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pour élever a+b à la quatriême puiffance, l'on écrira A. a* +a,b+ aabb+ab+b4. Si le binome est tout pofitif, tous les termes de la puiffance auront le figne+; fi la feconde lettre eft négative, les termes où elle fe trouvera élevée à une puiffance impaire, ou dont l'expofant eft un nombre impair, auront le figne-, & tous les autres le figne, comme on voit dans la puiffance A.

Il reste encore à trouver les coefficiens; en voici la Méthode.

On donnera au fecond terme pour coefficient l'expofant du premier; on multipliera le coefficient du fecond par l'expofant que la premiere lettre a du binome a au même fecond & le produit divifé par 2, fera le coefficient du troifiême. De même, le coefficient du troifiême multiplié par l'expofant que la premiere lettre a au même troifiême; & le produit divifé par 3, fera le coefficient du quatriême; & ainfi de fuite. De maniere que le coefficient d'un terme quelconque multiplié par l'expofant que la premiere lettre du binome a dans le même terme, & le produit divifé par le nombre qui marque le lieu que ce même terme occupe dans l'ordre des termes de la puiffance, eft le coefficient du terme fuivant. Ainfi la 4e puiffance du binome a+b entierement formée est,

a* ±4a3b+6aabb+4ab3 + b+. Il en est ainfi des autres. S'il y a quelque nombre entier ou rompu qui précede l'un des deux, ou tous les deux termes du binome, on multipliera le coefficient de chaque terme de la puif, fance par une puiffance de ce nombre égale à celle où la lettre qu'il précede y eft élevée. Ainfi pour élever a+ 26 à la 3e puiffance, l'on y élevera premierement a+b, & l'on aura a3+ 3aab + 3 abb + b3, l'on multipliera enfuite les coefficiens des termes où b fe rencontre par la puissance de 2 égale à celle où b y est élevée, eft élevée, c'est-à-dire que l'on multipliera 3aab par 2, 3abb par 4, & b' par 8, & l'on aura a3+6aab+ 1 2abb +86', qui fera le cube de a+ 26.

On peut auffi élever par les mêmes regles les mêmes regles un binome quelconque p+q à une puiffance indéterminée m(m signifie un nombre quelconque entier ou rompu, pofitif ou négatif) qui fera,

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voit que la premiere lettre p du binome a pour expofant dans tous les termes, m moins un nombre entier; c'est pourquoi fi ce nombre entier fe trouve dans quelqu'un égal à m, l'expofant de p y fera =o; & par conféquent PY <=0; ?= 1, & ce terme fera le dernier de la puiffance m du binome p+q. Mais fi ce nombre entier ne fe trouve jamaism, la puiffance m du binome p+q pourra être continuée à l'infini.

31. Le binome p+q élevé à la puiffance m, comme on vient de faire, peut fervir de formule generale, pour élever un binome, ou un polynome quelconque à une puissance donnée.

39

Soit par exemple 2ax-xx qu'il faut élever à la 3 puiffance. Ayant fuppofé 2ax=p, xx= q, & m = 3; l'on fubftituera à la place de P, de 9, & de m, leurs valeurs zax, — xx, & 3 ; & en la place des puiffances de p & de 9, les puiffances égales de leurs valeurs 2ax &―xx, & l'on aura 8a x3 — 12aàx++ 6axx pour la puiffance cherchée : car m devient = 3 au quatriême terme de la Formule. De même pour élever a+b―c à la troisiême puiffance. Ayant fuppofé a b — c = q, & m l'on aura après les fubftitutions a3 + 3aab + 3abb + b3. — 3aac― babc 3 acc — 3 bbc + 3 bccc. Il en est ainsi

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des autres.

+

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3,

32. On fe contente quelquefois pour élever un polynome à une puiffance donnée, d'écrire à fa droite l'expofant de la puiffance à laquelle on le veut élever. Ainfi pour élever a+bau quarré, on écrit a+b; pour l'éle

-3

ver au cube, l'on écrit a+b; & en general, pour éle

m

ver a+b à la puiffance m, l'on écrit a+b. m fignifie un nombre quelconque entier ou rompu, pofitif ou négatif.

33. Il eft clair que pour élever une puiffance quelconque d'un polynome, formée comme on vient de dire, à une puiffance donnée, il n'y a qu'à multiplier l'expofant de l'une par l'expofant de l'autre. Ainfi pour élever a+b2à la 3e puiffance, l'on écrira a+b =a+b:

2

2m

m

m

2X3

6

pour élever a+b au quarré, ou à la 2o puissance, l'on écrira a+b Pour élever a+b à la puiffancen, l'on écrira ab. Il en eft ainfi des autres.

mn

34. Il eft encore évident que pour multiplier deux puiffances de la même quantité complexe, formées comme on a dit no. 32. il n'y a qu'à ajouter ensemble leurs expofans. Ainfi pour multiplier pour multiplier a+b par a+b2, écrira a+b · a+b− c a+b; a + b = c xa +b-c

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2+3

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2

2

m

2

a+b

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; a − b x ab:

m

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=

l'on

m

a+b

ia+b xa+b =a+b ; a + b x

m-m

=a+b =a+b=1.

DIVISION

Des quantitez algebriques incomplexes & complexes.
REGLE GENERA L E.

ON écrira le diviseur au-dessous du dividende en 35. forme de fraction, & l'on prendra cette fraction pour le quotient de la division. En effet, puifque toute division numerique exprimée, comme on vient de dire, eft égale à fon quotient, par exemple 12 3 ; 15 1 = 5; 5, & qu'elle peut par confequent être prife pour fon quotient; il en doit être de même des divifions algebriques. Ainfi

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pour divifer ab par c, l'on écrira ; pour divifer aa+ par c+d, l'on écrira

bb

aa+bb

c+d

&c.

36. Mais comme il est toujours neceffaire de réduire les quantités algebriques à leurs plus fimples expreffions lorfqu'il eft poffible, & que les divifions, ou fractions dont on vient de parler, n'y font pas toujours réduites, il faut donner les regles neceffaires pour cet effet.

Il y a differentes manieres, ou plutôt, il y a des cas où il faut operer d'une certaine maniere, d'autres, où il faut operer d'une autre maniere pour réduire les fractions, ou les divifions à leurs plus fimples termes. Nous ne donnerons à prefent que le cas où l'operation eft celle qu'on a toujours nommée divifion; les autres se trouveront ailleurs.

DIVISION

Des quantités incomplexes. 37. I L est évident (no. 14 & 15) que lorsque le dividende est le produit du divifeur par une autre quantité quelconque, le quotient fera le dividende, après en avoir effacé le diviseur. Ainfi le quotient de ab divisé par a est b, c'est-à-dire que bb; le quotient de abc divisé par ab est c, c'est-à-dire que

3bb

aab

ab

abc ab

ci
C de même
ab. Il en eft ainfi des autres.

a;

Il y a fouvent des nombres autres que l'unité qui précedent ou le dividende, ou le divifeur, & quelquefois tous les deux. Il faut auffi avoir égard aux fignes. Voici la regle qu'il faut observer.

38. On divifera par les regles de la divifion numerique, le nombre qui précede le dividende par celui qui précede le diviseur, & (no. 37), les lettres du dividende par celles du divifeur, & l'on donnera au quotient le figne + fi le dividende & le divifeur ont tous deux le même

figne ou ; & fi l'un à + & l'autre, l'on donnera Ainfi le quotient de 12ab par 3a

au quotient le figne

eft 46: car

De même

12

3.

12abc

-4ac

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ab

b, &

4, & ==b,

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= 4aab. Il en eft ainfi des autres.

Izab

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39. Si le dividende & le divifeur font femblables

&

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égaux, le quotient fera l'unité. Ainfi - =1 ; Ce qui fuit de ce que toute quantité se mesure, ou se contient elle-même une fois.

40. Il arrive fouvent que les nombres fe peuvent divifer, & que les lettres ne fe peuvent pas divifer ; & au contraire, auquel cas il faut divifer ce qui fe peut diviser,

& laiffer le refte en fraction. Ainfi

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41. Lorfque ni les nombres, ni les lettres ne fe peuvent divifer, on écrit le divifeur au deffous du dividende en forme de fraction, & c'est en ce cas qu'il eft neceffaire de prendre cette fraction pour le quotient de la divifion. Ainfi pour divifer a par b, l'on écrira; pour diviser 3ab par 26, l'on écrira 346

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·; pour diviser-4ab par—3c, l'on

On trouvera ailleurs la raison des

changemens de fignes que l'on vient de faire.

Si l'on multiplie le quotient d'une divifion par le divifeur, il viendra la quantité à divifer: car la multiplication, & la division ont des effets contraires, aufsi-bien l'addition & la fouftraction.

42.

que

Il est clair (no. 21 & 37) que pour diviser une puif.

fance

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