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mais la ressemblance des triangles AOD, APQ donne b. (AO). - (OD)::(( AP). P(PQ) i donc cc = bp. Mettant donc bp en la place de ce dans la premiere équation, l'on aura px=yy. C. & F. D.

D E F INI TI O N. 9. LA ligne PQ=p, est appellée le parametre de l'axe F 16.48. de la parabole. PROPOSITION I 1.

Theorême. 10. En supposant les mêmes choses que dans le Figure où F10.49: la courbe 'IDH est une ellipse ; & outre cela si l'on divise Dd

par le milieu en K, & si l'on mene SKT paralleled MN, VKR parallele à HI; RV, sera la commune Section de l'ellipse, da d'un cercle SRTV, dont le diametre eft ST, & qui est coupé dans la superficie Conique par un Plan parallele à la base du Cone, ou au Plan du cercle MINH, puisque H I eft (no. 4.) la commune Section de l'ellipse, o du cerclc MINH. De forte que V & R seront dans la circonference du cercle SRTV, & dans celle de l’ellipse. Cela posé,

que

DL Ld. LI :: DK'. KR'.
Ayant nommé les données DK, ou Kd,
KT, f; KV, ou KR, 6; & les indéterminées KL, x;
LI, ou LH,y; DL sera a -- *, & dL, a+xi

Il faut démontrer que aa – xx (D L * Id.).yy (LI) :: aa (DK'). bb (KR).

je dis

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a;

SK, 8;

DEMONSTRATION.
LEs triangles semblables dKT, DIN, & KDS, LDM,

af+fac donnent d K (a). KT (f.)::d1(a+*). LN

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ag

& KD (a). KS (8) :: LD (a*) L M

- gx

j

aafg - afgx + afgx — fgxx donc par la proprieté du cercle

aa

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aabb - bbxx

aafg - fgxx (LN LM)=yy (L I), qui se réduit à

=yy: mais fg=TK ~ KS= ( par la proprieté du cercle ) KR=bb; c'est pourquoi mettant dans l'équation précedente pour fg sa valeur bb, l'on aura

=yy, d'où l'on tire aa — xx.yy :: aa. bb. C. l. F. D.

Si l'on avoit nommé DL, x; l'on auroit trouvé cette équation 2ax — XX =

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aayy

ou aa

XX

bb

aayy

bb

PROPOSITION III.

Theorême. F16.50. 11. En supposant les mêmes choses que l'on a supposées

dans la Figure la courbe IDH est une hyperbole, & outre cela, si l'on divise Dd par le milieu en K, & qu'ayant mené KTS parallcle à MN, on trouve une moyenne proportionnelle KR entre KS, & KT. Je dis que DL x Ld. LIP:: DKP KR’.

Ayant nommé les données KD, a; KR, b; KS, 8;
KT, f; & les indéterminées KL, X; LI, ou IH, Y;
ID sera, * -a; & Ld, x + a.

D E M O N S T R À TION.
Les triangles semblables dKT, dIN, & DKS, DLM,

fx + af donnent, dk (a). KT (F):: dL (x +a). IN=

8* -ag & DK (a). KS (8) :: DZ (x--a). LM

donc

gfxx — aafg par la proprieté du cercle

(LMXIN)=yy

(LI?).

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i

(LI). L'on a aufli

par

la construction g (KS). 6 (KR) :: 6. (KR). f(KT); donc gfsbb; c'est pourquoi li l'on met dans l'équation précedente, en la place de gf sa va

bbxx aabb leur bb, l'on aura

=yy, ou xx d'où l'on tire xx — aa. yy::aa. bb. C. Q. F. D.

Si l'on avoit nommé DL, x; l'on auroit eu cette équa. tion 2ax to xx =

aayy

aa

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bb

aayy

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bb

DE' FINITION. 12. LA ligne VKR double de KR menée par K paral- Fig.497 lele à IH, est appellée l'axe conjugué à l'axe Dd. so.

13. Dans l’ellipse & dans l'hyperbole , la troisième proportionnelle à deux diametres conjuguez quelconques, est appellée le parametre de celui qui occupe le premier lieu dans la proporcion.

14. Suivant cette Définition, il est aisé de déterminer le parametre de l'axe Dd dans l’ellipse, & dans l'hyperbole: car il n'y a qu'à prendre DP= 2KT ; & la droite PQ, parallele à MN, qui rencontre le côté AB du cone en Q, sera le parametré qu'on cherche:car, ayant nommé la ligne PQ, P; les triangles semblables DKS, DPQ, donnent a (DK). 8(KS):: 2f (DP, ou 2 KT). P(PQ); donc pa=2fg : mais (no. 11, ) fg=bb; donc pa = 2bb, d'où l'on cire a. 6:: 26. P, ou ca. 26 :: 26. p, c'est-à-dire Dd. RV :: RV. Pl.

is. Puisque ( no. 14.) a. b:: 26.p::b. { p; donc aa. bb :: a. įp :: 2a. P; donc aap= zabb; donc =; c'est pourquoi, si l'on met dans les deux équations précedentes (no. 10, & 11,) au lieu de fi la valeur ; l'on aura

20%, & xx — aa= 209); d'où l'on tire aa - *x, ou xx - aa. yy :: 2ą.p, c'est-à-dire , DL * LDA. LI' :: Dd. PL.

K

ܘܐ

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donc

par

la proprieté du cercle aaff afgx + afgx - fgxx

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ad

le

ad

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aa

aayy

ou aa-XX :

bb

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aayy

bb

aafg fgXX (LN ~ LM)=yy ( L I”), qui se réduit à

=yy: mais fg=TK ~ KS= ( par la proprieté du cercle ) KR=bb; c'est pourquoi mettant dans l'équation pré

aabb bbxa cedente pour fg sa valeur bb, l'on aura

=yy, d'où l'on tire aa — xx.yy :: aa. bb. C. l. F. D.

Si l'on avoit nommé DL, x; l'on auroit trouvé cette
équation 2ax — Xx=
PROPOSITION III.

Theorême.
Fja.so. 11. En supposant les mêmes choses que l'on a supposées

dans la Figure la courbe IDH est une hyperbole, & outre
cela , fi Pon divise Dd par le milieu en K, & qu'ayant mené
KTS parallele à MN, on trouve une moyenne proportionnelle
KR entre KS, & KT. Je dis que DL x Ld. LI:: DKP. KR’.

Ayant nommé les données KD, a; KR, b; KS, 8;
KT,f; & les indéterminées KL, X; LI, ou IH, Y;
ID sera, * -a; & Ld, x + a.

DEMONSTRATION.
LEs triangles semblables dKT, DIN, & DKS, DLM,

fx taf
donnent, dK (a). KT (f):: dL (x +a). IN:

g* — ag
& DK (a). KS (8) :: DZ (x-a).LM = donc

gfxx-- aafg
par la proprieté du cercle

(L M XLN)=yy

(LI).

i

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(LI). L'on a aufli par la contruéiurar :: 6. (KR). F(KT); dung

of met dans l'équation précedente, el matje. leur bb, l'on aura d'où l'on tire xx ea yy -4.4 5.1.1

Si l'on avoit nomme DL,1,I1*5, tors' 25. cion 2ax + x =

bbar

aabb

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