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pour élever a+b à la quatriême puissance, l'on écrira; A. a* + a2b+ aabb+abi +64. Si le binome est tout positif, tous les termes de la puissance auront le signe +; si la seconde lectre est négative, les termes où elle se trouvera élevée à une puissance impaire, ou dont l'exposant est un nombre impair, auront le signe -, & tous les autres le signe +, comme on voit dans la puissance A.

Il reste encore à trouver les coefficiens ; en voici la Méthode.

On donnera au second terme pour coefficient l'exposant du premier ; on multipliera le coefficient du second par l'exposant que la premiere lettre a du binome a au même fécond & le produit divisé par 2, sera le coefficient du troisième. De même, le coefficient du troisiême multiplié par l'exposant que la premiere lettre a au même troisiême ; & le produit divisé par 3 , sera le coefficient du quatriême ; & ainsi de suite. De maniere que le coefficient d'un terme quelconque multiplié par l'expo. sant que la premiere lettre du binome a dans le même & le produit divisé

par

le nombre qui marque le lieu que ce même terme occupe dans l'ordre des termes de la puissance, est le coefficient du terme suivant. Ainsi la 4e puissance du binome a + b entierement forinée est,

a* +44b+baabb+ 4ab' + 64. Il en est ainsi des autres.

S'il y a quelque nombre entier ou rompu qui précede l'un des deux, ou tous les deux termes du binome on multipliera le coefficient de chaque terme de la puil, sance

par une puissance de ce nombre égale à celle où la lettre qu'il précede y est élevée. Ainsi pour élever a + 26 à la 3e puissance, l'on y élevera premierement a+6, & l'on aura a} + 3aab + 3abb + b3, l'on multipliera ensuite les coefficiens des termes où b se rencontre par la puissance de 2 égale à celle où b y est élevée, c'est-à-dire que l'on multipliera 3aab par 2, 3abb par 4, & b' par 8, & l'on aura a' + Gaab + 12abb+863, qui sera le cube de

terme

at 26.

1

On peut aussi élever

par les mêmes regles un binome quelconque p+q à une puissance indéterminée m (m fignifie un nombre quelconque entier ou rompu, positif ou négatif) qui sera,

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- 4 4

Х

ܪܘ;

P
q to mx

XP

9.&c. Où l'on

4 voit que la premiere lettre p du binome a pour exposant dans tous les termes, m moins un nombre entier; c'est pourquoi si ce nombre entier se trouve dans quelqu'un égal à m, l'exposant de p y sera =0; & par conséquent P=1,& ce terme sera le dernier de la puissance m du binome p+q. Mais si ce nombre entier ne se trouve jamais =m, la puissance m du binome p +9 pourra être continuée à l'infini.

31. Le binome p+q élevé à la puissance m, comme on vient de faire, peut servir de formule generale, pour élever un binome, ou un polynome quelconque à une puissance donnée. Soit par exemple 2ax-xx

-xx qu'ilfaut élever à la gépuissance. Ayant supposé 2ax=P, — xx=9, & m= 3; l'on substituera à la place de p, de q, & de m , leurs valeurs 2ax, — xx, & 3 ; & en la place des puissances de P& de les puissances égales de leurs valeurs 2ax &- xx, & l'on aura 8a} x}-- 1 2aàx4+ baxs - x6 pour la puissance cherchée : car m devient=3 au quatrième terme de la Formule. De même pour élever a+b-icà la troisiême puissance. Ayant supposé a=p, l'on aura après les substitutions a' + 3aab + 33abb +63 - 3aac - 6abc + 3 acc -- 3bbc + 3b¢

ci. Il en est ainsi des autres.

32. On se contente quelquefois pour élever un polynome à une puissance donnée, d'écrire à sa droite l'exposant de la puissance à laquelle on le veut élever. Ainsi pour élever a + b au quarré, on écrit a + 63 pour l'éle.

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& m b-159

3,

2x3

=a+6.

ver au cube , l'on écrit a +b'; & en general, pour élever a + b à la puissance m, l'on écrit a+b. m signifie un nombre quelconque entier ou rompu, positif ou négatif.

33. Il est clair que pour élever une puissance quelconque d'un polynome, formée comme on vient de dire, à une puissance donnée , il n'y a qu'à multiplier l'exposant de l'une par l'exposant de l'autre. Ainfi pour

élever a + 6* à la 3e puissance, l'on écrira a +6 pour élever a + 6 au quarré, ou à la 2e puissance, l'on écrira a + 6**. Pour élever a+b à la puissance n, l'on écrira a + b . Il en est ainsi des autres,

34. Il est encore évident que pour multiplier deux puissances de la même quantité complexe, formées comme on a dit no. 32. il n'y a qu'à ajouter ensemble leurs exposans. Ainsi pour multiplier a + 6 par a+6',

a+b, l'on écrira a + b

=a+b; a+b-cxa+bc

a 2-S a +60 =a+b-o; a - b * a - b 6

atb ; a tb x =a+6

=a+b

DIVISION
Des quantitez algebriques incomplexes do complexes.

REGLE GENERAL E. 35. On écrira le diviseur au-dessous du dividende en forme de fra&ion, & l'on prendra cette fraction pour

le quotient de la division. En effet , puisque toute division numerique exprimée, comme on vient de dire, est égale à son quotient, par exemple=3; =5, & qu'elle peut par consequent être prise pour fon quotient; doit être de même des divisions algebriques. Ainsi

2 + 3

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3

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m+n

ia +6

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I.

il en

i dac.

pour diviser ab par c, l'on écrira ; pour diviser aa + bb

aa bb par c+d, l'on écrira

tid 36. Mais comme il est toujours necessaire de réduire les quantités algebriques à leurs plus simples expressions lorsqu'il est possible , & que les divisions, ou fractions dont on vient de parler , n'y sont pas toujours réduites, il faut donner les regles necessaires pour cet effet.

Il y a differentes manieres, ou plutôt, il y a des cas où il faut operer d'une certaine maniere ; d'autres , où il faut operer d'une autre maniere pour réduire les fradions, ou les divisions à leurs plus simples termes. Nous ne donnerons à present que le cas où l'operation est celle qu'on a toujours nommée division ; les autres se trouve. ront ailleurs.

DIVISION

Des quantités incomplexes. 37. IL estévident (no. 14& 15) que lorsque le dividende est le produit du diviseur par une autre quantité quelconque, le quotient sera le dividende, après en avoir effacé le diviseur. Ainsi le quotient de 'ab divisé par a est b, c'est-à-dire que =b; le quotient de abc divisé par c'est-à-dire que

abo

6; de même = ab. Il en est ainsi des autres.

Il y a souvent des nombres autres que l'unité qui précedent ou le dividende, ou le diviseur, & quelquefois tous les deux. Il faut aussi avoir égard aux signes. Voici la regle qu'il faut observer.

38. On divisera par les regles de la division numerique, le nombre qui précede le dividende par celui qui précede le diviseur , & (no. 37), les lettres du dividende par celles du diviseur , & l'on donnera au quotient le signe + si le dividende & le diviseur ont tous deux le même

ab est c,

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ab

sab

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ܬܘܐܐ

4,

3. 12abc

1203bb

- gab;

-440

sab

12Rb

1.

124b

12ab

4ab

8abc

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30

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signe+ ou -; & fi l'un à + & l'autre, l'on donnera au quotient le signe — Ainsi le quotient de 12ab par 3a est 46: car

& =b,

b, &

partant 46.

-154366 De même

36,

3aab 4aab. Il en est ainsi des autres. 39. Si le dividende & le diviseur sont semblables , & égaux, le quotient sera l'unité. Ainsi -=I Ce qui suit de ce que toute quantité se mesure , ou se contiene elle - même une fois. 40. Il arrive souvent

que

les nombres se peuvent diviser , & que les lettres ne se peuvent pas diviser ; & au contraire, auquel cas il faut diviser ce qui se peut diviser, & laisser le reste en fraction. Ainsi

8C

zab 41. Lorsque ni les nombres , ni les lettres ne se peuvent diviser , on écrit le diviseur au dessous du dividende en forme de fraction ; & c'est en ce cas qu'il est necessaire de prendre cette fraction pour le quotient de la division. Ainsi pour diviser a par b, l'on écrira ; ;

; pour diviser zab par 24, l'on écrira 3ab

; pour diviser — 2ab par 36, l'on écrira

i pour diviser sab par l'on écrira

; pour diviser-4ab par — 3c, l'on écrira

On trouvera ailleurs la raison des changemens de signes que l'on vient de faire.

Si l'on multiplie le quotient d'une division par le diviseur, il viendrà la quantité à diviser : car la multiplication, & la division ont des effets contraires , aussi bien l'addition & la souftra&ion.

que 42. Il est clair ( no. 21 & 37) que pour diviser une puis.

fance

24b

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ou

36

20

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