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y est contenu. De sorte que si l'antecedent contient deux, trois, quatre fois, &c. son consequent, le raport sera nommé double , triple quadruple , &c. & si l'antecedent est contenu deux, trois, quatre fois, &c. dans le consequent, le raport sera nommé soudouble, soûtriple, souquadruple, &c. Ainsi est un raport triple, & il est un raport solltriple.

10. On appelle équation deux quantitez algebriques differentes, entre lesquelles se trouve le signe d'égalité ; ainsi a=b; ax — xx=yy;x= sont des équations.

11. Les deux quantitez algebriques qui se trouvent de part & d'autre du signe d'égalité sont nommées membres de l'équation; celle qui le précede est nommée le premier membre, & celle qui le suit, le second. D'où l'on voit

que les deux membres d'une équation sont les expressions algebriques d'une même quantité, ou de deux quantitez égales.

COROLLA I R E.
12. Il est évident

que
deux

raports égaux arithmetiques, ou géometriques, peuvent toujours former une équation. Ainsi si a surpasse', ou est surpassée par b, de la même quantité que c surpasse ou est surpassée par d, l'on aura toujours a-b=-d, ou b-a=d-. De même si a contient ou est contenue dans b, comme c contient ou est contenue dans d, l'on aura toujours; =å, ou :=

13. Mais si au lieu de former une équation de deux raports égaux, arithmetiques, ou géometriques, on arrange quatre termes de suite, en sorte que l'antecedent de l'un des deux raports soit le premier, son confequent, le second ; l'antecedent de l'autre raport, le troisiême, & son consequent le quatriéme, en séparant les deux raports par quatre points, & les deux termes de

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leurs

b::c.d,

chaque raport par un seul point, en cette sorte a. (en supposant que a-b=r—d, ou;=ál; on appellera proportion , ou analogie cette disposition des quatre termes de deux raports égaux. De sorte que proportion ou analogie, n'est autre chose que l'égalité de deux raports arrangez autrement qu'en équation. Si les raports sont arithmetiques, on la nommera proportion arithmetique ; s'ils sont géometriques, on la nommera proportion géometrique.

14. Pour énoncer une proportion, comme celle-ci a. 6::c. d; on dira , si elle est arithmerique, a surpasse b, ou est,surpassée par b, comme c surpassed, ou est surpalsée

par d; & fi elle est géometrique, on dira a contient b, ou est contenue dans b, comme c contient d, ou est contenue dans d. Mais pour abreger , soit que la proportion soit arithmetique, ou géometrique, on dit a est à b, comme c est à d, ou comme a est à b, ainsi c est à d, en observant neanmoins que le mot est signifie surpasse , ou eft surpassé dans la proportion arithmetique ; & que dans la geometrie , il signifie contient ou eft contenu.

L'on distingue deux sortes de proportions, tant arith. metiques que géometriques, la discrete, & la continue. 15. La proportion discrete est celle dont les quatre ter

. mes sont differens, comme celle ci a. b::c.d. 16. La proportion continue, est celle où la même

quantité est le consequent du premier raport & l'antecedent du second, comme celle-ci a. 6::b.c.

17. Les quantitez qui forment une proportion sont nommées proportionnelles. Ainsi la proportion discrete renferme quatre proportionnelles, & la continue n'en renferme que trois, & celle du milieu est nommée moyenne proportionnelle , arithmetique ou géometrique, selon queʻla proportion est arithmetique ou géometrique, & dans l'une & dans l'autre proportion, le premier & le dernier termes sont nommez extrémes, & les deux du milieu , moyens. 18. Lorsqu'une proportion continue renferme plus de

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6.4.2,

trois termes : ou plutôt lorsque plusieurs grandeurs dont le nombre surpasse 3, font rangées de suite, de maniere que chacune d'elles puisse servir de consequent à celle qui la précede, & d'antecedent à celle qui la suit, cette rangée de grandeurs est appellée progression, arithmetique ou géometrique, selon que les raports, que les grandeurs qui la composent, ont entr'elles, sont arithmetiques ou géometriques. A, B, C, sont des progressions arithmetiques. D, E, F, des progressions géometriques.

A. 1. 2. 3. 4. 5, &c. D. 1. 2.4.8.16, &c. B, 10.8.6. &c. E. 81.27.9.3.1, &c. C. 4. 2.0–2–4, &c. F. 4.2. r}&c.

COROLLAIRE. I, 19.

Il est clair ( no. 18.) que dans une progression arithmetique, l'excès d'un terme quelconque par-dessus celui qui le suit, ou qui le precede, doit être toujours le même. De sorte que si on nomme le premier terme d'une progression arithmetique a; & l'excès qui regne dans la progression m, (m peut signifier un nombre quelconque, entier , ou rompu , positif, ou negatif) l'on

le moyen de ces deux lettres , une progression arithmetique generale en cette sorte, a, atm. 2+2m. a +3m, &c.

COROLLA I R E I I. 20. Il n'est

pas
moins évident

que

si dans la progression géometrique, l'on divise un terme quelconque par celui qui le suit, la réduction, ou le quotient sera toujours le même ; c'est pourquoi fi l'on nomme le premier terme d'une progression géometrique b, & la réduction ou quotient qui regne dans la progression n ( n signifie un nombre positif, entier, ou rompu), l'on pourra former ụne progression géometrique generale, en cette sorte, :b

&c. car si une quantité b divisée par

pourra former

former par

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b

b b

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une autre, donne au quotient n, la même quantité b, die visée

par le quotient n donnera cette autre. 21. Ceci se peut aussi appliquer aux proportions tant arithmetiques que geometriques. Soit par exemple, la proportion arithmetique suivante a. 6 :: c. di si l'on nomme a-6, ou 6

-6, ou b-a,m; (dou d-c sera aussi m; donc a. a-m::0.6-m, ou a. a+m:: 6.6+m, d'où • l'on voit que la somme des extrêmes est égale à la somme

des moyens, c'est-à-dire , a+c+m=a+m+, puisque ces deux sommes, qui sont les deux membres de cette équation, renferment les mêmes quanticez.

2 2. De même, si dans la proportion géometrique suivante a, b :: 6. d, on fait ;=n, l'on aura aussi

=n; & partant (no, 20.)a. --::-.- ; d'où l'on voit aussi que le produit des extrêmes est égal au pro ." duit des moyens, c'est-à-dire, -= ": car ces deux produits qui sont les deux membres de cette équation, ren. ferment les mêmes quantitez.

A x I O.ME I. 23. Si l'on ajoute, ou si l'on soustrait, ou si l'on multiplie, ou si l'on divise des quantitez égales par des

quantirez égales; les sommes, ou les differences, ou les produits, ou les quotiens, seront égaux.

COROLLA 1R E S. qe. Il suit qu'on peut ajouter, soustraire, multiplier, ou diviser les deux membres d'une équation par les deux membres d'une autre, chacun par chacun. Par exemple, fi a=b, &r=d, l'on aura a+c=b+d, ou a +d. =b+r; al =bd, ou ad=bc; :=

2e. Il suit aussi de cer Axiome, & de ce que l’Addition & la Soustraction ont des effets contraires, que l'on

peut

12

ou

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passer tel terme que l'on voudra d'un membre d'une équa. tion dans l'autre en changeant son signe, ce qu'on appelle transposition. On peut même passer tous les termes d'un des membres dans l'autre, ce qu'on appelle égaler tout à zero. Ainsi certe équation a +b-1= g se peut changer en celle-ci a+b=5+c, ou en celle-ci a=8+1-6, ou en celle-ci a +b =r=g=0, ou o=8-a-b+c: car par exemple, dans le premier changement, on ne fait qu'ajouter c de part & d'autre du signe d'égalité, parcequ'elle y est soustraite, ce qui donne a+b-c+r=8+1, qui se réduit à a+b=5+5. Il en est ainsi des autres changemens.

3e. Il suit de ce Corollaire que l'on peut changer tous les signes d'une équation ;, car il n'y a qu'à supposer qu'on fait passer tous les termes d'un membre dans l'autre ; & que

l'on peut mettre seuls, dans un des membres, les termes qu'on veut, avec les signes qu'on veut.

4€. Il luit encore du même Axiome, & de ce que la division détruit ce que fait la multiplication, & au contraire ; qu'on peut délivrer une équation de toutes les fractions qui s'y peuvent rencontrer : car il n'y a qu'à multiplier toute l'équation par tous les dénominateurs l'un après l'autre , ou ce qui revient àu niême, la multiplier une seule fois par le produit de tous les dénominateurs, & ensuite réduire (art. 1. no. 37.) les termes fra&ionnaires. Par exemple, pour ôter les fractions de cette équation

on la multipliera par c & puis par ?

aabcx a, ou une seule fois par ac;

+acgx=

abccd mais (art. 1. no. 37.) -aabx, & bccd; donc aabx + acgx=

bccd qui n'a plus de fractions. L'on abrege l'operation, & particulierement quand les dénominateurs sont des polynomes, en écrivant les numerateurs des termes fractionnaires sans y rien changer, & en multipliant les autres termes par les dénominateurs.

abx

.bcd

+8x

с

& l'on aura

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'aabcx

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