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III.

IV.

COROLLAIRE 4. L'on voit par l'équation précedente 4ax=yy que x croissant y croît aussi ; & qu’ainsi la parabole s'éloigne toujours de plus en plus de son axe à mesure que le point P s'éloigne du sommet A , & que

cela

peut aller à l'in fini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini.

COROLLA I E s. D'où il suit que les lignes comme EM meneés paralleles à AP passent au-dedans de la parabole étant prolongées vers R, & ne la rencontrent qu'en un seul point M.

COROLLA IR E V. 6. Si dans l'équation 4ax=yy, l'on fait x=a, le point P tombera en F, & l'on aura 4a4=yy; donc 2a=y; c'est-à-dire que l'appliquée FO qui part du foyer est égale à la moitié du parametre ; & li lon fait x=4a, l'on aura 16aa=yy, ou 4a=y, c'est-à-dire que AP, & PM seront chacune égale au parametre.

COROLLA I RE VI. 7. Il est manifeste que la quantité constante qui accompagne l'inconnue ou l'indéterminée qui n'a qu'une dimenfion dans un des membres de l'équation, est l'expression du parametre de l'axe de la parabole, lorsque le quarré de l'autre indéterminée est seul dans l'autre membre: par exemple dans cette équation ax=y, est l'expression du parametre de l'axe de la parabole dont l’abcisse est xi & l'appliquée y.

1.,

PROPOSITION I I.

Theorême. 8. Les quarrez des ordonnées PM, QN font entr'eux Fíc. ss: comme les abcisses correspondantes AP, AQ.

Ayant nommé comme dans la Proposition précedente AB, 40 ; AP, *; PM, y; & ART; ON 2

Il faut prouver que PM? (yy). QN2 (25) :: AP(x).-
ARS.

D E' MONS I RATION.
L'On a par la Proposition précedente 4ax = yy, &
4as=; donc yy. 32:: 4ax. 40%:: X.,f. C. Q: F.D.
PROPOSITION III.

Theorême.
9. Les mêmes choses étant toujours supposées. Je dis que,
fi d'un point quelconque m pris sur la parabole, on mene me
parallele à PÂ, qui rencontrera la generatrice en e, & par
le sommet A, la droite AC paralleled De qui rencontrera em
en C; le cercle mie décrit sur le diametre me coupera AC
par le milieu en I.

Ayant nommé la donnée AD, ou eC, a; & les indés terminées AP,ou Cm, xi Pm, ou AC, y; & CI, S. CI - -y

iii! DEMONSTRATION.

SIL, L'On a par la premiere proposition 4ax =yy, & par la proprieté du cercle ax (eC ~ Cm) =SS (CI'), oa 4ax=4[/; donc y=25,0u-y=. C. Q.F. D.

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PROPOSITION :IV.

Theorême. F19.93.10. E N. Jupposant encore les mêmes choses, si l'on prend AG,

menée par le sommet A parallele aux appliquées PM, pour l'axe de la parabole

la parabole, GM parallele à AP, pour l'appliquéc, en nommant AG ou PM, X; GM, ou AP, Y; & le parametre 4AF, 4a. Je dis que 4AF * GM AG?.

DEMONSTRATION.

1.

L'on a par la premiere Proposition 4ay = xx. C. Q.
F. D. =:

L'on n'a mis ici cette Proposition que pour faire voir qu'il est indifferent de prendre celui qu'on voudra des deux axes conjuguez pour l’abcisse , & l'autre pour l'appliquée; ce qui convienç à toutes les courbes Geometriques,

où les deux indéterminées forment toujours un parallelogramme que nous avons nommé (art. 3. no. 16.) le parallelogramme des coordonnées.'

PROPOSITION V. .

Problême. I. Une équation à la parabole, bx = yy, étant donnée , décrire la parabole , lorsque les coordonnées font perpendiculaires l'une à l'autre. b, étaht (no:7.) le parametre ; * , l'abcisse ; & y, l'ap

x pliquée de la parabole qu'il faut décrire, comme il est démontré dans la premiere Proposition.

Soit A le commencement de x, qui va vers P; & de y qui va vers B, ayant pris AB=b,& prolongé AP du côté de A, on fera AF, & AD chacune égale à 6

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4

I

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étant ,

I bxt

2

16

2

16

AB,& l'on décrira unė parabole A M par la premiere Proposition qui satisfera au Problême , & dont A sera le sommer, F le foyer, & D le point generateur.

DEMONSTRATION. A Yant mené une ordonnée quelconque PM; AF b; AP, *; PM,y; FP , sera x

b, ou 6- *;& FM=PD (n°, 2.), * + - 6. Et le triangle rectangle FPM donnera xx+ I 66

bb = ** –: 6x + +356 + yy qui se réduit à bx=yy.C.Q.F.D.

REMARQUE. 12. Si l'on avoit nommé (Prop. 1.) DP , *; & DF, a; l'on auroit trouvé 2ax - aa =yy ; & si l'on avoit nommé FP,x; & DF, a; l'on auroit trouvé 2 ax + aa=

- yy. Ce qui fait voir que lorsqu'une équation à la parabole a plus de deux termes, l'origine des inconnues n'est point au sommet de l'axe. PROPOSITION V I.

Problême. XI.UN E parabole AM , dont l'axe AP , le sommet A, F16.55. le foyer F, le point generateur D, e la ligne generatrice EDH , étant donnée. On propose de mener d'un point quelconque M , donné sur la parabole , la tangente MT.

Ayant mené par le point donné M la droite MH parallele à l'axe AP , & joint les points F, H; la ligne MOT menée du point M par le point o milieu de FH, sera la tangente cherchée,

1

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D E'MONSTRATION. PUISQUE ( Art. 10. no. 2.) ME=MH, & que FH est coupée par le milieu en 0; la ligne MO est perpendiculaire à FH ; c'est pourquoi si l'on prend sur MO prolongée ou non prolongée un point quelconque , d'où l'on mene GF, & GH, & GI parallele à AP, le triangle FGH sera isoscele : mais à cause de l'angle droit GIH, GH surpasse GI ; c'est pourquoi GF surpasse aussi GI ; & par consequent le point G est hors de la parabole , & partant Mo ne la rencontre qu'au point M, où elle la-touche. C. l. F. D.

On peut ajouter pour confirmer cette Démonstration, que si d'un point quelconque R pris au dedans de la parabole , on mene RF du point R au foyer, & RH parallele à AP qui rencontre la parabole en M , & la generatrice en H , la ligne RH surpassera toujours RF: car ayant mené MF, elle sera ( Art. 10. no. 2.) = MH: mais RM + MF surpassent RF; & partant RH surpas. fe RF; c'est pourquoi puisque GF surpasse GI, le point G est hors de la parabole. On ne peut pas

dire point G soit sur la parabole:car GF(=GH) seroit=GI.

COROLLAIRE I. IL

L est clair que MO prolongée rencontre l'axe AP aussi prolongé en T : car l'angle FOT est droit , & l'angle OFT aigu.

COROLL AIRE I I. Si l'on prolonge HM vers R, & la tangente MO du côté de M vers S ; l'angle RMS sera égal à l'angle OMF= OMH.

COROLLA I R E I II. 3. D'où il suit par les loix de la Catoptrique que si le foyer F écoit un point lumineux, les rayons reAéchis à la rencontre de la parabole seroient paralleles à l'axe;

que le

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