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plié les exposans 2, 4 & 6 par 5-, l'on aura a b ou ab? c' après avoir réduit les exposans fractionnaires en entier, de sorte que Va’b*c=abc", ce qui est évident.

ر

ou a

=a161

= al+ 1 b

De même, Va+b = ab? = avb : car a est la racine de

a', & 62 est la même chose que Vb; Vab ai bi–Vab; c'est-à-dire que Vab est une quantité toute irrationnelle ; Vab=

(no. 13.) a'a bi = avab; v 72 a' b = babyzab: car il est clair par les Exemples précedens, que Va'b? abvab, & je démontre que V72 = 6V2 en cette sorte. Si l'on cherche (no. 56.) tous les diviseurs de & qu'on examine tous les quarrez qui s'y rencontrent (s'il s'agissoit de la racine cube, il faudroit examiner tous les cubes, & ainsi des autres racines) on trouvera que 36 est le plus grand.

= 2 & 36x2=72; c'est pourquoi V72 peut être regardée comme le produit de V36 *V2:mais V36=6; donc V72= 6V2, & partant V72 alb} = 6ab2ab. On trouvera de même que Vizaab=2aV3b, & que v6aabc= av6bc; parceque 6 ne peut être divisé par aucun quarré. Il en est ainsi des autres.

72,

Or

72

E x T R ACTION

Des racines des Polynomes. 62. La Méthode d'extraire les racines des Polynomes, selon la maniere ordinaire , est semblable à celle d'extraire la racine des nombres.

E x E M P L E I. Soit la quantité aa + 2ab + bb + 2ac + 2bc + 6C, dont il faut extraire la racine quarrée. Diviseurs. Quantité proposée. Racine , ou Quot.

aa + 2ab +66 +226 +2bc + cc. (a+b+c.

.

aa.

1. 2a + b.

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A.0+ 2ab +66+ 200 + 26c+60

- 2ab66 2. 2a+26+-. B.

O Otolac +266 +00

: 2bc-cc la. Je dis, le premier terme aa est un quarré, dont la racine est a que j'écris au Quotient, & je soustrais le quarré de a qui est aa du premier terme aa de la quantité proposée, en l'écrivant au-dessous avec le signe - Je réduis à la maniere de la division la quantité proposée, & le quarré soustrair, & j'écris la Réduction A au-dessous d'une ligne.

Je double le Quotient a, ce qui me donne 2a que j'é. cris à la gauche de la Réduction A, & qui fait partie du premier diviseur. Je divise le premier cerme + 2ab de la quantité A par 2a; ce qui me donne + 6 que j'écris au Quotient, & à la droite du diviseur 2a, &j'ai le premier diviseur complet

2a +b que je multiplie par le nouveau Quotient b, & j'ai plus 2ab + bb que je soustrais de la quantité A, en l'écrivant au-dessous avec des signes contraires, & la Réduction de ces deux quantitez me donne la quantité B. Je double le Quotient a + b, & j'ai 2a + 26 pour une partie du nouveau diviseur que j'écris à la gauche de B. Je divise de nouveau le premier terme 2ac de la quantité B par + 2a, ce qui me donne +c que j'écris au Quotient, & à la droite du nouveau diviseur 2a + 2b; ce qui fait 2a + 2b + c pour le second diviseur complet. Je multiplie ce second diviseur 24

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gaa

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+ 2b+c par le nouveau Quotient c, & j'ai 2ac + 2bc + cc
que j'écris au-dessous de la quantité B avec des signes
contraires ; & réduisant ces deux quantitez je trouve
zero pour la troisième Réduction ; d'où je conclus que
l'operation est achevée, & que par consequent,
Vaa + 2ab +66 +220 + 2bc+c=a+b+c,

EX EMPLE II.
Soir la quantité gaa -- 12ab + 466 dont il faut ex-
traire la racine quarrée.
Diviseurs. Quantité proposée. Racine , ou Quotient.

- 12ab + 466. ( 32 - 26.

yaa 64 - 26. A. O 12ab + 466

+12ab- 466 B. Le premier terme 9aa érant un quarré dont la racine est

3a ; j'écris za au Quotient, & son quarré gaa au-dessous de 9aa avec le signe — & la premiere Réduction est la quantité A. Je double le Quotient 3a, ce qui me donne 6a, qui font partie du premier diviseur, & que j'ém cris à la gauche de la quantité A. Je divise — 12 ab par + 6a, ce qui me donne — 26 que j'écris au Quotient & à la droite de 6a , j'ai par ce moyen le diviseur complet 6a — 26. Je multiplie 6a 26 par — 26, ce qui me donne

12ab + 466, & j'écris + 12ab 466 audessous de la quantité A. Je réduis ces deux dernieres quantitez, & la Réduction B qui se trouve égale à zero, fait voir que la quantité proposée est un quarré dont la racine est ja — 26, c'est-à-dire, que vgaa - 12ab +466 S'il venoit une Réduction qui ne pût être divisée

par le double du Quotient, ce seroit une marque que la quantité proposée ne seroit point quarrée ; & il faudroit alors se concenter de la mettre sous le signe radical. Par

3a - 26.

exemple, si on vouloit extraire la racine quarrée de aa+bb, l'on trouveroit que la racine de aa est a : mais on ne pourroit diviser la Réduction bb par 2a, ce qui feroit voir que aa + bb, n'est point un quarré; c'est pourquoi il faudroit se contenter d'en exprimer la racine en cette forte Vaa + bb. Il en est ainsi des autres.

Au reste, il est aisé de connoître par la formation des puissances, ou lorsqu'on a un peu d'habitude dans le calcul algebrique, si une quantité proposée est quarrée, ou cube, &c. & d’en extraire par consequent la racine sans le secours d'aucune operation, ou par la seule inspection des termes de la quantité proposée.

63. Mais sans cela , & sans le secours des Regles que nous venons de donner , l'on peut avec toute la facilité possible extraire toutes sortes de racines, quarrées, cubes, quarrées quarrées, &c. par le moyen de la formule generale proposée no. 30: car pour cela il n'y a qu'à regarder les quantitez dont on veut extraire une racine quelconque, comme des quantitez qu'il faut élever à une puissance dont l'exposant soit celui de la racine qu'on veut extraire , c'est-à-dire , que cet exposant soit , fi c'est la racine quarrée ; , fi c'est la racine cube; * , fi c'est la racine quarrée quarrée, &c. ce qui est facile en suivant ce qui est prescrit no. 31, comme on va voir par les Exemples qui suivent.

EX E M P L E I. Soit la quantité až — 3aab + 3abb - 63 dont il faut extraire la racine cube, ou ce qui est la même chose , qu'il faut élever à la puissance

Ayant fait d'=P,- 3aab + 3abb b'=9, & mettant ces valeurs de & de dans les deux premiers termes, p+mp 9

de la formule generale proposée no.

P

9

3m

30; (car les autres termes sont inutiles, lorsque les raci. nes qu'on veut extraire, sont rationnelles ;) l'on aura a

zaab + 3abb — 63, & faisant encore m = l'on aura a+a

' *—3aab+.3abb 63, ou

3 m 3 to ma

X

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-*': mais

b?: mais parceque

b=

;

le second terme a

aob=-=b; le troisiême & quatrième termes sont nuls Ainsi l'on a amb pour la racine cherchée, c'est-à-dire, que à – 3aab + 3abb 63 ou Va — Zaab + abb - 68

- + =4-6. EXEMPLE

II. Soit la quantité aa+2ab — żac+bb-2bc+oc dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puissance :

Ayant fait aą ou a'=p, + 2ab 2ac to bb abc-to CC 9, & mettant ces valeurs de & de q dans les deux premiers termes de la Formule p + mp 9, l'on aura

x 2ab - 2ac + bb 2bc + cc, ou en faifant m=,a+

2ac + bb

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m I

2

m2 to ma

x 2ab

abc + cc,

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12+ I

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12+1 ou a to a

b

bba.

I-2

C+Ia bc + 1 / a cr. Mais parceque le second & le troisiême termes deviennent +6, & - c; il suit que tous les autres termes , où b, & c se rencontrent font nuls. Ainsi

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Var + 2ab - 2ac + 66 26c+=a + bc.

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