ou, ce qui est la même chose, les rayons paralleles à l'axe venant d'un point lumineux infiniment éloigné, se reAéchissant à la rencontre de la parabole , leurs refléchis passeroient tous au foyer F. PROPOSITION V I I.

Theorême. En supposant la même chose que dans la Proposition précedente. Je dis que, si l'on mene par le point touchant M, la droite MQ parallele à HF, qui rencontrera l'axe AP en Q la partie de l'axe PQ, comprise entre le point Q, da l'ordonnée PM qui part du point M , sera égale à la moitié du parametre de l'axe de la parabole.

D E'M ON STRAT I O N. A Cause des paralleles HF, MQ, & HM, FQ, les triangles MPQ, HDF sont semblables & égaux ; c'est pourquoi PQ=DF=( Prop. 1.) à la moitié du para. metre de l'axe.

DE'FINITION. s. L A ligne PT est nommée foutangente, MQ perpendiculaire ; & PC souperpendiculaire , ou founormale. PROPOSITION VIII.

Theorême. 6. Les choses demeurant dans le même état que dans la Proposition précedente. Je dis que la foutangente PT est double de l'abcisse AP, comprise entre le sommet A & l'ordonnée PM qui part du point touchant M.

Ayant nommé comme dans la premiere Proposition les données AF, ou AD, a; P Q (no. 5.) 2a; & les variables AP, *; PM, Y; PT, t.

Il faut prouver que t=2x.

D E' M O N S T R A TI O N. L'ANGLE FOT étant (Prop. 6.) droit, l'angle QMT (no. 4.) sera aussi droit ; c'est pourquoi 2a (OP).y (PM) :: y.t(PT); donc zat=yy: Mais ( Prop. 1.) 4ax=yy; donc zat = 4ax; & partant t=2x. C. Q. F. D.

7. Certe Proposition fournit un moyen aisé de mener une tangente à la parabole ; car si d'un point quelconque M, on mene l'ordonnée MP perpendiculaire à l'axe AP; ayant fait AT=AP, la ligne MT sera la tan

gente cherchée.

Fig. 56.

la ligne

coupera GL

PROPOSITION IX.

Theorême. 8.U NE parabole AM dont AP eft l'axe ; A le sommet; F, le foyer; D, le point generateur; DE, la ligne generatrice. Si par un point quelconque M pris sur la parabole, on mene (no. 7.) la tangente MT, & par quelqu'aurre point L, la ligne LG parallele à la tangente MT. Je dis

que MR menée

par

le point touchant M parallele à l'axe AP, par

le milieu en O. Ayant mené par les points L, M,0, & G. Les lignes BLI qui rencontrent MR prolongée en I, MP, OC, &GRS perpendiculaires à l'axe AP, & nommé AF, ou AD, a; le parametre de l'axe sera ( Art. 10.) 4a=4AF; AP, * ; PM; ou BI, ou SR, Y; AC, M; BC, ou 10, S; CS, ou OR, K; AB sera, m-/; AS, m+; CP, ou OM, m— X; & PT (no. 6.), 2x.

Il faut prouver que OG=OL, ou ce qui revient au même OR=01, ou s=2

D E M O N S T R A TI O N. Les triangles semblables (Const.) TPM, ORG, OIL, donnent les deux Analogies suivantes.

TP,

TP (2x). PM (y) :: OR (2). RG=%, &

2X

T P (2x). PM (y) :: 011/).11=”; donc so

2X

X (AP).m + (AS):: yy ( P M). yy + 2yy2 + yyzz

2X

4X3C

(SG'). & * ( AP). m -S(AB) :: yy (PM2). yy 2yys +yys (BZ), d'où l'on tire ces deux équations

B. myy — y=xyy - 2xyys + xyyl, & ôrant le pre

mier membre de la seconde équation B du premier membre de la premiere A, & le second de la seconde du second de la premiere, l'on a yyz+yys = 2xyy2 + 2xyys

donc OL=OG. C. l. F. D.

Il peut arriver differens cas:car le point o s'éloignant de M, le point L tombera en A, ou de l'autre côté de A par raport à M:mais on le prouvera toujours de la même maniere que z=S, OG= OL; c'est pourquoi la Proposition est generalement vraye.

D E' FINITIONS. 9. L A ligne MR parallele à l'axe AP est appellée Fig. 56. diametre, parcequ'elle coupe toutes les G L par le milieu en 0; le point M, le sommet du diametre MR; MO,

M

1

1

l'abscisse, ou coupée ; OL, OU OG , l'ordonnée, ou l'appliquée à ce diametre. PROPOSITION X.

Theorême.
10. En supposant les mêmes choses que dans la Proposition
précedente. Je dis que le quarré d'une ordonnée quelconque
OL, ou O G au diametre MR, eft égal au restangle de
l'abscise MO par 4MF, ou ( Art. 10.no, 2.), ayant prolongé
OŃ en H, par 4MH.

Ayant nommé l'abscisse M0, t; l'ordonnée OL, ou
OG, u; MF, ou MH, 6; & les autres lignes comme
dans la Proposition précedente.
Il faut prouver que 4bt=uu, (4MF * MO=0G2).

D E' MONSTRATION.
Si l'on ajoute les deux premiers & les deux seconds mem-
bres des deux équations A & B de la Proposition pré-
cedente , après avoir mis z en la place de S; puisque
(Prop. préced.)2=/; l'on aura zmyy = 2xy +
ou z=4mx 4xx, ou R=4tx, en mettant t pour
m — x=PC= MO : mais le triangle rectangle ORG,
ou OIL donne *(OR) + (RG2. Prop. préced. )
=uu (OG”, ou 0 L2), qui devient 4tx + 4at = uu en
mercant pour za sa valeur 4tx, & pour yy sa valeur
(Prop: 1.) 4ax: mais x+a=PD=MF=MH=b;
donc en substituant b en la place de x+ a dans l'équa-
tion précedente, elle deviendra 4bt=uu , ou 4MF ~ MO
=OG’. C. Q. F. D.

DE' FINITION S. 11. L A ligne égale à 46=4MF= 4MH est nommée le parametre du diametre mo.

2.xyyzz

4XX

yyzz

4XX

PROPOSITION XI.

Theorême. 12. Une équation à la parabole ( ax = yy) dont les co. ordonnées x &'y ne font point perpendiculaires, étant donnée, décrire la parabole. Soit M le sommer du diametre MO, dont le parame- F 16.57.

& l'origine des variables x, qui va vers 0, & y qui va vers K en faisant avec Mo l'angle oblique OMK. Il faut décrire par M la parabole LMG dont l'équation

tre est

elt ax = yy:

Ayant prolongé OM & pris MH=4a=( Prop. préced.) au quart du parametre du diametre Mo, on menera par H la droite H E perpendiculaire à HO, qui sera (Prop. preced.) la ligne generatrice ; & ayant fait l'angle KMF= l'angle KMH , pris MF-MH & mené par F la ligne FD parallele à Mo qui coupera la generatrice HE en D. Par la Proposition précedente, & par la sixième, F sera le foyer; FD, l'axe ; D lę point generateur, & A milieu de FD le sommet de l'axe de la parabole qu'il faut décrire. On la décrira par la premiere Proposition.

DEMONSTRATION. Elle est claire par la Proposition précedente, & par la fixiême.