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SECTION VI. l'on démontre les principales propriete de l’Ellipse décrite par des points trouvez

sur un Plan. PROPOSITION I.

Theorême.

U

. . N E ligne droite AB, divisée par le milieu en C,

e deux points fixes F, G également distans du milieu C, ou des extrémitez A & B, étant donnée de grandeur & de position ; si l'on prend entre F & G un point quelconque H, & que du centre F & du

du centre F & du rayon AH; du centre G & du. rayon BH, l'on décrive deux cercles ; ces deux cercles fe couperont en deux points M, m de part & d'autre de la ligne AB ; puisque leurs demi diametres surpassent FH + HG. Et je dis que les points Mem, & tous ceux qui seront trouvez de la même maniere , en prenant d'autres points H, lefont à une Ellipse dont c est le cèntre , AB le grand axe, DE l'axe conjugué à l'axe AB, qui est double de la moyenne proportionnelle entre AF & FB, ou AG & GB,

DE'MONSTRATION. D'un des points M , trouvez comme on vient de dire, ayant abbaissé la perpendiculaire MP, mené FM & GM, & nommé les données AC, ou CB, a; FC, ou CG, C; & les indéterminées CP, x; PM, Y; AP sera , a- *; PB,a+x;FP,(-xou,x-;& PG, C+x.

Il est clair par la description que FM + MG= AB = 2a; puisque FM=ÄH, & MG=HB; nommant donc la différence de FM,& MG, 2/; F M sera a -S & MG, a + . Cela posé.

CC

= da

Les triangles rectangles FPM, GPM donneront, 20x + xx + yy

2as + , & CC+26*+ *x + yy=aa + 2a[+], & en ôtant la premiere de la seconde, le premier membre du premier & le second du second , l'on aura 4cx = 4af, d'où l'on tire S=*, ,

& mettant cette valeur de S, & celle de son quarrés dans l'une des deux premieres équations, l'on 2CX + Xx + yy

, d'où l'on tire en réduisant, transposant , & divisant par

aura cc

CCXX 2CX to

aa

da

сс ,

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aayy

ou da

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Mais lorsque le point P tombe en C, PM (y) devient CD, & (*) devient nulle, ou = 0; c'est pourquoi en effaçant le terme xx , l'on a aa =

cc = yy=CD’, & partant y=+CD: nominant donc CD, 6; l'on a , aa =bb ; d'où l'on tire a C (AF).6(CD):: 6 (CD). a +((FB). Qui est une des choses qu'il faloit démontrer. Or mettant bb dans l'équation aa – xx = en la place de aa - cc l'on

aayy da - - CC

aayy

bb

aayy

a, aa - XX

Et comme cette équation est la même

que celle qu'on a trouvée ( Art. 9. no. 10.) il suit que la courbe ADBE est une Ellipse. Ce qui est une des autres choses proposées. Si dans l'équation aa

-, l'on faity=o, l'on aura xx=aa; donc x=+a, ce qui fait voir que l’Ellipse passe par les points A & B. Et en faisant x=o l'on a trouvé y + CD qui montre que l’Ellipse AM passe aussi par les points D & E, en faisant CE=CD; c'est

bb

aayy

pourquoi (Art. 9. no. 6.) AB, est le diametre principal de I'Ellipse; D E son axe conjugé, & C le centre. Ce qu'il faloit enfin démontrer.

On peut résoudre cette équation aa — xx= le cercle. Mais il faut la changer en celle-ci aa — 6= puis faire cette analogie, B.a + x.

x.y::y:

a ta zo & l'on aura aa

On fera ensuite cette

ad

cd Par

aayy

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gaz CC =

aa

da

FIG. 59

du

autre analogie, D. a-x.a::a. =u, & l'on aura

CC = ZU. Pour trouver toutes les inconnues, u, x,y,2, 10. d'un rayon qui ne soit pas moindre que la moitié d'AB= 2a décrivez le cercle ABG, inscrivez-y la corde AB=2a, sur laquelle vous prendrez AD= a +6, & DB=a-6 par le point D menez une autre corde EG. Et parce que dans l'analogie D, a est plus petit que u,

il faut prendre DG= u plus grand que į AB.

A présent pour avoir x, à cause de l'analogie D, on aura
-XU = da, ou, au

- aa= ux ; ainsi nous aurons cette analogie E.u.a :: a.x. On trouvera x en faisant F16. 60. l'angle CAF, & prenant AF = U, BF=u a, AC

=a, les paralleles CF & BD menées, donnent DC=x. FIG. 61. Enfin pour avoir y, menez , à cause de l'analogie B , la

ligne À B, sur laquelle vous prendrez AD= a + x ( AK + DC), DB=2. De C milieu de AE, & de l'intervalle AC ou CB, décrivez le demi cercle ALB, la perpendiculaire DL=y.

DE'FINITIONS. FIG. 58. 1. Les points F & G sont nommez les foyers de l'Ellip

se ; CP, l'abcisse, ou coupée, & PM,ou Pm l'ordonnée, ou l'appliquée à l'axe AB.

2.

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CC = a + ( x a

4 aayy

COROLLAIRE I. Il est clair que les lignes FM ,GM menées des foyers à la circonference de l’Ellipse font , par la description, ensemble égales à l'axe AB, & que PM= Pm.

COROLLAIRE I I. 3. Il est aussi évident que le ređangle des deux parties AF, FB ou AG,GB de l'axe AB faites par un des foyers F, ou G, est égal au quarré du demi axe conjugué DC: car dans la Démonstration précedente l'on a trouvé CD?. Or aa

6, AFX FB=CD.

COROLLA IR E I II. ON voit

par

les termes de l'équation aa — Xx = & par les signes + & — qui les précedent que x croissant, y diminue : car plus x devient grande , plus aa – xx diminue , & par consequent aussi yy ; puisque les quantitez constantes aa, & bb demeurent toujours de mê. me grandeur ; ce qui fait voir que les points M & m de l'Ellipse, s'approchent d'autant plus de l'axe AB, que le point P s'éloigne de C. On voit aussi que l'on ne peut au. gmenter x que jusqu'à ce qu'elle devienne = a; auquel xx devient

&
par

consequent aussi y=0, ce qui fait voir que les points M &m se confondent alors avec les points A & B , & que

l'El. lipse coupe l'axe en ces points, comme on a déja remarqué.

COROLLAIRE I V. s. L'EQUATion à l'Elipse aa — *x = "72 étant réduite en analogie donne aa — xx ( AP ® PB), yy ( PM^) :: aa ( AC). bb (CD) :: 4aa ( AB') 466 (DE), c'està-dire que le rectangle des deux parties AP, PB de

bb

cas da

= da

aa =O

1

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44 66

24 P

X X =

aura aa

XX =

l'axe A B faites par l'appliquée PM est au quarré de l'appliquée PM : comme le quarré de l'axe À B est au quarré de l'axe conjugué DE.

COROLLA IR E V. 6. Si l'on fait AB (2a). DE (26) :: DE ( 26). 26b, la ligne 266 que je nomme påp sera ( Art. 9.no. 13 ,) le parametre de l'axe A B. Or puisque a ..:: 6. į p,

l'on a aussi a. įp :: aa . bb

donc abb

į aap ; donc
; C'est pourquoi si l'on met dans l'équation aa
anya, en la place de eh, la valeur *, l'on

2ap; d'où l'on tire cette analogie aa xx ( APR PB ). yy ( PM):: 2a ( AB). p, c'est-àdire que le rectangle des deux parties de l'axe faites par l'appliquée, est au quarré de l'appliquée ; comme le même axe, est à son parametre.

COROLLA IR E. VI. 7.

Il fuit du Corollaire précédent que le rectangle de l'axe A B par son parametre est égal au quarré de l'axe conjugué D E ; puisque A B. DE:: DE. p.

COROLLA I RE VII. 8. SI au lieu de

- on met un autre raport égal comme

c'est

pourquoi l'on fera sur l'équation à l'Ellipfe les trois remarques suivantes, après avoir délivré l'un des quarrez inconnus qu'elle renferme de toute quantité connue.

REMARQUE I. 9.

Lorsque l'antécédent du raport qui accompagne un des quarrez inconnus de l'équation à l'Ellipse eft egal & semblable au terme connu ; ou ce qui est la même chose, G cet antécédent renferme les mêmes lettres que

le

ad

za

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ou de

bb

m

l'on aura,

ad

P

myy XX =

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n

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