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le terme connu de l'équation ; sa racine quarrée exprimera le demi diametre dont l'autre inconnue exprime les parties; & la racine quarrée du conséquent exprimera le demi diametre conjugué.

R E MARQUE. I I. 10. LORSQUE

SQUE cet antecedent est le double de la racine quarrée du terme connu, il exprimera le diametre dont l'autre inconnue exprime les parties ; & le consé. quent exprimera son parametre.

. : RE MARQUE III. 11.En tout autre cas ce raport marque le raport du diametre, dont une partie est exprimée par l'autre incon, nue, à son parametre, ou le raport du quarré du même diametre au quarré du diametre conjugué. Tout cela est évident (no. 6 & 8).

COROLLA I R E VIII. triecini; 12. D'où il fuit qu'une équation à l'Ellipse renferme les expressions des deux diametres conjuguez, qui forment le parallelogramme des coordonnées, ou de l'un de ces diametres, & de son parametre, ou la raison du quarré de l'un des diametres au quarré de l'autre, ou enfin celle de l'un des deux à son parametre : de forte qu'on aura toujours les deux diametres conjuguez par le moyen de l'équation.

Par exemple, dans l'équation aa --- xx= *166* le terme F16. 58. connu aa est le quarré du demi diametre. A Ç; l'antece.

du

raport qui accompagne yy est semblable & égal au terme connu aa; c'est pourquoi le conséquent bb est le quarré du demi diametre conjugé CD à l'axe ou au diametre principal AC. Dans l’equation aa-xx

2017”, l'antecedent 2a étant double de la racine da tera me connu aa; za sera le diametre AB, & p fón parametre:& partant, si l'on fait sa:p ::aa. jap;ap sera

N

dent aa

66

l'expression du quarré du demi diametre conjugué CD; & partant CD=V_ap. Enfin dans léquation aa – xx= non , aa exprime le quarré du demi diametre AC dont les parties C P sont nommées

X; & partant AB

AB= 2a. Mais pour avoir l'expression du demi diametre D E con- . jugué au diametre AB, l'on fera m. n:: aa. maj & partant vaa=CD; & 2V aa = DE. Et pour avoir l'expression du parametre du diametre AB, l’on fera m. n:: 22. may & cette quantité za sera l'expression cherchée.

CORŐ Í LAI RE: I X. F.16.58. 13. Si l'on nomme AP, *; BP sera, 2a-x,& l'on

aura (no. 5.) zax' - *x (AP PB): yy (P M'):: aa (AC). bb ( C D'); donc zax - xx= qui montre que lorsque les indéterminées n'ont point leur origine au centre de l’Ellipse, il se trouve des seconds termes dans son équation, & qu'une équation locale appartiendra toujours à l’Ellipse, lorsqu'elle renfermera deux quarrez inconnus, l'un desquels ou tous deux seront accompagnez de quelque quantité connue , & auront différens lignes dans les deux membres de l'équation, ou même ligne dans le même membre, quelque mêlange de conftantes, qu'il s'y rencontre , & pourvu que les deux inconnues ne soient point multipliées l'une par l'autre.

COROLLAIRE X. ,?, 14. SI dans l'équation à l’Ellipse' aa — xx= anal, ou 2 åx

;a=b, l'on aura aa — xx = yy ou

jy'; qui est une équation au cercle , pourvû que les coordonnées x & y fassent un angle droit: car lune & l'autre de ces deux équations donne A P* PB = PM qui est la principale propriété du cercle. D'où l'on voit aussi que l'équation à l'Ellipse ne différe de celle du cercle , qu'en ce que l'un des quarrez inconnus est accompagné de quelque quantité connue dans l'équation

X.X

aayy
66

XX

à l’Ellipse , & qu'ils en sont tous deux délivrez dans les quation au cercle. En effet le cercle peut être regardé comme une Ellipse dont les foyers font confondus avec le centre, & dont tous les diametres sont par conséquent égaux entr'eux, & à leurs parametres.

Dans l'équation au cercle aa — xx=yy, les coordonnées ont leur origine au centre, & dans celle-ci, 2ax -- =ye, l'origine des coordonnées n'est point au

centre.

PROPOSITION I I.

15.

Theorême. Les mêmes choses que dans la premiere Proposition F16.58 ; étant supposées. Je dis que l'appliquée FO au foyer Feft égale à la moitié du parametre de l'axe AB.

Il faut prouver que FO=íp.

D E M O N S T RATION

dayy

Si dans l'équation aa — xx= on fait x (CP) =c(CF), le point P tombera en F, & PM deviendra F0; & l'on aura aa = ; d'où l'on cire y

yyaa

ad

- CC

(Prop. 1.)=(no. 6.) i p. C. Q. F. D.

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PROPOSITION I I I.

Problême. 16. Les deux axes conjuguez AB, DE d'une Ekipfe étant donnez, trouver les foyers F, & G.

Soit du centre D, extrêmité de l'axe conjugué DE, & du rayon AC, décrie un cercle qui coupera A B en deux points F & G qui seront les foyers qu'il faloit trouver.

DE'M ON S T RATION,
Par la construction FD + DG=AB; donc ( no. 2. )
F & G sont les foyers. C. l. F. D.

PROPOSITION IV

Problême. F 16.58.17. L E grand axe A B d'une Ellipse & les foyers F&G

étant donnez, déterminer l'axe conjugué à l'axe A B.

Soit du foyer F pour centre & pour rayon le demi axe AC décrit un cercle. Il coupera la perpendiculaire à A B menée

par le centre C en deux points D & E, & DE sera l'axe conjugué à l'axe A B.

D E'MONSTRATION.
ELLE est la même que celle de la Proposition précé.
dente.
PROPOSITION V.

Theorême. sch F16.58. 18. Si l'on fait MQ perpendiculaire à D* E. Je dis que le

reftangle des deux parties DQ, QE de l'axe D E faites par l'appliquée MQ, est au quarré de MQ:comme D E' quarré de l'axe DE à AB quarré de l'axe A B.

aux lignes les mêmes noms qu'on leur a donnez dans fa premiere Proposition, 'CP, ou QM étant X; & PM, ou CQ,Y;. DQ sera , b - Y; & Q E, 6+y. Il faut démontrer que bb — yy . xx :: 466.4da.

DEMONSTRATION.
En reprenant l'équation de la premiere Proposition as

ceremony, la multipliant par bb, la divisant par aa & transposant l'on aura 66

-yy

bbxx, d'où l'on tire cette

En laissant aus

XX

analogie bb - yy.xx :: bb. aa :: 466.4aa. De* QE. QM' :: DE'. AB'. C. l. F. D.

D E F INI TI O N. 19. I l'on fait 26. 2a :: 2a. 244 que je nomme p; la ligne = p est appellée le parametre de l'axe DE.

COROLLA LR E. 20. b. a :: 2a. p, donne bp

= ou bbp= 2aab, ou = a; c'est pourquoi fi on met en la place de ble dans l'équation précedente, l'on aura bb

yy = ?

2b**, ou si l'on fait =, l'on aura bb -- yy=;

On ajoutera à ce Corollaire les raisonnemens que l'on a faits no. 9, 10, 11, 12, 13 & 14.

= 200

CYY étant donn

XX=

d

PROPOSITION V I.

Problême. 21.UN E équation à l'Ellipse ab née , décrire l’Ellipse lorsque les coordonnées font un angle droit.

Soit premierement trouvé une moyenne proportionnelle entre a, & b' qui soit f; & par conséquent ff

ab'; ainsi l'équation sera ff xx= 2. On fait ce changement parceque ab étant l'expression du quarré du demi diametre dont les parties sont nommées expression doit aussi être un quarré.

Soit présentement C, l'origine des inconnues x, qui Fig.58. va vers A & vers B, & y, qui va vers D & vers E. Le même point C doit aussi être le centre de l'Ellipse puisque les inconnues x & y n'ont point de second terme dans l'équation. Soit fait CA & CB chacune=f;

A B sera le grand axe, si c surpasse d; le petit , si c est moindre que d. Pour avoir l'axe conjugué à l'axe AB,

X,

cette

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