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Pour multiplier Va + 6 par vab, on multipliera a + b par a

par a-6, comme si c'étoit des quantitez rationnelles, & l'on aura Vaa bb. De même a+ Vabxb= ab + bvab; a+Vab x Vbc = avbc +Vabbc

avbc + Vabbc = avbc + bac; 3a7bc26Vac x 2CV ab=bacvabbc-4bcVaabc=babcvac 4abcvbc. Voici des Exemples plus composez. a tvaa

-bb multiplié.
par a +Vaa -66
aa tavaa -bb

to avaa bb + aa_bb Produit aa + 2avaa -bbtaa-bb.

a to vaa – xx multiplié par 4

VaaProduit aa + avaa-xx

avaa aa

XX

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XX

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аахх.

XX

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Vab to vaa

– xx multiplié
par
Vab

+ Vaa
Produit ab + Va'b abxx
+ Vab

abxx + aq XX =ab+ 2V2b-abxx + aa - XX.

act- braa – xx multiplié par bc - Naa - yg Prod. abcc + bbcvaa — xx

accvaa-yy - bevat aaxx abce + bbcvaa —xx— acvaa—yy

(-b¢va' - aaxx

алуу +xxуу

aayy + xxyy.

le Quo

DIVISION

Des quantitez irrationnelles. 71. ON écrira le dividende au-deffous du diviseur en forme de fra&ion, & l'on prendra cette fraction pour le Quotient de la division. Mais lorsque l'on s'appercevra que le dividende sera le produit du diviseur par une autre quantité, ce qui est aisé dans les quantitez incomplexes, on prendra cette autre quantité pour cient. Et dans les quantitez complexes, lorsqu'on n'appercevra pas le Quotient, on examinera (no. 46.) si la division se peut faire ; & fi elle fe fait, l'on aura un Quotient sans fraction : mais fi elle ne se fait point, on se contentera de la division indiquée. Ainfi

= Vb;

You Wc; = 3avgci

Va*: car a t X X A 46726

Yatx = aa --- xx. Il en est ainsi des autres. Il y a d'autres Réductions pour les divisions indiquées qu'on trouvera ailleurs ; & tout ce que nous allons dire des raports

& des fractions, le doit aufli entendre de ces fortes de divisions, soit qu'elles soient rationnelles, ou irrationnelles.

Yab

acvbc

Va

ayb

IzacV6bc

XX

"R de

THE ORI E
Des Raisons , ou Rapores des Fraktions, des

Equations, @n des Proportions.

DE'.F INITION S. II. Aison, ou Raport est la comparaifon de deux grandeurs même

genre,

telles
que

font deux nombres, deux lignes, deux lurfaces, deux corps, deux espaces de temps, deux quantitez de mouvement, deux vitesses d'un même , ou de deux differens mobiles, deux poids, deux fons, &c.

Or comparer les grandeurs, c'eft operer sur les gran. deurs ; & comme l'on ne peut operer sur les grandeurs qu'en les ajoutant, soustrayant, multipliant, divisant , & en extrayant les racines ; il faut necellairement

que

leur comparaison se fasse par quelques-unes de ces opera, tions.

Mais parceque l’Addition, & la Multiplication les con-, fondent, & n'en marquent point l'égalité, ou l'inégalité, en quoi consiste précisément la comparaison des gran. deurs, & que l'extraction des racines n'agit que sur une seule ; & qu'au contraire la Soustraction fait connoître l'égalité de deux grandeurs, ou l'excès de l'une par-dessus l'autre, ou la difference de l'une à l'autre, & que la Division détermine combien de fois une grandeur en contient, ou est contenue dans une autre; ou, ce qui est la même chose, indique la maniere dont une grandeur en contient, ou est contenue dans une autre, ou en marque l'égalité ; il suit qu'il n'y a que la Soustra&tion & la Division qui puissent servir à comparer les grandeurs.

1. La comparaison de deux grandeurs par la Soustra. ction; ou, ce qui est la même chose, la Soustraction ellemême, est nommée raison ou raport arithmetique. Ainsi

-4; 4-6, ou b-a, &c. sont des raisons ou des raports arithmetiques.

2. La comparaison de deux grandeurs par la Division; ou, ce qui est la même chose, la Division elle-même est appellée raison, ou ráport géometrique. Ainfi*, ou ; sou, &c, sont des raisons ou des raports géometriques.

On prend ici la Soustraction indiquée pour la Soustra&tion même, ou pour la difference des deux grandeurs qui la composent ; & l'on prend de même la Division indiquée pour la Division même, ou pour le Quotient des deux quantitez qui la forment.

On appellera dans la suite Réduction, le résultat de ces deux Regles ou de ces deux Raports, c'est-à-dire, la difference & le Quotient des deux quantitez qui les composent.

COROLLA I RE 3. Il est clair que les raisons ou raports tant arithme. tiques que géometriques, sont égaux lorsque leurs Rédu&tions sont égales. Ainsi 12 —4=16—8, parceque 12 -4=8, & 16–8–8. De même = \, parceque = 3,& ;=3. Par la même raison, fi ;=f&a=f;

2 응 4. Mais les Rédu&tions, ou les Quotiens des divisions, ou des raports geometriques, sont toujours égaux, lorsque les dividendes contiennent, ou sont contenues de même maniere dans les diviseurs. C'est pourquoi lorsqu'une grandeur a contiendra, ou sera contenue dans une autre grandeur b, comme une troisième c contient ou est contenue dans une quatriême d, ces quatre grandeurs formeront toujours deux raports géometriques égaux,

I.

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l'on aura

COROLLAIRE II.

16

16

I 2
: car
8

= 2.

8

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= 3, & INTRODUCTION. xlj COROLLAIRE

II. Il est de même évident que les raisons, ou raports tant S. arithmetiques que géometriques , sont inégaux, lorsque leurs Réductions sont inégales, & que le plus grand est celui dont la Réduction est la plus grande. Ainsi 12 -4> 10 - 6: car 12 —4=8, & 10—6=4. De même

> > : 6. Le premier terme d'un raport arithmetique , & le terme superieur d'un raport géometrique, sont nommez antecedens ; le second d'un raport arithmetique, & l'inferieur d'un raport géometrique, sont nommez consequens. Ainsi dans les raports a -6,&

a est l'antecedent, & b le consequent : mais comme les raisons ou les raports géometriques ne sont autre chose que

des Divisions indiquées, & que ces Divisions sont, à proprement parler, des fractions ;

il suit qu'il n'y a aucune difference entre raison, raport, division, & fraction; de forte que tout ce qu'on dira dans la suite des uns, se doit aussi encendre des autres. On remarquera seulement que pour parler comme les autres, lorsqu'il s'agira des raisons ou raports, on appellera les deux termes antecedent & consequent ; lorsqu'il s'agira de Divisions, on les appellera dividende & diviseur ; & lorsqu'il s'agira de fractions, on les appellera numerateur & dénominateur.

7. Lorsque l'antecedent d'une raison est égal à fon consequent, on l'appelle raison d'égalité ; & lorsque l'un surpasse l'autre, on l'appelle raison d'inégalité.

8. Lorsque l'antecedent d'un raport géometriqué, contient plusieurs fois exactement son consequent, il est nommé multiple de ce consequent; & lorsque l'antecedent est contenu plusieurs fois exactement dans son consequent, il est nommé soumultiple du même consequent.

9. De tels raports tirent leur dénomination du nombre de fois que l'antecedent contient le consequent, ou

f

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