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E x E M P. L E III. Soit la quantité 9aa + 12ab + 466 dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puissance

Ayant supposé gaa, ou ga=p, & 12ab +4bb=97 & mettant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers termes de la Formule p + mp q, l'on aura 9 a . mg

x 12ab +- 466, ou en faisant m=

to

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a

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X

3

I 2

- I+I

I

x T2ab+466: mais 9 2 ou V9 =3; donc 3a + }

x 12ab + 466, ou 3a + á a x 12ab + 466, ou 3 atoa

6+*a*bb, ou 3a+2a

bb, ou 3a+28°6+a bb: mais le second terme zaob =Ib; c'est pourquoi ce second terme est le dernier , & le troisiême est nul, Ainsi

I 를 9a4 + 12ab + 466 ou Vgaa + 12ab +466=3a+26.

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64. Si dans aucun terme la valeur de m, exposant de p, ne se trouvoit point=0, la racine de la quantité proposée seroit irrationnelle, & l'extraction se pourroit continuer à l'infini; ce qu'on appelle approximation des racines : mais cela n'est point nécessaire pour l'application de l’Algebre à la Géometrie : car lorsque la racine d'une quantité est irrationnelle, on se contente de l'exprimer par

le moyen du signe radical qui lui convient, comme on a déja dit, & comme on pourra voir dans la suite,

Pour

Pour s'assurer fi on a bien extrait une racine, il est bon de l'élever à la puissance : car s'il vient la quantité proposée, l'extraction aura été bien faite. Par exemple, l'on vient de trouver 3a + 26 pour la racine quarrée de gaa + 12ab +466. Or si l'on multiplie 3a + 26

par 3a + 2b, l'on trouvera 9aa + 12ab+466 qui est la quantité proposée; c'est pourquoi l'extraction a été bien faite.

RE'DUCTION

Des quantitez irrationnelles à leurs plus simples expressions. 65. Il y a des quantitez complexes, comme d'incomplexes, dont on ne peut point extraire exactement la racine demandée : mais il arrive souvent que ces quantitez sont le produit de la puissance dont on veut extraire la racine par quelqu'autre quantité; & en ce cas on peut extraire la racine en partie, en mettant devant le signe radical la racine de cette puissance, & l'autre quantité sous le signe radical. Par exemple, il est aisé de voir que aab + aac n'est point un quarré, & qu'on n'en peut par: conséquent extraire la racine quarrée, qu'en l'écrivant fous le signe radical en certe sorte Vaab + aac : mais on voit aisément que aab + aac est le produit de aa qui est un quarré, par 6+1, ou que Vaab+aac=Vaa x V6+c: or Vaa= a; donc Vaab + aac=ax V6+c=aVb+; & c'est ce qu'on appelle extraire une racine en partie, ou plutôt ce qu'on appelle réduire une quantité irrationnelle à la plus simple expression, ce qu'on doit toujours faire quand cela se peut, soit que les quantitez soient complexes ou incomplexes.

Lorsqu'on ne voit pas par la seule inspection des termes, si une quantité irrationnelle complexe ou incomplexe peut être réduite à une expression plus simple, on l'examinera en cherchant ( no. 56. ou 57:) tous les diviseurs qui la peuvent exactement diviser; & s'il s'en trouve quelqu'un qui soit une puissance du même nom que la racine qu'on

en est un,

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Ad

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veut extraire , la quantité proposée se pourra réduire à une plus simple expression : car elle pourra

être

regardée comme le produit de cette puissance, & du quotient qui vient en la divisant par la même puissance. Par exemple, s'il faut extraire la racine quarrée de a' — 3aab to 3abb - 6', en cherchant tous les diviseurs de cette quantité, on trouvera que as — 2ab + bb, qui est un quarré,

un, &

& qu'en divisant a' - 3aab + 3 abb par

2ab + bb, il vient au quotient amb; c'est pourquoi Val-3aab+zabb-b?=Vaa-2ab + bb x Vã - 6: or Vaa - 2ab +6b=a-b; donc Val-3aab +3abb63

-6V..—6. Lorsqu'on trouve plusieurs diviseurs qui sont des puissances de même nom que les racines qu'on veut extraire, on ne se servira que du plus grand.

66. On ajoute, on soustrait, on multiplie, & on divise les quantitez irrationnelles comme les rationnelles ; & ces quatre operations se font de la même maniere unes & pour les autres: mais pour une plus grande facilité, il les faut auparavant réduire à leurs expreffions les plus fimples; & comme les quantitez irrationnelles ne different des rationnelles que par le signe radical qui cara. eterise de maniere celles qu'il précede, que quand elles contiendroient les mêmes lettres que dent, elles ne leur feroient pas pour cela semblables ; de sorte que les quantitez qui font hors du signe radical, ne doivent point être mêlées dans aucune de ces quatre operations, avec celles qui sont fous le signe radical.

Il faut néanmoins remarquer que les quantitez irrationnelles sont semblables, lorsque celles qui sont sous les signes radicaux, ne different en rien du tout les unes des autres, & lorsque celles qui sont hors des signes radicaux ne different de même en rien du tout, ou ne different que par leurs coéficiens. Ainsi zava & zava; zava +b; & ava+b; Yax - xx, & Vax

pour les

celles qui le préce

sont des quanxx ,

le signe

titez irrationnelles semblables. On suppose que radical soit le même, ce qui arrive toujours dans l'Ăpplication de l’Algebre à la Géometrie.

ADDITION

Des quantitez irrationnelles. 67. ON les écrira de suite , ou au-dessous les unes des autres avec les signes qu'on leur trouve, & lorsqu'elles seront semblables, on en fera (no. 11.) la réduction comme si c'étoit des quantirez racionnelles. Ainsi pour ajouter 2avb avec 3a1b, l'on écrira 2avb+ 3 avb, qui se réduit à Savb. Pour ajouter 3 avb avec 2006, l'on écrira 3a7b + 2016, & il est indifferent de laisser ces quantitez en cet étar, ou de les écrire en cette forte 3a + 2006. Pour ajouter avax – xx avec bax — xx, Pon écrira avax

+ bvax

xx, ou a +b Vax — xx. Pour ajouter 3aVb avec 20d, l'on écrira zav6+2c0d qui ne peut point avoir d'autre expression.

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XX

SOU S T R ACTION

Des quantitez irrationnelles. 68. ON les écrira de fuite en changeant les signes de celles qui doivent être souftraites; & lorsqu'elles seront femblables, on en fera ( 10. 11.) la rédu&ion comme si c'étoit des quantitez rationnelles. Ainsi pour soustraire 3 avb de savb, l'on écrira savb- 3avb qui se réduit à 2avb. Pour souftraire 3 av 26 de sbv 26, l'on écrira sbv 26

- 3 av 26, ou sb — 3aV2b. Pour soustraire ----2bax-x* de 3bvax - xx, l'on écrira 36Vax — *x+26Vax — xx, qui se réduit à sbvax—xx. Pour soustraire 2cvd de 3 avb, l'on écrira 3 avb- 2000, qui ne peut avoir d'autre expression.

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MULTIPLICATION

Des quantitez irrationnelles. 69. Si les quantitez que l'on veut multiplier sont incomplexes, l'on multipliera la partie rationnelle par la rationnelle ; & la partie irrationnelle par l'irrationnelle, & l'on écrira le produit des parties rationnelles devant le signe radical & le produit des irrationnelles après, & l'on réduira le produit total à son expression la plus simple. Ainsi avbx

V=aVbb: mais vbb = b; donc acvbb abc; d'où l'on voit que lorsque les parties irrationnelles sont semblables; il n'y a qu'à multiplier le produit des

rationnelles par ce qui se trouve sous le signe radical. De même avbxVc; ou avb x IVc (car on prend l'unité pour partie rationnelle, lorsqu'il n'y en a point d'autre) = avbc ; 2avb x 36, ou 2avb x 36V 1 Gabvb; 2avbc x bab = 2 abv abbc = 2abby'ac; 2aV3bc * 36V 6ab = baby 1 8abbc = 18abbv zac; aV 26 x 26V 30 zabv6bc. Vab x Vab

zabv6bc. Vab x Vabaabb; zarab 3baa= babřáb=6aabob. Il en est ainsi des autres.

70. Si les quantitez que l'on veut multiplier sont complexes, on multipliera tous les termes de l'une par

cha. cun de ceux de l'autre, en suivant les regles des quan. titez incomplexes , & la Réduction des produits particuliers étant faite , l'on aura le produit total. Ainsi Vaa + 66 x Vaa + 66 = aa + bb; Vaa

= aa + bb; Vaa-bb x-Vaa— 66 - aa + bb; 2avaa +66 x bvaa +66 = 2db + 2ab', Ceci est évident; car lorsque la même quantité se trouve sous le signe radical V, en ôtant le signe radical, cette quantité se trouve multipliée par elle-même. Ce qu'on peut encore prouver en cette sorte : Vaa+bb x Vaa + bb aa + bb 7 xaa+bb.7 = ( no. 34.) aa + bb T * 1 를 17/

1 (no. 33. ) aa +66 * = aa + bb

. Il en est aing des autres,

ou

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