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cause du demi cercle; CB sera = Vaa -bb. La même
chose s'execute encore en la maniere suivante. Soit dé. Fig. 13:
crit un demi cercle sur le diametre AB=2a, élevée au
centre C la perpendiculaire CH, prise CG= b racine
du quarré negatif, menées EF, & FD paralleles à AB,&
à HC, & mené le rayon CF;GF ou CD sera=Vaa66;
puisque CF=a, & CG, ou DF=b. Cette derniere ma-
niere convient mieux à la construction des équations que
la précedente.

4. Il y a des quantitez Algebriques plus composées
que celles dont on vient de parler (no. 1, 2, 3 ;) & que
l'on ne peut exprimer geometriquement, qu'après y avoir
fait certains changemens. Or ces changemens consistent
particulierement à mettre l'expression Algebrique d'un
quarré en la place de l'expression Algebrique d'un redan-
gle, ou de mettre l'expression Algebrique d’un rectangle
dont un côté soit donné en la place d'un autre rectangle,
ou d'un quarré. Ainsi pour exprimer geometriquement
cette quantité fractionnaire

dont le numerateur n'est point le produit de deux quantirez que l'on puisse séparer par la division , & qui ne peut par

consequent être réduite en analogie ; il faut donc changer le quarré Algebrique bb, en un rectangle dont un côté soit

& le rectangle Algebrique cd, en un autre rectangle Algebrique, dont un côté soit aussi a, afin que

la lettre a se trouve dans tous les termes. Soit pour ce sujer x,

le côté du rectangle qui doit être égal à bb , dont l'autre côté est la ligne donnéė, exprimée par a; l'on aura,

selon les termes de la question, ax = bb ; donc x=-; ayant donc ( no. 1.) exprimé geometriquement & l'ayant nommée f; l'on aura f=x; & partant af=bb. Soit semblablement y le côté du rectangle qui doit être égal à cd, dont l'autre côté est la même donnée a; l'on

E

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b

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bb

bb

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a

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cd

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la

b

b

aura ay=id; donc y=-: & ayant nommé g l'expreffion de trouvée (no. 1.); l'on aura ag=id; quan

aa taf-ag tité precedente sera donc changée en celle-ci, en mettant pour bb, & pour cd, leurs valeurs af, & ag que l'on vient de trouver, qui est facile à exprimer ; puilqu'on la peut à present réduire en l'analogie suivante b.

an taf- ag a :: a+f-8.

On auroit pû changer le quarré aa, & le re&angle cd, au lieu que l'on a changé bb, & cd.

s. Pour exprimer la quantité Vaa — bc, il faut changer le quarré aa en un rectangle, dont un côté soit b ou c; ou bien le rectangle bc en un autre, dont un côté soit a; & on en aura ensuite facilement l'expression geometrique (no. 2.) Il en est ainsi des autres. 6. Les manieres dont nous venons de nous servir

pour exprimer geometriquement les quantitez Algebriques sont generales : on les peut souvent abreger par le moyen de quelques lignes menées paralleles à quelques autres lignes données de position , ou en décrivant quelques cercles, selon que l'indique la figure de chaque Probleme que l'on construit : mais comme ces manieres sont particulieres, on n'en peut rien dire ici, cela dépend du genie du Geometre, qui veut résoudre & construire les Problêmes le plus élegamment qu'il lui est possible. On les trouvera praci. quées dans plusieurs exemples.

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CONSTRUCTION Des Equations déterminées du premier degré, es de celles du second qui n'ont point de second terme.

N voit clairement que les expressions geometri

ques des quantirez Algebriques , donnent aussi la résolution des équations du premier degré, & de celles du second, qui n'ont point de second terme ; car fi ces mêmes quantitez étoient égalées à des lettres inconnues leur valeur seroit déterminée par ces expressions. Par exemple, pour construire cette équation xx=aa -be, d'où l'on tire x=+Vaabc, il n'y a qu'à exprimer Vaa— bc, comme on vient de faire ; & l'expression prise de part & d'autre, de l'origine de x sera sa valeur positive & negative. Il en est ainsi des autres.

CONSTRUCTION Des Equations du second degré, qui ont un

second terme. VI. Es Equations du second degré qui ont un se

peuvent toutes réduire à quel. qu'une des quatre formules suivantes. 1. XX= ax + bb.

ax+bb. 3. XX = ax -bb. 4. xx

ax 66, dont les racines font, a +Vaa+bb.

---atviaa+b6. 3. x= Evina bb.

a IV aa-bb.

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cond terme,

fe

2.

=

I

I. X

2

2. X

2

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2

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2

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CONSTRUCTION

De la premiere & seconde Formule. 1. Pour la premiere & la seconde Formule. Soit dans

la figure sur laquelle on opere, & d'où l'on a tiré l'équaFig. 14. tion que l'on veut construire, A le commencement de x & is. qui va vers H. Ayant élevé au point A la ligne AB per

pendiculaire à AH,&=b racine du dernier quarré bb; on prendra AC (Fig. 14.)=-a du côté de H, par raport à A pour la premiere formule où il y à +

- a; & de l'autre côté de H (Fig.:15-) pour la seconde formule, où il y a mai & du centre į l'on décrira par B, le cercle DBE, qui coupera AH en E, & en D. Je dis que A E sera la valeur pofitive de x; & AD sa valeur negative.

D E' M O N S T R A T 1 o N.
PUISQUE AC

=-a, & AB=b; CB=CE sera
Ev Jaa+b6; & par consequent x=AB=+
Vaa + 66. C. Q. F. D.

On prouvera de même que AD, est la valeur negative de x qui doit être prise de l'autre côté de A par raport à H.

CONSTRUCTION

De la troisième & quatrième Formule. Fig. 13. 2.

SOIT

IT A le commencement de x qui va vers P. & 16. Ayant pris AC du côté de P, par raport à A pour la troisième formule , où il y a +

a ( Fig. 13.); & de l'autre côté de P sur le prolongement de AP pour la qua

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2

+

at

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I

2

triême formule , où il y a a (Fig. 16.); l'on dé

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2

I

crira du centre C & du demi diametre CA=

a le demi

2

cercle AHB, on élevera ensuite CH perpendiculaire à A B, sur laquelle ayant pris CG=b, racine du der. nier quarré, on menera EF parallele à AB, qui coupera le demi cercle aux points E & F, d'où l'on abaissera les perpendiculaires , El. Je dis que AD & AI, seront Ies deux valeurs positives de x(Fig. 13), pour la troisiême Formule; negatives (Fig. 16), pour la quatriême.

DEMONSTRATION. PUISQUE AC ou CF=- a,& CG=b;GF, ou CD fera Vaa—66, & par consequent AD=x= +a +Vaabb, & AI=x=+1a F Vaa bb, lesquelles valeurs sont toutes deux réelles & positives dans la Fig. 13. qui appartient à la troisiême formule, & toutes deux réelles, mais negatives dans la Fig. 16. qui apparcient à la quatrième formule. C. Q. F. D.

I

2

REMARQUE. 3. Sib=CG est

a=CH , le point G tombera en H, les points D & I en C, & les deux valeurs de x, seront égales.

4. Si CG est plus grande que CH; les deux mêmes valeurs de x seront imaginaires, & le Probleme sera impossible. Ce qui se connoît aussi par l'inspection des deux formules que l'on construit.

5. On peut encore construire ces équations, en faisant évanouir le second terme , après quoi on trouvera les valeurs de l'inconnue par l'arr. s. no. 2.

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