique bb, en un rectangle dont un côté foit a, & le rectangle Algebrique cd, en un autre rectangle Algebrique, dont un côté foit auffi a, afin que la lettre a fe trouve dans tous les termes. Soit pour ce fujet x, le côté du rectangle qui doit être égal à bb, dont l'autre côté eft la ligne donnée, exprimée par as l'on aura, felon les termes de la question, ax = bb ; donc x=2;

b b

a

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=

bb

ayant donc (no. 1.) exprimé geometriquement & l'ayant nommée ƒ; l'on aura f= x; & partant af: bb. Soit femblablement y le côté du rectangle qui doit être égal à cd, dont l'autre côté eft la même donnée a; l'on

E

>

aura ay

cd

cd

cd; donc y: : & ayant nommé g l'expref

a

fion de trouvée (no. 1.); l'on aura ag=cd; la quan

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aaaf-ag

tité precedente fera donc changée en celle-ci, b en mettant pour bb, & pour cd, leurs valeurs af, & ag que l'on vient de trouver, qui eft facile à exprimer; puifqu'on la peut à prefent réduire en l'analogie fuivante b aa + af — ag On auroit pû changer le quarré b

a :: a +f— 8.

aa,

6.

& le rectangle cd, au lieu que l'on a changé bb, & cd. 5.Pour exprimer la quantité Vaa — bc, il faut changer le quarré aa en un rectangle, dont un côté soit b ou c; ou bien le rectangle bc en un autre, dont un côté foit a; & on en aura enfuite facilement l'expreffion geometrique (no. 2.) Il en eft ainfi des autres.

6. Les manieres dont nous venons de nous fervir pour exprimer geometriquement les quantitez Algebriques font generales: on les peut fouvent abreger par le moyen de quelques lignes menées paralleles à quelques autres lignes données de pofition, ou en décrivant quelques cercles, felon que l'indique la figure de chaque Problême que l'on conftruit: mais comme ces manieres font particulieres, on n'en peut rien dire ici, cela dépend du genie du Geometre, qui veut réfoudre & conftruire les Problêmes le plus élegamment qu'il lui eft poffible. On les trouvera pratiquées dans plufieurs exemples.

CONSTRUCTION

Des Equations déterminées du premier degré, & de celles du fecond qui n'ont point de fecond terme.

O'ques

7. N voit clairement que les expreffions geometriques des quantitez Algebriques, donnent auffi la résolution des équations du premier degré, & de celles du fecond, qui n'ont point de second terme; car fi ces mêmes quantitez étoient égalées à des lettres inconnues leur valeur feroit déterminée par ces expreffions. Par exemple, pour conftruire cette équation xxaa — bc, d'où l'on tire x =±√aa—bc, il n'y a qu'à exprimer Vaa-bc, comme on vient de faire, & l'expreffion prise de part & d'autre, de l'origine de x fera fa valeur pofitive & negative. Il en est ainfi des autres.

CONSTRUCTION

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Des Equations du fecond degré, qui ont un Second terme.

VI.

"L

Es Equations du fecond degré qui ont un fecond terme, fe peuvent toutes réduire à quelqu'une des quatre formules fuivantes.

I. xx= ax + bb.

2.

xx=—ax+bb.

3. xx = ax

4. xx

I

-bb.

ax-bb, dont les racines font,

a±√—aa+
±√ aa+bb.

I. x=

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FIG. 14.

I.

CONSTRUCTION

De la premiere & feconde Formule. POUR la premiere & la feconde Formule. Soit dans la figure fur laquelle on opere, & d'où l'on a tiré l'équation que l'on veut conftruire, A le commencement de x & 15. qui va vers H. Ayant élevé au point A la ligne AB perpendiculaire à AH, &=b racine du dernier quarré bb ; on prendra AC (Fig. 14.) a dù côté de H, par ra

I

2

I

port à A pour la premiere formule où il y a+a; & de

2

l'autre côté de H (Fig. 15.) pour la feconde formule, où

་་་

il y a ——a; & du centre Ċ l'on décrira par B, le cercle

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DBE, qui coupera AH en E, & en D. Je dis que AE fera la valeur pofitive de x, & AD fa valeur negative.

DEMONSTRATION.

PUISQUE AC= a, & A B = b ; C B =CE sera

=√ aa+bb; & par consequent x = A B = ± a+

V1aa+bb. C. Q. F. D.

On prouvera de même de même que AD, eft la valeur negative de x qui doit être prise de l'autre côté de A par raport

à H.

FIG. 13. 2.

CONSTRUCTION

De la troisième & quatrième Formule. SOIT IT A le commencement de x qui va vers P. & 16. Ayant pris AC du côté de P, par raport à A pour la troifiême formule, où il y a +

I

2

a (Fig. 13.); & de

l'autre côté de P fur le prolongement de AP pour la qua

I

triême formule, où il y a a (Fig. 16.); l'on dé

2

crira du centre C & du demi diametre CA = La le demi

2

cercle AHB, on élevera enfuite CH perpendiculaire à AB, fur laquelle ayant pris CGb, racine du dernier quarré, on menera EF parallele à AB, qui coupera le demi cercle aux points E & F, d'où l'on abaisserà les perpendiculaires FD, EI. Je dis que AD & AI, feront les deux valeurs pofitives de x (Fig. 13), pour la troifiême Formule; negatives (Fig. 16), pour la quatriême.

DEMONSTRATION.

I

PUISQUE AC ou CF = a,& CG=b;GF,ou CD

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sera =√1 aa—bb, & par consequent AD= x = a +V÷aa−bb, & AI=x= + a + √ aa — bb, lefquelles valeurs font toutes deux réelles & pofitives dans la Fig. 13. qui appartient à la troifiême formule, & toutes deux réelles, mais negatives dans la Fig. 16. qui appartient à la quatriême formule. C. Q. F. D.

3. SI b=CG est

REMARQUE.

2

a=CH, le point G tombera en H, les points D & I en C, & les deux valeurs de x, feront égales.

4. Si CG eft plus grande que CH; les deux mêmes valeurs de x feront imaginaires, & le Problême fera impoffible. Ce qui fe connoît auffi par l'inspection des deux formules que l'on conftruit.

5. On peut encore conftruire ces équations, en faifant évanouir le second terme, après quoi on trouvera les valeurs de l'inconnue par par l'art. 5.

n°. 2.

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