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il faut prouver que a+c+d. 6+d+e :: a. b, ou, afin que la consequence soit en 'équation , que ab + bc +bd=ab+ad+ae, ou en ôtant de part & d'autre le terme ab qui se détruit par la réduction, bc+bd=ad+ae.

Les deux premiers raports égaux ( Hyp. ) donnent ad=bc

, le premier & le troisième donnent ae=bd; donc (Axio. 1. Coroll. 1:) bc+bd=ad+ae. C. Q.F. D.

COROLLA I R E. 37. Il suit de ce Theorême, que connoissant les deux premiers termes a & b,& le dernier

6,

d'une progression geometrique, on trouvera aisément la somme de tous les termes qui la composent : car nommant la somme des antecedens x; la somme des consequens sera x-a +c. Or par ce Theorême, x.x—a+c::a.b; donc (Theor. 1.) bx = ax — aa+ac; ou, en transposant, & en supposant a> b, ax-bx=aa — ac; d'où l'on tire( Axio. 1. Cor.s.)

Ce qu'il faloit trouver. Si a> b, ou ce qui est la même chose, si la progression va en diminuant, & qu'on la suppose infinie , en faisant le dernier terme c=0, l'on aura x= , pour la valeur de tous les termes de la progression: car le terme ac se détruit à cause de c=0.

TнEORE м Е VIII. 3. La plus grande a de deux quantitez inégales a & ba un plus grand rapport à une troisième grandeur c que la plus petite b; & la même grandeur c, a un plus grand raport à la plus petite b qu'à la plus grande a. Il faut prouver, 10. Que 20. Que >

L'on a par l'Hyp. a> b; donc ( par le principe précedent, & ses explications )

en divisant cha

adac

ab

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A

b

b

que membre de cerce inégalité par c. Ce qu'il faloit premierement démontrer,

L'on a encore ( Hyp.) ab, donc en multipliant chaque membre®de cette inégalité par c, & divisant chaque membre par ab, l'on aura

ou (art. 1, no. 37.)

ac

bc

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ab

ab

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Ce qu'il faloit en second lieu démontrer. Nous avons supposé dans la Mulmiplication , & dans la Division, que +*+,&-*

donnoit +;

&

que + x-, Oų — *+ donnoit — . En voici la preuve, en supposant seulement que +*+ donne +, dont personne ne doute. 39. Soit a - b à multiplier par + c. Je dis que le

produit sera al bc: car ayant supposé ab=p; l'on aura en transposant a =

a=p+6,& multipliant cette équation par to, l'on aura ac=pc + bc ; donc en transposant, ac - bc =pc; donc a -6x +=ac bc.

40. Soit presentement a “bà multiplier par --. Je dis que le produit sera - ac + bc : car ayant supposé à - - 6 :P, l'on aura en transposant a =

p+b; donc en mul. tipliant par-c, l'on aura (no. 39.) — ac=-pc-bc, • ac + bc -PC ; donc

6 xéc : 41. Je dis aussi que

b: car le produit du diviseur

par le quotient, doit donner le dividende , ce qui n'arriveroit pas si le quotient étoit +b: car -ax+b

ab, qui n'est point le dividende. Au contraire ax-b=+ ab, qui est la quantité à diviser. 42. Il est de-là évident que

puisque dans l'un & dans l'autre cas, le quotient doit être négatif, ce que nous avons aussi supposé ailleurs.

REMARQUE. 1°. Tout le Calcul algebrique est fondé sur les trois Axiomes précedens , & sur les quatre premiers Theorê,

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-ac+bc.

ab

ab

- ab

d

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mes que l'on vient de démontrer. On n'a démontré les quatre derniers que pour faire voir l'usage de notre principe, & que par son moyen, on peut démontrer d'une maniere qui est toujours la même, toutes Pes proprierez des raports égaux, & inégaux, des proportions , & des progressions geometriques.

20. L'on remarquera aussi qu'en suivant le même principe, l'on démontrera avec la même facilité toutes les proprietez des raports, proportions,& progressions arithmetiques.

3o. Que l'équation qui exprime la consequence ou la verité

que l'on veut démontrer , peut toujours être délivrée de fractions, de signes radicaux, & réduite à ses plus simples termes, avant que de chercher à lui rendre semblable celle qui renferme l'Hypothese : car une équation étant vraye

dans un état, elle le sera dans tous ceux qu'elle est capable de recevoir.

Il s'agit presentement d'ajouter, soustraire , multiplier, diviser , & extraire les racines des raports, ou fractions.

ADDITION, ET SOUSTRACTION. 43. Pour les ajouter, on les écrira de suite fans changer aucun signe ; & pour les soustraire , on les écrira de suite en changeant les signes de celles qui doivent être soustraites, soit que

leur dénominateur soit le même, ou non. On leur donnera ensuite un même dénominateur & après avoir réduit ( art. 1. no. 11.) dans l'un & l'autre cas, les numerateurs semblables, on prendra pour la somme , ou pour la difference , celles des deux expresfions qui sera la plus simple.

E x E M P L E S. ab

ad Pour ajouter

abad
avec
l'on aura

Pour ajou-
aabt
qabb

qabt ter

avec

l'on écrira at - 20abb +64

2aabb + 6* aabb

ou après les avoir réduites en même déno- bb

mination

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bb

C

aac - bbc

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CC cd

44.ON

aabt + a'bb - aabu

at bb mination,

=(art. 1. no. 11.) zaabb +64

at - 2aabb-+-64 qui est une expression plus simple que la premiere.

ab

-bb Pour soustraire de

l'on écrira 6d ab

ou, après leur avoir donné un même dénominateur d aad + bbd abc

La premiere expression est la plus simple.

MULTIPLICATION.

multipliera les numerateurs, & ensuite les dénominateurs l'un par l'autre; & les deux produits formeront une fraction que l'on réduira à son expression la plus simple. Soit à multiplier par a. Ayant supposé 9.

Il faut prouver que La premiere supposition donne ac = bp , & la seconde , bc=dq; donc ( Axio, 1. Coroll. 1. ). abci = bdpq; donc ( Axio. 1. Coroll.

C. l. F. D. =P9= bd

d De même

x6+

ou ( Theor. 3. Coroll. 3.)

b bb+cd abs + abcd abb + acd

en divisant les deux

bc

ac

P, &

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abcc

acc

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d

bd

abcc

acc

5.)

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45. Le produit

differens & j; est appellé raport composé, ou raison composée; & le produit

d'un raport , mulciplié par lui-même, est appellé raport doublé, ou raison doublée.

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DI V I S I O N. 46. Le produit du numerateur du dividende par le dé nominateur du diviseur sera le numerateur du quotient, & le produit du dénominateur du dividende par le numerateur du diviseur , sera le dénominateur du quotient. On · réduira ensuite le quotient à son expression la plus simple. Soit proposé le raport

à diviser par . Ayant supposé p,&=q. Il faut prouver que

ab

ab

acb

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bb

ab

,ou,

,ou, en mul

46

bq

La premiere supposition donne ab=0P; la seconde, ac=bq; donc ( Axio. 1. Coroll. 1.) tipliant chaque membre parb, & divisant chaque membre parc,

C. l. F. D.
De même “divisé par d, ou par “, donne

abb

bb

ACC

CC

bd

EXTRACTION

1

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Des racines des quantitez fra{tionnaires. 47.

Il est clair par les regles de la multiplication des frađions, que pour extraire leurs racines, il n'y a qu'à extraire celle du numerateur, & celle du dénominateur, &. ces deux racines formeront une fraction, qui sera la racine de la proposée. Ainsi v

II. en est ainsi des autres. « Les mêmes operations sur les fractions irrationnelles n'ont rien de particulier.

Fin de C Introduftion.

6V aac

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