페이지 이미지
PDF
ePub

b, ou,

con

qui est la premiere équation, & qui montre par consequent la verité des deux premieres analogies.

Si l'on ajoute , & si l'on soustrait bd de chaque membre de l'équation ad=bc tirez de l'Hypothese, l'on aura ad + bd=bc+bd, & ad- bd=bc - bd, qui sont semblables aux deux dernieres équations tirées des deux dernieres analogies, & qui en font par consequent voir la verité.

Il y a encore d'autres variations dans les proportions que l'on démontrera avec la même facilité.

THE O R E ME
1 E OR Ê

III. 32. S1 deux grandeurs quelconques a &b, font multipliées par une même grandeur c, rationnelle, ou irrationnelle, les

produits ac & bc, feront en même raison que les mêmes quantitez a da b. Il faut prouver que ac. bc :: a. b,

afin
que

la sequence soit en équation , que (no. 29.) abc=abc.

Parceque les deux membres de cette équation sont sembla bles, il suit (no. 29, & 31.) que ce qui étoit proposé est vrai.

COROLLA IR E S. mer. Il est clair qu'on peut multiplier les quatre termes d'une proportion , ou l'un ou l'autre des deux raports qui la forment, ou les deux antecedens, ou les deux consequens de ces raports, par telle quantité qu'on voudra, sans

que ces raports cessent d'être égaux. 2. Et parceque les raports, ou les divisions indiquées sont des fra&ions, il suit qu'on peut multiplier les deux termes d'une fraction par telle quantité qu'on voudra, sans que cette fraction change de valeur. Ainsi

. en multipliant les deux termes par c.

3o. Une quantité quelconque, qui n'est point fractionnaire devient une fraction étant comparée à l'unité, ce qui n'y change rien ; c'est pourquoi toute quantité qui n'est point fractionnaire, peut être changée en une frađion,

h

ac

=

[ocr errors]

be

dont le dénominateur sera telle quantité qu'on voudra. Ainsi a ou

en multipliant chaque terme par b.

ab

I

b

ab

[ocr errors]
[ocr errors]

cg

cg

4. Il suit aussi qu'on peut donner à des fractions des dénominateurs semblables, lorsqu'elles en ont de diffe. rens, ce qu'on appelle réduire les fraétions à même dénomination : car pour cela, il n'y a qu'à multiplier les deux termes de chacune par le dénominateur de l'autre, s'il n'y en a que deux. Ainsi pour réduire à même dénomination

df
& ayant multiplié les deux termes de la

pre

abg miere par g, & ceux de la seconde par c, l'on aura& off s'il y en a un plus grand'nombre, on mulcipliera les deux termes de chacune par le produit des dénominateurs des autres. Ainsi

pour
réduire

en même déno. mination; ayant multiplié les deux termes de la premiere par fg, ceux de la seconde par dg, & ceux de la troisième

afg bdg cef par df, l'on aura

da dfgdfg Il se trouve souvent des fractions que l'on peut réduire à même dénomination, sans les changer toutes d'expression.

gh Ainsi & seront réduites en même dénomination, en multipliant les deux termes de la seconde par d: car

dgh

b

abb

cd

l'on aura

cd

se. Il suit encore que c'est la même chose de diviser le dénominateur d'une fraction , par une quantité quelconque, ou de multiplier son numerateur par la même quantité. Ainsi

ab

abd

abd

ll

[ocr errors]

&

с

b

C

b

b

THE OR EM

ME IV. 33. Si l'on divise deux grandeurs quelconques a & b par une même grandeur c, rationnelle ou irrationnelle ; les quotiens

, feront en même raison que les premieres grandeurs a da b. Il faut prouver que

-::a.b, ou, ayant supposé P, & =9, que p.q::a.b, ou afin que la consequence soit en équation, que bp=aq.

La premiere equation ( Axio. 1. Coroll.4.) donne d=cp, & la seconde, b=19, d'où l'on tire (Axio. 1. Coroll. i.) acq=bip, ou en divisant par c, aq=bp; donc (Th 2.) p.q::a. b, ou —. :: a. b, en remettant pour p, & pour q, leurs valeurs

& c. Q. F. D. On pourroit démontrer ce Theorême en cette forte. La Consequence“. ::a.b; donne (Theor. 1.) qui est une équation évidente

par

elle-même. 2. C'est aussi par le moyen de ce Theorême que l'on réduit les raports ou fractions à leurs plus simples expreffions. Ce qui se fait en divisant l'antecedent & le consequent de chaque raport par une même quantité, l'on nomme , commun diviseur, & les deux quotiens forment un autre raport, ou fraction égale à la proposée, mais plus simple.

Or il est souvent aisé d'appercevoir ce commun diviseur, & particulierement quand les deux termes du ra.. port que l'on veut réduire font incomplexes. Mais si on ne l'apperçoit pas par la seule inspection des termes, on cherchera ( art. 1. no. 56. ou 57.) tous les diviseurs de

b

C

b

ab

ab

C

[ocr errors]

aab

ac

abov abc

aby ac

'cdvb

[ocr errors]

l'antecedent, & tous ceux du consequent ; & les diviseurs de l'antecedent qui se trouveront aussi parmi ceux du consequent , seront des diviseurs communs ; mais on ne se servira que du plus grand: s'il ne s'en trouve aucun parmi ceux de l'antecedent, qui se trouve aulli parmi ceux du confequent, la fra&ion ne pourra être réduite à de plus simples termes.

E x E M P L E S. EXEMPLE 1.

se réduit, ou est égal à "en divisant chaque terme par leur commun diviseur a.

abcV abd abybd Exemple 2.

en divisant les parties racxYag Vg cionnelles parc, & les irrationnelles

par

Va. Exemple 3.

en divisant les parties racionnelles par c, & les irrationnelles par Vb.

* Exemple 4. = 1, en divisant les deux termes par a': Mais (art. 1. no. 2 2.)

= á; donc & = 1, ce que nous avions supposé dans l'endroit que nous venons de citer.

Exemple s. == en divisant chaque terme par d': mais (art. 1. no. 22.)

== ce que nous avions encore supposé au même endroit.

2 gab Exemple 6. en divisant chaque terme par sb.

Isbc

dac tabc Exemple 7.

en divisant chaque terme par leur commun diviseur a+b.

aa tab+bb Exemple 8.

en divisant chaque - bb

a + b terme par le commun diviseur ab.

3

donc a

[ocr errors]

sa

[ocr errors]

ad - bb

[ocr errors]

b

= P, &

C

b

C

[ocr errors]

THE ORÊ ME V. 34. Si l'on divise une mème quantité a, par des quantitez, differentes b en c, les quotiens feront reciproquement proportionnels à leurs diviseurs. Il faut prouver que

:: 6.6, ou, ayant supposé

, .. =9, que p.q::6.b, ou afin que la conse. quence soit en équation, que bp=cq.

La premiere supposition donne a = bp, & la seconde a=cq; donc ( Axio. 3.) bp=19;& partant (Theor. 2.) p.q::6. 6, ou

b, en remercant pour p, & pour q, leurs valeurs . &.C. Q. F. D.

On pourroit démontrer plus simplement ce Theorême: car la consequence F.::6.6 donne (Theor.1.) ou (art. 1. no. 37.) a =a, ou, a-A=0,ou o=0.

THEORE ME V I. 35. Si trois grandeurs a, b, c, font en proportion continue, la premiere a,

fera à la troisième c; comme le quarré de la premiere aa, au quarré de la seconde bb.

Il faut prouver que a.cii aa. bb, ou afin que sequence soit en équation, que aac= = abb.

L'on a (Hyp.) 2.b::b.c; donc ac=bb, & partant aac = abb en multipliant chaque membre par a. C. l. F.D.

THE O R E ME VII. 36. LORSQVE plufieurs raports sont égaux , comme

&c. La somme des antecedens a +c+d, eft à la somme des consequens b + d +e, comme celui qu'on voudra'des antecedens ; et à son confequent.

b

b

la con.

[ocr errors]

d

« 이전계속 »