369. PROBLEME VII. Trouver le centre de gravité d'une demi-fphère. SOLUTION. Soit AB (fig. 47) le diamètre de la demifphère, & de fon cylindre circonfcrit ABDE, que fon égale DE foit le diamètre de la bafe du cone ECD. Il est évident (367) que le cone, qui n'eft (Elem. 711) que le tiers du cylindre,a fon centre de gravité en F, à CI; que le cylindre, dont la folidité eft égale à celle de la fphère & du cone prifes enfemble, a fon centre de gravité en H, à CI: Donc FHCI. Regardant le cylindre comme un point d'appui en H, le cone comme une puiffance en F, & la demi-fphère comme une puiffance en G qui maintient l'équilibre, GH & HF feront en raifon des folidités du cone & de la demi-fphère, donc GH-HFCI. Par conféquent CG-CH-GH ČI I CI. Donc IG={CI. C'est-à-dire, le centre de gravité d'une demiSphère eft aux de fon épaiffeur ou rayon, en comptant depuis le centre. 370. THEOREME III. Si plufieurs poids fufpendus en differents points d'un levier droit, font un effort commun fur un point d'appui de ce levier, la diftance du point d'appui au point du levier où l'on tiendroit tous ces poids en équilibre, fi ce levier n'étoit chargé que de ces poids, eft exprimée par la fomme des moments de chacun de ces poids par rapport au point d'appui, divifée par la fomme des maffes des poids. Par exemple, fi le levier R (fig. 40 ) portant un poids S appliqué en R, fe trouve en équilibre fur le point d'appui A avec tant de poids M, m, u qu'on voudra, je dis que le point Q (où l'on tiendroit les poids M, m, u en équilibre fi le levier n'étoit que P, ou s'il n'étoit point chargé d'autres poids, (eft tel,que AQ=APM+Apxm+A= × μ DEM. L'effort que foutient le point A eft égal à la fomme de tous les efforts que chaque poids fait fur lui, or l'effort ou moment de chaque poids eft égal (334) au produit de ce poids par la perpendiculaire tirée du point d'appui fur fa direction: ainfi l'effort du poids M eft Mx AP, celui de μ.Χ m eft mx Ap, & celui de μ est AT. Mais parce que ces trois poids feroient en équilibre autour du point Q, fi on fuppofe un poids E égal à la fomme des trois poids M, m,, & qui foit fufpendu en Q, fon moment ExAQ feroit égal à celui de tous les trois poids M, m, p. Donc Ex AQ ou (M+m+ (M + m + p.) × AQ= M× AP +mx Ap +μx A, & en divifant, AQMxAP+mx Ap+ux A μ.Χ M+m+ po 371. COROLL. I. Dans une courbe quelconque AM μμ (fig. 48 ) dont le fommet eft A, l'axe Ax, une abfciffe quelconque APx, fon ordonnée PM-y, fi felon les principes du calcul infinitésimal, on mene mp parallèle & infiniment proche de PM, on aura P p ou MR dx, le petit efpace p M fera y dx, & fyd x exprimera la quadrature de la courbe, ou l'aire comprife entre la dernière ordonnée y, l'abfciffe correfpondante x, & l'arc de la courbe compris entre la première & la dernière ordonnée. Si donc on regarde tous ces petits efpaces y dx comme autant de poids fufpendus à l'axe A, & faifant un effort commun fur le point A, la même expreffion fy dx repréfentera la fomme de tous ces poids; l'effort du moment de chaque poids par rapport au point A fera xy d x, & fxydx exprimera la fomme de tous ces moments. Donc la diftance AQ du fommet A au point Q de l'axe où tous ces poids refteroient en équilibre, eft Sxvdx C'est une formule générale pour trouver le centre de gravité des courbes: puifque fi l'efpace Au MA étoit fufpendu librement au point Q, l'axe A fe tiendroit de niveau, & que s'il paffoit de l'autre côté de l'axe, une branche ANB de la même courbe égale & femblable, le plan de la courbe entière terminée par une double ordonnée B, resteroit horizontal en équilibre fur le point Q. 372. D'où l'on voit que l'on ne peut avoir exactement le centre de gravité que des courbes dont on a la quadrature; & réciproquement que l'on a la quadrature de toutes les courbes dont on peut déterminer géométriquement le centre de gravité. fxydx 373. Pour faire voir l'ufage de la formule Sydx par quelques exemples. Soit BA une parabole: on a donc ( Elem. 968) Syd x I 2 2 2 =}xy, & à caufe de yy=x, ou x1=y, on a}xy=x. Par la mê 5 2 2 me raison sxy dx=ƒx2d x, qui par intégration devient x2oux.Di 3 2 2 vifant donc cette quantité par x, on ax, ce qui fait voir que AQ=} AT. 374. De même le diamètre du cercle générateur d'une sphère étant ar, on a (Elem, 976) pour l'expreflion d'un des éléments ou cy lindres infiniment minces qui compofent la fphère, cxdx. donc l'expreffion de fon moment eft cx2 dx cx dx 2 r cx xd x 2 r D'où il fuit que la diftance du fommet d'un fegment de fphère à fon centre de gra vité, est égale à l'intégrale cx3 ments), divifée par l'intégralec x x or sion, (qui est la fomme des maffes ou cylindres élémentaires), on 0x4 (qui eft la fomme des mo 8 r 033 de la première expref ainfi x, qui 4 3 r-x rendre par cette analogie, comme 3 rx à 2 r - eft ici l'expreflion de l'épaiffeur du fegment de la fphère, eft à la diftance du fommet de ce fegment à fon centre de gravité. 375. Enfin on trouvera le centre de gravité d'une zone fphérique par le moyen de celui du fegment, comme on trouve celui d'un cone tronqué, par le moyen du cone entier. Propriétés des Centres de gravité. Sur leurs Mouvemens, & fur la stabilité des Corps. 376. THEOREME I. Si deux ou plusieurs carps font mus uniformément dans un même plan ou dans des plans differents, le centre de gravité de leur fyflême refte fixe, ou fe meut uniformément. 1o. Si deux corps A, B, (fig. 49) dont le centre commun de gravité eft en G, font mus dans la droite AB, en fe rapprochant tous deux, ou en s'éloignant tous deux du point G, avec des viteffes en raifon inverfe de leurs maffes, ou ce qui eft le même, avec des quantités égales de mouvement, le centre commun de gravité reftera fixe au point G. Car puifque la viteffe du corps A eft à celle du corps comme GB, à GA, les elpaces parcourus feront en tems égaux (51) comme GB à GA, donc (Elem. 309) les fommes ou les différences de ces efpaces & de GB, GA feront toujours dans la raifon inverfe des maffes, donc le centre de gravité reftera toujours en G. B 377. 11°. Si deux corps A, B (fig. So) dont le centre commun de gravité eft en G, font mus uniformément en fens contraire le long de deux parallèles Aa,Bb; enforte que leurs quantités de mouvement foient égales, ou que leurs vîteffes foient en raifon inverfe des maffes, ou comme AG, à BG; le centre commun de gravité G reftera auffi fixe en G. en a, Car alors les triangles formés fur les bafes Aa, Bb par les deux droites qui joignent les corps placés en A, B, puis b, font (Elem. 569) semblables: donc ces deux droites s'entrecoupent en parties qui font entr'elles comme A a eft à Bb, & par confequent comme AG à BG: donc le point d'interfection de ces droites, eft au centre commun G de gravité des deux corps. 378. III. Soient deux corps A, B, dont le centre commun de gravité eft G, (fig. 51 & 52) qu'ils foient mus uniformément dans les parallèles Aa, Bb, avec des vitef fes quelconques exprimées par les droites A a, B b. Soient g leur centre commun de gravité lorfqu'ils font arrivés l'un en a l'autre en b. Je dis que fi l'on tire G g, ce sera une droite parallèle à Aa ou à Bb, & qu'elle fera la route que le centre commun de gravité aura parcourue uniformément dans le même tems. Car puifque G, g font les points où font placés les centres de gravité, on a BG: bg:: BA: ba. Donc en prolongeant, s'il eft néceffaire) les droites AB, ab juf ques à leur rencontre en S, les triangles A aS, BbS font femblables, donc SB: Sb:: BA: ba:: BG: bg. Donc SB BG: Sbbg ou SG: Sg:: SB: Sb, Donc (Elem 559) les triangles SGg, SB b font femblables, donc Gg eft parallèle à Bb (Elem. 509). Et parce que ce qu'on dit ici des corps A, B, placés en ab peut s'appliquer à tous les points où ils fe trouvent en même tems l'un fur Aa, l'aufur Bb, il fuit que chaque pas du centre commun de gravité fe fait parallélement aux droites Aa, Bb; & qu'ainfi ce centre partant de G doit parvenir en g, par la droite Gg parallèle à A a ou B b. 379. De plus fi à chaque pas que le corps A fait fur Aa, on tire une droite au point S, chacune de ces droites (prolongée s'il eft néceffaire) ira couper Bb au point où le corps B doit fe trouver alors. Chacune doit donc paffer aufli par leur centre commun de gravité, & comme ce centre eft néceffairement placé dans Gg parallèle à Aa, les intervalles pris fur Gg entre ces droites menées au point S, feront toujours proportionnels aux longueurs des pas du corps A fur la droite A a. Or ces intervalles pris fur Gg, font les pas du centre commun de gravité, corref pondants aux pas du corps A: Donc le mouvement de ce centre est toujours comme celui du corps A, c'est-àdire uniforme. 380. IV. Soient les corps A, B (fig. 53) mus uniformément dans des directions obliques Aa, Bb: avec des viteffes exprimées par A a, Bb; foient G, g les lieux du centre commun de gravité; fi on tire Gg, & fi par les points a, b on lui mene les parallèles a P, Q, on pourra regarder les corps A, B, comme animés chacun de deux forces; le corps A, des forces AP, Pa; & le corps B, des forces BQ, Qb. Or les forces AP, BQ font entr'elles comme AG à GB. Car à caufe des parallèles Qb, Gg, Pa, on a (Elem. 557) GP: GQ::ag: gb. Or par la propriété du centre de gravité aggb:: AG: GB. Donc GP: GQ:: AG: GB. Donc AG GP ou AP: GB GQ ou BQ :: AG: GB. Donc les forces AP, BQ ne peuvent (376) que contribuer à maintenir le centre commun de gravité en repos en G, donc elles n'ont nul effet pour mettre ce centre en mouvement. Mais les forces Pa, Qb animent les corps A, B, pour aller uniformément dans les parallèles Pa, Qb; donc c'eft en vertu feulement de ces forces que le centre de gravité doit fe mouvoir, donc il doit aller uniformément de G en g. 381. SCHOLIE I. Il eft évident que cette démonftration a lieu, foit que Aa, Bb foient dans un même plan, soit qu'elles n'y foient pas; que pas; & fi elles font dans un même plan, Gg s'y trouve auffi. 382. SCHOLIE II. Comme le centre commun de gravité de deux corps peut être regardé comme le centre de gra |