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FIG. 43.

E X EMPLE VI.

Theoremc. 6. Les parallelogrammes BD, CE, & les triangles ABC, DCF qui ont mėme hauteur AG, sont entr'eux comme leurs bafes BC, CF.

Ayant nommé BC, a; CF,b; & la hauteur AG, C; l'on aura ac = au parallelogramme B D que je nomme, *, & bc=au parallelogramme CE, que je nomme y; il faut démontrer que x(BD). y.(CE) :: a. b.

DE'M ONSTRATION.
PUISQUE x = ac,

bc, l'on a x.y :: ac. bc;
donc box=acy, ou bx=ay; donc x.y::a.b.c.Q.F.D.
C'est la même chose pour les triangles.
EX EMPLE VII.

Theorême. F16.44.7. LES triangles semblables ABC, DEF, sont entr'eux

comme les quarrez de leurs côtex homologues AB, DE.

Ayant nommé AB, a; BC,b; De,c; EF,d; le triangle ABC,x;& le triangle DEF,y; les produits ab(AB x BC), & cd ( DE ® BF) seront en même raison que

les triangles ABC, & DEF, ou x, c'est pourquoi l'on aura ab. cd :: x. y; donc cdx = aby : mais la resemblance de ces triangles donne a.( AB) 6:: (BC)::((DE)d.(EF); donc ad=bc; donc d=b; & mettant certe valeur de d dans la premiere équation, l'on aura aby, ou ccx=aay; donc x.y::aa. cc :: ABP. DE'. C. Q.F.D.

L'on démontrera de même, que tous les polygones semblables sont entr'eux comme les quarrez de leurs côtez homologues. Et comme les cercles sont aussi des polygones semblables d'une infinité de côtez, dont les

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brex

diametres sont les côtez homologues ; il suit que les cercles sont entr'eux comme les quarrez de leurs diametres, ce que l'on démontre aussi facilement que pour les triangles semblables.

E X EMPLE VIII.

Theoréme. 8. LES solides semblables sont entr'eux comme les cubes de leurs côtea homologues.

Soient deux Spheres AB & CD; ayant nommé le F16.45, diametre AB de la Sphere AB; a; la circonference ç; 46. le diametre CD de la Sphere CD, 6; la circonference, d; la Sphere AB, *; & la Sphere CD, y. Il faut démontrer que x.y:: à', b.

D E'MONSTRATION. LA Sphere AB est égale à ai, & la Sphere CD=564; donc x. y :: a. bbd :: aac . :: aac . bbd ; donc bbdx

=

aacy: Mais les cercles étant des polygones semblables, leurs diametres sont comme leurs circonferences ; c'est pourquoi a. b :: C.d; donc ad = bc; & partant d=h mettant donc cette valeur de d dans la premiere équation, l'on a aacy, ou b'x=dy; donc x. y:: a'. b'. C. Q. F.D.

On démontrera la même chose , & de la même maniere pour les autres solides semblables.

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EX EMPLE IX.

Theorême. 9. LES triangles ABC, DEF dont les bases B C, EF, 6 F16. 47. les hauteurs AG, DH font en raison reciproque , font égaux.

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bd

Ayant nommé BC, a; EF, b, AG,C; DH, d; le triangle ABC, *; & le triangle DEF, y; l'on aura le triangle A BC==x, & le triangle DEF= =y;

donc x.y :: a b :: ac. bd; donc bdx = acy: Mais ( Hyp) a. b:: d. c; donc ac = bd ; c'est pourquoi la premiere équation bdx acy devient x=y, A BC =DEF. C. l. F. D.

On démontrera de la même maniere que les parallepipedes, les prismes, les cilindres, les cones & les piramides, dont les bases & les hauteurs sont en raison reciproque, sont en raison d'égalité.

On ne donnera pas davantage d'exemples de la Méthode de démontrer par l’Algebre les Theorêmes de Geometrie : car les quatre Sections suivantes, où l'on démontrera les proprietez les plus considerables des Sections coniques, en fourniront un assez grand nombre.

I 1
GENERALES.

SE C TI O N I V.
Des Sections du Cone @om du Cilindre.

DÉFINITIONS FIG. 48, IX. 1. N appelle Section Conique , une ligne courbe 49, So.

IDH, qui est la commune Section d'un Plan E DF, & de la superficie d'un Cone ABC, dont A est le sommet; & la base est un cercle dont le diametre est BC.

2. Le triangle ABC est appellé le triangle par l'axe; parcequ'il est la commune Se&tion du Cone & du Plan qui passe par le sommer A , & par le diametre BC de la base, & que l'axe du Cone, est dans le Plan du même triangle A BC.

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SUPPOSITION.
ON suppose que le Plan EDF, est perpendiculaire
au Plan du triangle ABC, & que le plan du triangle
ABC, est perpendiculaire à la base du Cone.

COROLLA IR E. 4

D'où il suit que DG, qui est la commune Seation du Plan EDF, & du triangle ABC, est perpendiculaire à EGF, qui est la commune Section du même Plan EDF, & de la base du Cone ; &

que

la même EGF, est perpendiculaire à BC; & par consequent coupée ( Fig. 48, & so.) par le milieu en G; d'où l'on conclura aussi que fi l'on mene par quelque point i de la ligne DG, une ligne MN parallele à BC, & une autre ligne IH parallele à EF; ces deux lignes MN, & IH, leront dans un Plan parallele à la base du Cone, dont la commune Section avec la superficie du Cone, sera un cercle qui passera par les points M,1,N, H,& dont le diametre fera MN, qui coupera à angles droits, & par le milieu en 1, la ligne IH.

Il suit aussi que le point D, qui est commun à la courbe IDH, & au côté À B du triangle ABC, est plus près du sommet A dans les suppositions précedentes, que tout autre point de la même courbe. DÉFINITIONS

PARTICULIER E S. s. L A Section conique IDH, est nommée parabole , F16.48 lorsque le Plan coupant EDF, est parallele à un des côtez AC du Cone ou du triangle ABC; DG est nommée l'axe de la parabole; D, son sommet, DL, l'abcisse, ou la coupée ; IL, ou LH, l'appliquée , ou l'ordonnée à l'axe.

6. La Section conique IDH , est appellée, ellipse , lors- F16.49. que le Plan coupant' E DF, coupe les deux côtez AB; Ac du Cone ou du triangle par l'axe, & n'est point pa. rallele à la base du Cone, La ligne Dd est nommée l'axe,

ou diametre principal; le point K milieu de Dd, le centre ;
la ligne V KR menée par le centre K perpendiculaire à
Dd, l'axe, ou le diametre conjugué à l'axe Dd; DL, l'ab.
cisse ou la coupée ; LI ou LH, l'ordonnée ou l'appliquée à
l'axe Dd.
Il

peut arriver un cas où la Section est un cercle, quoique le Plan coupant ne soit point parallele à la base du Cone: mais cela ne fait rien à notre dessein.

7. La Section conique IDH, est appellée hyperbole, lorsque le Plan coupant E DF, coupe aussi la superficie conique opposée, & y forme une autre hyperbole edf , opposée à la premiere, que l'on démontrera ailleurs lui être égale, & semblable; Dd est nommée l'axe déterminé de l'hyperbole, ou des hyperboles opposées ; D, & d, le sommet de l'axe Dd; DL, l'abcisse, ou la coupée ; LI, ou LH, l'appliquée ; ou l'ordonnée; le point K milieu de Dd,

Fig.so.

le centre.

Fe dis

PROPOSITION I.

Theorême. F16.48.

EN 8. N supposant les mêmes choses que l'on a supposées dans la Figure la courbe ID H est une parabole ; & outre cela, Ji on mene Do parallele à BC, ou à MN; si on prend AP DO, & qu'on mene P Q parallele à DO, ou à MN.

que DL PQ=LI=LH'. Puisque le Plan coupant EDF est( no. 5.) parallele à AC, AP= DO sera

LN; & ayant nommé les données A0,6; DO, ou AP, ou IN,; Plip; & les inconnues DL, X; & LI, . Il faut prouver que px ( PQ x DL)=yy ( LI).

D E'MONSIRATI O.N. LEs triangles femblables AOD, DLM, donnent AO (6).0 D (C) :: D L (*). LM= Or (no. 4.), & par la proprieté du cercle ( LM » LN)=(LI)=yy:

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