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XX aa

6,

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۔

Ainsi pour ôter la fraction de cette équation ayant multiplié c par 6-y, l’on aura xx-aa=bc-cy. Il en est ainsi des autres.

se. Il suit aussi qu'on peut délivrer une lettre, ou telle puissance qu'on voudra d'une même lettre , qui se trouve dans une équation, de toutes autres quantitez qui l'accompagnent; ce qu'on appelle trouver la valeur d'une lettre ou d'une puissance:car il n'y a pour cela qu'à diviser toute l'équation par les quantitez qui multiplient cette lettre après avoir mis dans un des membres tous les termes où se trouve cette lettre, & tous les autres termes dans l'au. tre membre , & qu'à faire ensuite la réduction. Par exemple , si dans cette équation ax= =bc, l'on veut mettre * seule dans le premier membre , l'on aura en divisant

bc toute l'équation par a ,

: mais ( art. 1, no. 37.) ax

bc = x; donc Le second membre ne peut

être réduit.

Si dans celle-ci ax=ab + bx - bc, l'on veut avoir é seule dans un des membres, l'on aura en transposant, & en supposant que a surpasse b, axbx=ab-bc, &

ab-bc en divisant tout par a -6, l'on aura

as

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ax

.bx

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ax

.bx

x ; donc * *

mais ( art. 1. no. 43, ou 46.) ab bc

b

ab

Si dans cette équation ax - 6x=aa -- bb, l'on veut

be avoir x seule, en divisant par a-b, l'on aura

ab

bb

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Si dans cette équation aaxx + aayy

- 2ax'

2axyy to xxyy = 0, l'on veut mettre yy seule dans le premier membre, l'on aura en transposant aayy — 2axyy + xxyỹ = 2ax'— aaxx, & en divisant chaque membre par aazax to XX,

yy =

Il en est ainsi des

l'on aura yy

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24x3
44 - 2aX+XX

autres.

A x I OME

II.

24. Les puissances & les racines des quantitez égales

sont égales.

Ainsi six=ta, l'on aura en quarrant chaque membre xx=aa; & li xx=da, les racines feront x=+a; si xx=ab, les racines seront x=+Vab. Sixx= -ab, les racines seront x=+Vab, qu'on appelle racine ima. ginaire , parce que l'on n'en peut pas exprimer la valeur, relles sont toutes les quantitez irrationnelles negatives.

les racines seront y

-44XX

Si yy=

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Vzax
Vaa – 2ax + **

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mais (art. 1. no, 66.) V2ax

aaxx = XV 2ax Vaa 20x + XX

X; donc y=

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Si Xx = ax:+bb, les racines seront •x= Viaa + bb: car en transposant, l’on a xx ax = bb: or si l'on extrait ( art. 1. no. 62.) la racine du premier membre xx

-ax, on trouvera qu'il y manque + aa, afin qu'il soit quarré; c'est pourquoi en ajoutant de part & d'autre aa , l'on aura xx — ax+ aa=;

aa+bb: mais Vxx

- ax + aa = (art. 1. no. 62.. ) .[ a, & la racine du second membre de s'extrait que par

le moyen du signe radical.; donc x — a=+Vį aa +66 où en transposant x = {a+Vi aa -+ bb. Si les signes

étoient

1

éroient differens, cela n'apporteroit aucun changement dans l'operation.

C'est aussi parceque les puissances des quantitez égales sont égales, que l'on peut délivrer une équation des

quantitez irrationnelles qui s'y rencontrent : ce qu'on appelle faire évanouir les signes radicaux : car s'il ne s'y en rencontre qu'une , après l'avoir mise seule dans un des membres de l'équation par les Corollaires précedens; il n'y aura qu'à élever chaque membre à la puissance qui à pour exposant celui du signe radical. Ainli pour délivrer des quantitez irrationnelles, cette équation xx=2-** Vxx + yy, l'on aura en divisant par a - *,

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3x + yy

Vxx +yy, ou en divisant par Vxx + yy, Vwx+yy
- *, & en quarrant chaque membre, l'on aura
= aa - 2ax + XX, où il n'y a plus de quantitez irration.
nelles.

Mais s'il se rencontre deux quantitez irrationnelles dans une même équation, on la délivrera de l'une, & ensuite de l'autre comme on vient de dire. Par exemple, pour délivrer de quantitez irrationnelles, cette équation Vxx + yy+Vaa

a — 20x+x+yy=b, l'on aura en transposant, Vaa 2ax + xx + yy

=b- Vxx + yy

Vxx + yy, & en quarrant chaque membre, l'on aura aa — 20x + xx+ bb

26Vxx + yy + xx+yy, & en ôtant ce qui se détruit par la réduction, & transposant, il vient 2bVxx +yy

bb - aa + 2ax, & en quarrant encore chaque membre, l'on a 4bbxx + 4bbyy=6*— Zaabb + a* + 4abbx — 4a's + 4aaxx, où il n'y a plus de quantitez irrationnelles.

A x I O M E III. 25. On peut mettre en la place d'une quantité quelconque incomplexe ou complexe, une autre quantité égale incomplexe, ou complexe, ce qu'on appelle fubftituer :

8

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C'est par le moyen de cet Axiome que l'on réduir plusieurs équations à une seule , & que l'on en fait évanouir les lettres que l'on veut, pourvû que chacune de ces lettres, ou quelques-unes de leurs puillances se trouvent au moins dans deux de ces équations, & que l'on ait au moins une équation de plus qu'il y a de lettres que l'on veut faire évanouir. En voici la Méthode.

26. On choisit une des équations ( c'est ordinairement la plus simple) & l'on mec seule (axio. 1. & ses Coroll.) la lettre qu'on veut faire évanouir , dans un des membres; (c'est ordinairement dans le premier), & l'on sub. stitue dans les autres équations, en la place de cette lertre, ou de ses puissances, la valeur, ou celle de ses puissances, qui se trouve dans l'autre membre de l'équation que l'on a préparée ; en sorte que cette lettre ne se trouve plus dans aucune, & l'on a alors une équation de moins. On recommence de nouveau à choisir la plus simple des équations résultantes , & l'on met seule dans le premier membre, la lettre qu'on veut faire évanouir , & l'on substitue comme auparavant la valeur de cette lettre dans les autres équations. On reïtere la même operation jusqu'à ce que l'on ait fait évanouir l'ụne après l'autre, toutes les lettres que l'on a dessein de faire évanouir, ou jusqu'à ce que l'on n'ait plus qu'une seule équation. On va eclaireir ceci par des Exemples.

E x E M P L E S. 14. Soient les trois équations A, B, C, dont on veut faire évanouir les deux lettres x & y.

D. x2=bb 262+ 22 B.

b +2=a.
x+y=B.

F. az + bz-=b6 26x + 22.
G. 222=362+az - bb.
Je choisis l'équation C pour faire évanouir y,

b 2, & en quarrant chaque membre ( parceque le quarré de y se trouve dans l’equation A,) j'ai yy

A. x2=yy:

*—y=A.

E.

C.

& j'en

tire y.

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pour

2yy + 2by

+

=b6 264 + 28, & mettant dans l'équation A, уу

sa valeur bb - 262+ z2, & dans l'équation B, pour y la valeur 6-2, j'ai les deux équations D&F, où y ne le trouve plus. Je choisis de nouveau l'équation E pour faire évanouir x, & j'en tire x=a + b - *, & mettant dans l'équation D pour x sa valeur a+b-2, j'ai l'équation F, qui devient par la réduction, & par la transposition, l'équation G, où x & y ne se trouvent plus. 2°. Soient les deux équations aa + 2ax+xx=

: 2yy +2by +bb, & yy+by=aa + ax, d'où il faut faire évanouir ý. Je remarque que si la seconde équation étoit multipliée par 2, l'on auroit

= 2aa + 2ax, où les termes où y se trouve, sont les mêmes que dans la premiere ; c'est pourquoi fi l'on met dans la premiere pour zyy + zby sa valeur + 2aa + 2ax tirée de la seconde, après l'avoir multipliée par 2:

l'on aura aa + 2ax + xx= 2aa + 2ax + bb, qui se réduit à xx=aa+bb. Il en est ainsi des autres, 27. On peut encore par

le moyen de cet Axiome faire certains changemens dans une équation en faisant certaines suppositions. Par exemple, si l'on a x'= =aab, en supposant ay=xx; & mettant cette valeur de xx dans l'équation x'=aab, l'on aura axy=aab, ou xy=ab; en divisant toute l'équation par a. De même, si l'on a xx=ax+bb, en supposant ac=

=bb, l'on aura xx=ax+ac; & li l'on a xx=ax+ac, en supposant bb=ac, l'on aura xx= ax + bb. Ce qu'on appelle changer un rectangle en quarré, ou un quarré en rečtangle. On a souvent besoin de faire ces changemens.

Pour ce qui reste à dire sur les équations : voyez l’Application de l'Algebre à la Geometrie, Section I. art. 2 & 3.

On trouve dans les Ouvrages de plusieurs Sçavans Geometres un grand nombre de Theorêmes démontrez sur les raports, proportions, & progressions ; mais il y manque la Méthode de les démontrer tous par le même principe, qui est ce qu'il y a de plus à desirer tant en cette occasion que dans toutes les autres parties des Mathematiques.

On pourroit cirer de ce que nous ayons dit, no. 18, 19,

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