port à l'Appliquée, la Tangente n'eft qu'égale à l'Appliquée, & elle eft infiniment peu inclinée à l'axe, ou, ce qui eft le même, perpendiculaire. Si l'on avoit donc pour tous les points d'une Courbe quelconque le rapport de la Soûtangente & de l'Appliquée, on auroit toutes les Tangentes. des Courbes en général.

Par la Geometrie des Infiniment petits, on trouve que l'infiniment petit de l'Appliquée quelconque d'une Courbe eft à l'infiniment petit de l'Abfciffe qui lui répond,.comme l'Appliquée eft à la Soutangente, voilà donc ce rapport que l'on cherchoit découvert par les principes qui font particuliers à cette Geometrie, il n'y a plus qu'à tirer de l'Equation d'une Courbe quelconque ces deux infiniment petits, & à confiderer comment ils font entre eux. Quand ils font égaux, la Tangente eft inclinée de 45 degrés à l'axe, & l'on trouve, par exemple dans l'Hiperbole équilatere qu'ils ne peuvent jamais être égaux, que quand cette Courbe s'est étenduë à l'infini, d'où il fuit que la Tangente qu'elle a a cette extrémité infini ment éloignée du fommet, ou, ce qui eft la même chose, fon Afimptote eft inclinée à l'axe de 45 degrés. Afin qu'une Tangente foit parallele ou perpendiculaire à l'axe, ou, ce qui eft le même, parallele à l'un des deux axes conjugués, il faut que l'un des deux infiniment petits foit nul par rapport à l'autre, ce qui eft une fuite de ce que nous avons dit fur l'Appliquée & la Soûtangente.

Toutes les fois que la Tangente eft paralele à l'un des deux axes conjugués, l'Appliquée qui lui répond eft ou la plus grande ou la plus petite des Appliquées qui la précédent & qui la fuivent, du moins dans une certaine étenduë de la Courbe. C'est ce qu'on appelle en Geometrie des Maxima & Minima. Pour déterminer les points où il s'en trouve dans quelque Courbe que ce foit, M. de l'Hôpital a avancé que dans ces points-là l'un des deux infiniment petits devenoit nul par rapport à l'autre, ou, ce qui eft la même chofe, que leur rapport étoit nul ou

infini

Ce rapport eft toûjours exprimé par une fraction, dont par confequent ou le numerateur ou le dénominateur de. venu nul détermine les plus grandes ou les plus petites Appliquées. C'est-là la regle de M. de l'Hôpital, il l'a donnée pour générale, & ne l'a appliquée qu'à un petit nombre d'exemples affes fimples. D'autres exemples auf quels on l'a appliquée depuis ont fait naître des difficultés que le Livre de M. de l'Hôpital n'a pas indiquées expreffément, & M. Guifnée a entrepris de les lever toutes enfemble. Par-là non-feulement il conserve à la Regle fon univerfalité, mais il la met dans un plus grand jour, & la rend plus incontestable. Voici le précis de ses refle

xions.

1o. On ne sçait fi l'Appliquée que la Regle détermine est un plus grand, ou un plus petit. Cela ne fe peut connoître qu'en décrivant la Courbe, ou en examinant la valeur d'une Appliquée prise arbitrairement avant ou aprés celle qu'on a trouvée.

rap

z°. Si le numerateur de la fraction qui exprime le port des deux infiniment petits, étant fuppofé nul, ou égalé à Zero, la nouvelle équation qui en résulte a plusieurs racines réelles, il y aura autant de points de la Courbe qui donneront des plus grands, ou des plus petits, ce qui eft évidemment poffible, car une Courbe peut s'écarter de fon axe jufqu'à un certain point, enfuite s'en rappro cher, aprés cela recommencer à s'en écarter, &c.

3°. Ce fera la même chose fi le dénominateur étant égalé à Zero, l'équation a plufieurs racines réelles.

4°. M. de l'Hôpital n'a cherché dans tous les exemples qu'il apporte que des plus grands ou plus petits finis, & ce font en effet les feuls dont il foit question ordinairement. Mais fi l'on veut compter pour plus grands ou plus petits ceux qui feront infiniment petits, ou infiniment grands, la Regle les comprend auffi. Dans la Parabole, par exem ple, le rapport de l'infiniment petit de l'Ordonnée à l'infiniment petit de l'Abfciffe eft le même que celui du Parametre au double de l'Ordonnée, d'où il fuit que l'un

des infiniment petits ne peut être nul par rapport à l'au tre, fi le Parametre n'eft nul par rapport au double de l'Ordonnée, ou fi le double de l'Ordonnée n'est nul par rapport au Parametre. Or le Parametre qui eft toûjours une ligne finie & conftante ne peut être nul par rapport au double de l'Ordonnée, si l'Ordonnée n'eft devenue infiniment grande, ce qui ne peut arriver à moins que la Parabole qui s'écarte toûjours de fon axe ne s'en foit écar tée à l'infini, & par confequent ne fe foit étenduë à l'infini. De même le double de l'Ordonnée ne peut être nul par rapport au Parametre, à moins que l'Ordonnée ne foit nulle, ce qui n'arrive qu'au point où la Parabole rencontre fon axe; c'eft à dire enfin que cette Courbe a une Appliquée infiniment petite à fon fommet, & une autre infiniment grande à fon extrémité infiniment éloignée du fommet, mais qu'elle n'a nulle Appliquée finie plus grande ou plus petite que celles qui la précédent & la fuivent. Comme l'infiniment petit de l'Ordonnée devenu nul par rapport à celui de l'Abfciffe donne une Tangente parallele, & que celui de l'Abfciffe devenu nul par rapport à l'autre donne une Tangente perpendiculaire, il s'enfuit qu'au fommet de la Parabole où fon Ordonnée est infiniment petite la Tangente eft perpendiculaire, & qu'à l'extrémité de cette Courbe où l'Ordonnée feroit infiniment grande, la Tangente feroit parallele.

5°. Si le numerateur & le dénominateur font tels qu'ils puiffent l'un & l'autre devenir nuls, & que les deux équations qui en résulteront déterminent differents points de la Courbe, elle aura dans tous ces points, en quelque nombre qu'ils foient, des plus grands ou des plus petits, les uns qui répondront à des Tangentes paralleles, & ce feront ceux que le numerateur aura donnés, les autres qui répondront à des Tangentes perpendiculaires, & ce feront ceux qu'aura donnés le dénominateur.

6o. Mais file numerateur & le dénominateur étant égalés à Zero, les deux équations déterminent le même point de la Courbe, M. Guisnée fait voir qu'alors la Courbe a

deux ram:aux qui fe coupent en ce point-là, & que chacun y eft oblique à l'axe commun. Cette obliquité fuit neceffairement du Sistême des Infiniment petits. Car toutes les fois que les deux infiniment petits de l'Ordonnée & de l'Abs. · ciffe ont un rapport fini l'un à l'autre, ils déterminent dans la Courbe au point qui leur répond une position oblique à l'égard de l'axe. Or deux grandeurs ont toûjours entr'elles un rapport fini tant qu'elles font toutes deux du même genre, c'eft à dire ou infinies, ou finies, ou infiniment petites du premier genre, ou infiniment petites du fecond, &c. Donc les deux infiniment petits dont il s'agit qui étoient du premier genre étant devenus tous deux infiniment petits du fecond en même temps, ou à l'égard du même point de la Courbe, ont encore entr'eux un rapport fini, & par confequent déterminent une portion oblique de la Courbe fur l'axe en ce point-là. Donc ce cas ne doit point être compris dans la Regle des plus grands ou plus petits, & en effet l'Ordonnée qui répond å l'interfection des deux rameaux, appartenant en même temps à tous les deux, n'eft un plus grand ou un plus petit ni pour l'un ni pour l'autre ; mais ce même cas doit être compris, & il l'eft auffi, dans la Regle des Tangentes, qui doit donner toutes les pofitions de la Courbe à l'égard de l'axe en quelque point que ce foit. C'eft-là le cas qui a pû faire le plus de difficulté fur les deux Regles en même temps, jusqu'à ce que l'on ait vû avec autant d'évidence qu'on le voit aujourd'hui, à laquelle des deux il fe rapporte, & combien il entre naturellement & neceffairement dans le Siftême général.

Voilà quels font les principaux éclairciffements que M. Guifnée donne fur la Regle des plus grands & plus petits, & il femble que tous les cas ayant été prévûs par la methode des combinaisons, il ne puiffe plus furvenir aucune difficulté nouvelle; car on ne peut pas compter pour des difficultés qui appartiendroient à la Geometrie de l'Infini, des embarras de calcul qui naîtroient de l'Algebre ordinaire, qu'il y faut neceffairement appliquer.

V. les M. P. 178.

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P. 84.

& fuiv. P. 80.

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****p-347.

SUR LE RAPPORT DES

FORCES CENTRALES

A LA PESANTEUR DES CORPS.

Es Hiftoires de 1700*, 1701 **, 1703 ***, 1705****, ont

toute M. Varignon For

ces centrales, non feulement felon differentes vûës & differens tours Geometriques, mais encore selon toutes les P73 hipothefes Phifiques, qui peuvent être employées à expliquer la Nature, ou même imaginées à plaifir. Mais cette Theorie fi vafte ne roule que fur differentes forces centrales comparées entre elles, ou, ce qui revient au même, fur les rapports d'une même force centrale agif fant inégalement en differens inftants, & c'est à cet égard que le fujet eft épuife, ainfi que nous l'avons dit dans l'Hift. de 1703, & repeté dans celle de 1705. Il reste à fçavoir quelles font absolument & en elles-mêmes ces forces dont on connoît les rapports, il refte à les pouvoir évaluer en livres, & pour cela, il faut les comparer à la pefanteur des Corps, que l'on fuppose toûjours connuë de cette maniere. Aprés cette comparaison faite, le fujet eft épuisé à tous égards.

Tout mouvement en ligne Courbe, par exemple, le mouvement elliptique d'une Planete autour du Soleil, peut être conçu comme compofé de deux mouvemens plus fimples, ou, ce qui revient au même, produit par deux causes. L'une imprime à la Planete un mouvement felon une ligne droite indéfinie, qui traverferoit le Tourbillon, comme une corde traverse un Cercle, & par confequent s'éloigneroit toûjours du Soleil depuis un certain point; l'autre cause qu'on peut imaginer comme inhėrente au Soleil retire la Planete vers ce centre ou foyer, & agit par une ligne droite qui fait avec la premiere un angle quelconque. Il n'importe que cette feconde caufe

foit