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FIG. 43.

EXEMPLE VI.

Theorême.

6. LES
ES parallelogrammes BD, CE, & les triangles ABC,
DCF qui ont méme hauteur AG, font entr'eux comme leurs
bafes BC, CF.

Ayant nommé BC, a; CF,b; & la hauteur AG, c; l'on aura ac au parallelogramme BD que je nomme, x, & bc au parallelogramme CE, que je nomme y; faut démontrer que x (BD). y. (CE) :: a. b.

DE'MONSTRATION.

PUISQUE xac, & y =
ac, & y = bc, l'on a x.

donc bcx=acy, ou bx:

FIG.44.7.

=

il

bc, l'on a x. y :: ac. bc; ay; donc x.y: a. b. C. Q. F.D.

C'est la même chofe pour les triangles.

EXEMPLE VII.

Theorême.

7. LES triangles femblables ABC, DEF, font entr'eux comme les quarrez de leurs côtez homologues AB, DE.

Ayant nommé AB, a; BĊ,b; DE, c; EF,d; le triangle ABC, x; & le triangle DEF,y; les produits ab (AB × BC), & cd (DE x BF) feront en même raison que les triangles ABC, & DEF, ou x, &y; c'est pourquoi l'on aura ab. cd :: x. y; donc cdx=aby : mais la reffemblance de ces triangles donne a. (AB) b :: (BC) :: c ( DE ) d. ( E F ) ; donc ad=bc; donc d= b; & mettant cette valeur de d dans la premiere équation, l'on aura baby, ou ccx=aay; donc x. y :: aa. cc :: AB2. DE2. C. Q. F. D.

L'on démontrera de même, que tous les polygones femblables font entr'eux comme les quarrez de leurs côtez homologues. Et comme les cercles font auffi des polygones femblables d'une infinité de côtez, dont les

diametres font les côtez homologues; il fuit que les cercles font entr'eux comme les quarrez de leurs diametres, ce que l'on démontre auffi facilement que pour les triangles femblables.

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8. LES folides femblables font entr'eux comme les cubes de leurs cotez homologues.

d

Soient deux Spheres AB & CD; ayant nommé le F1 G.45; diametre AB de la Sphere AB, a; fa circonference c; 46. le diametre CD de la Sphere CD, b; fa circonference, la Sphere AB, x; & la Sphere CD, y. Il faut démontrer que x. y a3, b3. x.y

DE'MONSTRATIO N.

6

donc bbdx = aacy:

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LA Sphere AB eft égale à 4, & la Sphere CD=bbd;
donc x. y:: aac, bbd
bbd :: aac. bbd; donc bbdx
Mais les cercles étant des polygones femblables, leurs
diametres font comme leurs circonferences;
c'est pour-
quoi a. bc. d; donc ad = bc; & partant d = be;
mettant donc cette valeur de d dans la premiere équa-

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bc

donc x. ya.

On démontrera la même chofe, & de la même maniere pour les autres folides femblables.

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9. LES triangles ABC, DEF dont les bafes BC, EF, & F16. 47. les hauteurs AĞ, DH font en raison reciproque, font égaux.

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Ayant nommé BC, a; EF, b, AG, c; DH, d, le
triangle ABC, x; & le triangle DEF, y; l'on aura le
triangle ABC 44 =x, & le triangle DEF = bd
donc x. y :: ac. bd
:: ac. bd :: ac. bd; donc bdx
Mais (Hyp) a. b :: d. c;
a. bd. c; donc ac= = bd; c'eft pourquoi
la premiere équation bdx=acy devient x=y, ABC
DEF. C. Q. F. D.

= y;

=

bd;

=

acy:

On démontrera de la même maniere que les parallepipedes, les prifmes, les cilindres, les cones & les pirami des, dont les bases & les hauteurs font en raison reciproque, font en raison d'égalité.

On ne donnera pas davantage d'exemples de la Méthode de démontrer par l'Algebre les Theorêmes de Geometrie: car les quatre Sections fuivantes, où l'on démontrera les proprietez les plus confiderables des Sections coniques, en fourniront un affez grand nombre.

FIG. 48, IX. I.

49, 50,

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Des Sections du Cone & du Cilindre.

DEFINITIONS GENERALES

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N appelle Section Conique, une ligne courbe
IDH, qui eft la commune Section d'un Plan
EDF, & de la fuperficie d'un Cone ABC, dont A est le
fommet; & la base est un cercle dont le diametre est BC.

2. Le triangle ABC eft appellé le triangle par l'axe;
parcequ'il eft la commune Section du Cone & du Plan
qui paffe par le fommet A, & par le diametre BC de la
bafe, & que l'axe du Cone, eft dans le Plan du même
triangle ABC.

1

SUPPOSITION.

3. ON fuppofe que le Plan EDF, eft perpendiculaire au Plan du triangle ABC, & que le plan du triangle ABC, eft perpendiculaire à la base du Cone.

COROLLAIRE.

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4. D'où il fuit que DG, qui est la commune Section
du Plan EDF, & du triangle ABC, eft perpendiculaire
à EGF, qui eft la commune Section du même Plan EDF,
& de la bafe du Cone; & que la même EGF,
eft per-
pendiculaire à BC; & par confequent coupée ( Fig. 48
& 50.) par le milieu en G, d'où l'on conclura auffi que fi
l'on mene par quelque point Z de la ligne DG, une ligne
MN parallele à BC, & une autre ligne IH parallele à
EF; ces deux lignes MN, & IH, feront dans un Plan
parallele à la bafe du Cone, dont la commune Section
avec la fuperficie du Cone, fera un cercle qui paffera par
les points M, I, N, H, & dont le diametre fera MN,
qui coupera à angles droits, & par le milieu en Z, la
ligne IH.

Il fuit auffi que le point D, qui eft commun à la courbe IDH, & au côté AB du triangle ABC, eft plus près du fommet A dans les fuppofitions précedentes, que tout autre point de la même courbe.

1

DEFINITIONS

PARTICULIERE S.

5.LA Section conique IDH, eft nommée parabole, FIG. 48. lorfque le Plan coupant EDF, eft parallele à un des côtez AC du Cone ou du triangle ABC, DG eft nommée l'axe de la parabole, D, fon fommet, DL, l'abciffe, ou la coupée ; IL, ou LH, l'appliquée, ou l'ordonnée à l'axe.

que

6. La Section conique ID H, eft appellée, ellipfe, lorf FIG. 49. le Plan coupant EDF, coupe les deux côtez AB; AC du Cone ou du triangle par l'axe, & n'eft point pa rallele à la base du Cone, La ligne Dd eft nommée l'axe,

FIG. 50.

FIG. 48.

ou diametre principal, le point K milieu de Dd, le centre; la ligne KR menée par le centre K perpendiculaire à Dd, l'axe, ou le diametre conjugué à l'axe Dd; DL, l'ab. ciffe ou la coupée; LI ou LH, l'ordonnée ou l'appliquée à l'axe Dd.

Il peut arriver un cas où la Section eft un cercle, quoile Plan coupant ne foit point parallele à la bafe du

que

Cone: mais cela ne fait rien à notre deffein.

7. La Section conique IDH, eft appellée hyperbole, lorsque le Plan coupant EDF, coupe auffi la fuperficie conique oppofée, & y forme une autre hyperbole edf, oppofée à la premiere, que l'on démontrera ailleurs lui être égale, & femblable; Dd eft nommée l'axe déterminé de l'hyperbole, ou des hyperboles oppofées; D, & d, le fommet de l'axe Dd; DL, l'abciffe, ou la coupée; LI, ou LH, l'appliquée, ou l'ordonnée; le point K milieu de Dd,

le centre.

PROPOSITION I.

Theorême.

8. EN fuppofant les mèmes chofes que l'on a supposées dans la Figure où la courbe IDH eft une parabole; & outre cela, fi on mene DO parallele à BC, ou à MN; fi on prend AP DO, & qu'on mene PQ parallele à DO, ou à MN.

Je dis que DL × PQ=LI'=LH'.

=

=

Puifque le Plan coupant EDF eft ( no. 5.) parallele à AC, AP DO fera LN; & ayant nommé les données AO, b; DO, où AP, ou LN, c; PQ, p'; & les inconnues DL, x; & LI, y.

Il faut prouver que px (PQ x DL) =yy ( LI3).

DE'MONSTRATION.

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(b). OD (c) : DL (x). LM = : Or (n°. 4.), & par la proprieté du cercle ( LM × LN ) % = ( LI ̊ ) = yy :

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