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lettres dans l'application de l’Algebre à tous les usages, c'est 10. qu'après avoir fait quelques-unes des operations dont on vient de parler sur les lettres, on en connoît non seulement le résultat , mais on connoît & on distingue en même tems toutes les quantitez qu'il renferme ; ce qui n'est point de même dans les résultats des mêmes operations faites sur les nombres.

20. Que les quantitez inconnues entrent dans le calcul aussi-bien que les connues,

&

que l'on opere avec la même facilité sur les unes que sur les autres. 30. Que les Démonstrations

que
l'on fait

par

le calcul algebrique sont generales, & qu'on ne sçauroit rien prouver par les nombres que par induction.

C'est précisément en ces trois choses que consiste le grand avantage qu'on tire du calcul algebrique dans son application à toutes les parties des Mathematiques, qu'on en démontre tous les Theorêmes, & qu'on en résout tous les Problêmes avec autant de facilité qu'il y auroit de difficulté à faire les mêmes choses selon la maniere des Anciens.

On s'est accoutumé à employer les premieres lettres de l’Alphabet a,b,c,d, &c. pour exprimer les quantitez connues, & les dernieres

& les dernieres m, n, p, q, r, s, t, u, x, y, z pour exprimer les inconnues.

1. Outre les lettres qu’on employe dans l’Algebre, il y a encore quelques autres signes qui servent pour marquer les operations que

l'on fait sur les mêmes lettres. Ce figne +, signifie plas, & eft la marque de l'Addition. . Ainsi a +6, niarque que b est ajoutée avec a.

Ce figne-, signifie moins, &'est la marque de la Soustraction. Ainsi a-6, marque que b est soustraire de a.

Celui-ci x, fignifie fois, ou par, & eft la marque de la multiplication. Ainsi axb, marque que a & b, font mulcipliées l'une par l'autre.

On néglige très-souvent ce figne, parcequ'on est convenu que lorsque deux ou plufieurs lettres sont jointes ensemble fans aucun figne qui fépare ces lettres, où les

quantirez qu'elles expriment, sont multipliées, par exemple ab marque assez que a & b se multiplient : mais on s'en sert toujours pour marquer que deux quantitez exprimées par des lettres majuscules de l’Alphabet, se multiplient. Ainsi ABCD; marque que la grandeur exprimée par AB est multipliée par la grandeur exprimée par CD. On employe encore le signe de multiplication en d'autres occasions qu'on trouvera dans la suite.

Ce figne=, signifie égal, & marque qu'il y a égalité entre les quantitez qui le précedent, & celles qui le suivent. Ainsi a=b marque que a est egale à b.

Celui-ci > signifie plus grand. Ainsi a > b marque que a furpasse b.

Celui-ci < signifie plus petit. Ainsi a <b, marque que a est moindre que b.

Celui-ci oo fignifie infini. Ainsi x=0, marque que x est une quantité infiniment grande.

2. Les lettres de l'Alphabet font nommées quantitez algebriques, lorfqu'on les employe pour exprimer des grandeurs sur lesquelles on veut operer.

3. Les quantitez algebriques font nommées fimples, incomplexes ou monomes , lorsqu'elles ne font point liées ensemble par les signes + &—; a, ab, &c. font des quantitez incomplexes.

4. Elles sont nommées composées, ou complexes, ou polynomes, lorsqu'elles sont liées ensemble par les signes + & -ja+b, ab j.a+b, ab + bb, ab

bb, ab 6c + cd, 7bb, font des quantitez complexes.

s. Les parties des quantitez complexes diftinguées par les signes + & — sont nommées termes. ab + bc- cd, est une quantité complexe, qui renferme trois termes, ab, bc & cd. Il y a quelques remarques à faire sur le mot de terme qu'on trouvera ailleurs.

6. Les quantitez complexes qui n'ont que deux termes font nommées binomes; celles qui en ont trois , trinomes, &c. 7. Les quantitez incomplexes qui sont précedées du

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figne +, ou plutôt qui ne sont précedées d'aucun signe ( car les quantitez incomplexes, & les premiers termes des quantitez complexes qui ne sont précedées d’aucun signe sont supposées être précedées du signe + ) sont nommées positives , & celles qui sont précedées du signe

- négatives; d'où il suit que les quantitez complexes font positives, lorsque les termes qui ont le signe + surpassent ceux qui ont le signe —; négatives, lorsque les termes précedez du signe — surpassent ceux qui sont précedez du signe +

8. Les quantitez incomplexes, & les termes des quantirez complexes qui contiennent les mêmes lettres sont nommées semblables. 2abc & abc sont des quantitez incomplexes semblables; 3aab-2aab+4abb est une quantité complexe qui renferme deux termes semblables zaab &– 2aab; le troisiéme terme 4abb, n'a point de semblable.

9. Pour s'appercevoir plus facilement de la similitude des quantitez algebriques, il faut toujours écrire les premieres lettres de l’Alphabet les premieres, & les autres dans leur ordre ; c'est--dire par exemple, qu'au lieu d'écrire bac, ou cab, il faut écrire abc.

10. Les nombres qui précedent les quantitez algebriques sont nommez coefficiens.

Dans cette quantité aa + 3 ab + 466, 3 & 4 sont les coefficiens des termes 3 ab, & 4bb. L'on prend l'unité pour coefficient des quantitez qui ne sont précedées d’aucun nonibre, & quoique l'on n'ait point accoutumé de l'écrire, on la doit neanmoins toujours supposer. Ainsi aa doit être regardée comme s'il y avoit saa.

R E DU C TI O N

Des quantitez complexes algebriques à leurs plus

simples expressions. 11. Il faut ajouter les coefficiens des termes semblables, lorsqu'ils ont le même signe + ou — ,

-, & donner à la fomme le même signe : & lorsqu'ils ont differens signes,

il faut soustraire les plus petits coefficiens des plus grands, & donner au reste le signe du plus grand. Ainsi 3 ab + 2 ab étant réduite , devient sab; 4ac + 4ab 6ab devient 4a 4ac - 2 ab; 3a

2 ab; 3a - sa devient — 20; 3abc - abc, ou 3 abc - 1abc, devient zabc. Il en est ainsi des autres.

Dans tous les calculs algebriques, il ne faut jamais laisser de termes semblables sans être réduits.

ADDITION

Des quantitez algebriques incomplexes & complexes.

Il n'y a qu'à les écrire de suite , ou au-dessous les unes des autres avec leurs signes, & réduire ensuite les termes semblables, & l'on aura la somme des quantitez qu'il falloit ajouter ensemble. Ainsi pour ajouter 3 ab. 46c + scd avec 2 ab — 3cd, l'on écrira 3 ab 46c + scd

3cd, qui se réduit à sab-466+ 2cd. Pour ajouter sabc-4bcd avec sabd - 8abc+ 6bcd, l'on écrira sabc-4bcd + sabd— 8abc + 6bcd, qui se réduit à sabd

3 abc + 2bcd. Pour ajouter ba— 36 avec 2a+36, l'on écrira 6a

36+ 2a +36, qui se réduit à 8a, il en est ainsi des autres.

+ 2ab

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SOUSTRACTION Des quantitez algebriques incomplexes & complexes. 13. Il n'y a qu'à les écrire de suite, ou au-dessous l'une de l'autre en changeant tous les signes de celles qui doi. vent être soustraites; & l'on aura après la réduction des termes semblables , la difference des ' quantitez proposées.

Pour soustraire 3a — 26+ 30 de sa — 36—56, l'on écrira sa -36-56-3a+26-3c, qui se réduit à 22b-8c. Pour soustraire zab —- 2bc+2cd de sab-4bc + + 2cd, l'on écrira sab-4bc + 2cd -3 ab 2bc

2cd, qui se réduit à 2 ab 2bc. Il en est ainsi des autres.

MULTIPLICATION
Des quantitez algebriques incomplexes, & de leurs

puissances. 14. On est convenu que pour multiplier deux ou plusieurs lettres, il n'y a qu'à les écrire de suite sans aucun signe qui les sépare, & l'on aura le produit cherché. Ainsi pour multiplier a par b, l'on écrira ab. Pour multiplier ab par ac, l'on écrira aabc. Il en est ainsi des autres.

Il y a souvent des nombres, ou coefficiens qui précedent les quantitez algebriques qu'il s'agit de multiplier ; il faut aulli avoir égard à leurs signes. Voici la regle qu'il faut suivre.

15. On multipliera les coefficiens, ensuite les lettres, & on donnera au produit le signe + si les deux quantitez sont précedées du même ligne + ou —, & on lui donnera le signe si l'une des quantitez eft précedée du figne +& l'autre du signe

Pour multiplier za par 26, on dira trois fois deux font six, a par b fait ou donne, ou est égal à ab; ainsi l'on aura Cab pour le produit de 3a 26. De même zab

- 2ab baabb. 3 ab * — 2cd=+ 6abcd. sab x cd, ou icd= sabcd. aab x abb=aaabbb, ou a:b3 : car lorsque la même lettre se trouve plus de deux fois dans un produit, on l'écrit seulement une fois , & l'on écrit à la droite un caractere arithmetique qui exprime combien de fois cette lettre doit être écrite. Ainsi pour agaa, l'on écrira a'; pour aaabbb, l'on a écrit abi; on peut aussi pour aa écrire a'; pour bb, 6, &c.

D E F IN I TI O N. 16. Le caractere arithmetique qui marque combien de fois une lettre doit être écrite dans un produit, est nommé expofant. Ainsi dans a'b*, 3 eft l'exposant de a,&4, celui de b; dans a'b, 3 est l'expofant de a, & i l'exposant de b: car quand une letere est seule, ou qu'elle ne doit être écrite qu'une fois dans un produit, on doit supposer

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