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port à l'Appliquée, la Tangente n'est qu'égale à l'Appliquée , & elle est infiniment peu inclinée à l'axe, ou, ce qui est le même, perpendiculaire. Si l'on avoit donc pour tous les points d'une Courbe quelconque le rapport de la Soûtangente & de l'Appliquée, on auroit toutes les Tangentes, des Courbes en générai.

Par la Géométrie des Infiniment petits, on trouve que l'insiniment petit de l'Appliquée quelconque d'une Courbe est à l'insiniment petit de l'Abfciise qui lui répond ,.comme l'Appliquée est à la Soûtangente 5 voilà donc ce rap

Í>ort que l'on cherchoit découvert par les principes qui ont particuliers à cette Géométrie, il n'y a plus qu'à tirer de l'Equation d'une Courbe quelconque ces deux infiniment petits, &c à considérer comment ils íônt entre eux. Quand ils font égaux, la Tangente est inclinée de 45 degrés à l'axe, & l'on trouve, par exemple dans l'Hiperbole équilatere qu'ils ne peuvent jamais être égaux, * }ue quand cette Courbe s'est étendue à l'infìni, d'où il fuit que la Tangente qu'elle a a cette extrémité infiniment éloignée du sommet, ou, ce qui est la même chose, son Asimptote est inclinée à Taxe de 45 degrés. Afin qu'une Tangente soit parallèle ou perpendiculaire à Taxe, ou, ce qui est le même, parallèle à l'un des deux axes conjugués , il faut que l'un des deux infiniment petits soit nul par rapport à l'autre, ce qui est une fuite de ce que nous avons dit fur l'Appliquée & la Soûtangente.

Toutes les fois que la Tangente est parallèle à l'un des deux axes conjugués, l'Appliquée qui lui répond est ou la plus grande ou la plus petite des Appliquées qui la précédent & qui la suivent, du moins dans une certaine étendue de la Courbe. C'est ce qu'on appelle en Géométrie des Maxima & Ivîinima. Pour déterminer les points où H s'en trouve dans quelque Courbe que ce soit, M. de l'Hôpital a avancé que dans ces points-là l'un des deux infiniment petits devenoit nul par rapport à l'autre, ou-, ce qui est la même chose, que leur rapport étoit nul on infini.

Ce rapport est: toujours exprimé par une fraction, dont par conséquent ou le numérateur ou le dénominateur devenu nul détermine les plus grandes ou les plus petites Appliquées. C'est-là la rcgle de M. de PHôpital, il l'a donnée pour générale, & 'ne l'a appliquée qu'à un petit nombre d'exemples assés simples. D'autres exemples ausquels on l'a appliquée depuis ont fait .naître des difficultés que le Livre de M. de l'Hôpital n'a pas indiquées expreflement, &M. Guifnée a entrepris de les lever toutes ensemble. Par-là non-seulement il conserve à la Règle Ion universalité, mais il la met dans un pius grand jour, & la rend plus incontestable. Voici le précis de ses reflexions, r

i°. On ne íçait si l'Appliquée que ía Règle détermine est un plus qrand, ou un plus petit. Cela ne se peut connoître qu'en décrivant la Courbe, ou en examinant la valeur d'une Appliquée prise arbitrairement avant ou aprés celle qu'on a trouvée.

z°. Si le numérateur de ía fraction qui exprime le rap

Í>ort des deux infiniment petits, étant supposé nul, ou égaé à Zero, la nouvelle équation qui en résulte a plusieurs racines réelles, il y aura autant de points de la Courbe qui donneront des plus grands, ou des plus pfctits, ce qui est évidemment possible, car une Courbe peut s'écarter" de son axe jusqu'à un certain point, ensuite s'en rapprocher, aprés cela recommencer à s'en écarter, &c.

30. Ce sera la même chose si le dénominateur étant égalé à Zero, l'équation a plusieurs racines réelles*

40. M. de l'Hôpital n'a cherché dans tous les exemples qu'il apporte que des plus grands ou plus petits finis, & ce font en effet les seuls dont il soit question ordinairement. Mais si Ton veut compter pour plus grands ou plus petits ceux qui seront infiniment petits, ou infiniment grands, la Règle les comprend aussi. Dans la Parabole, par exem». pie, se rapport de rinfiniment petit dei'Ordonnée à L'infìniment petit de l'Abscisle est le même que celui du Paramètre au double de l'Ordonace y d'où il fuit que l'un» des infiniment petits ne peut être nul par rapport â l'autre, fi le Paramètre n'est nul par rapport au double de l'Ordonnée, ou si le double de l'Ordonnée n'est nul par rapport au Paramètre. Or le Paramètre qui est toujours une ligne finie & constante ne peut être nul par rapport au double de l'Ordonnée, si l'Ordonnée n'est devenue infiniment grande, ce qui ne peut arriver á moins que la Parabole qui s'écarte toujours de son axe ne s'en soit écartée à l'infini, & par conséquent ne se soit étendue à l'infini. De même le double de l'Ordonnée ne peut être nul par rapport au* Paramètre, à moins que l'Ordonnée ne soit nulle, ce qui n'arrive qu'au point où la Parabole rencontre son axe; c'est à dire enfin que cette Courbe a une Appliquée infiniment petite à sorusommet, & une autre infiniment grande à son extrémité infiniment éloignée du sommet, mais qu'elle n'a nulle Appliquée finie plus grande ou plus petite que celles qui la précédent & la suivent. Comme Pinfiniment petit de l'Ordonnée devenu nul par rapport à celui de l'Abscislè donne une Tangente parallèle, & que celui de l'Abscislè devenu nul par rapport à l'autre donne une Tangente perpendiculaire, il s'ensuit qu'au sommet de la Parabole où son Ordonnée est infiniment petité* la Tangente est perpendiculaire, &qu'à l'extrémitéde cette Courbe où l'Ordonnée seroit infiniment grande, la Tangente seroit parallèle.

5°. Si le numérateur & le dénominateur sont tels qu'ils puissent l'un & l'autre devenir nuls, & que les deux équations qui en résulteront déterminent différents points de la Courbe, elle aura dans tous ces points, en quelque nombre qu'ils soient, des plus grands ou des plus petits, les uns qui répondront à des Tangentes parallèles, & ce seront ceux que le numérateur aura donnés, les autres qui répondront à des Tangentes perpendiculaires, & ce seront ceux qu'aura donnés le dénominateur.

6°. Mais file numérateur Scie dénominateur étant égalés àZero, les deux équations déterminent le même point de la Courbe, M. Guiíhée fait voir qu'alors la Courbe a deux rameaux qui se coupent en ce poinc-là, &que chacun y est oblique à Taxe commun. Cetçe obliquité suit nécessairement du Sistême des Infiniment petits. Car toutes les fois que les deux infiniment petits de i'Ordonnée & de PAbf- • ciílè ont un rapport fini l'un à l'autre, ils déterminent dans la Courbe au point qui leur répond une position oblique à l'égard de Taxe. Or deux grandeurs ont toujours entr'elles un rapport fini tant qu'elles font toutes deux du même genre, c'est à dire ou infinies, ou finies, 011 infiniment petites du premier genre, ou infiniment petites du second, &c. Donc les deux infiniment petits dont il s'agit qui étoient du premier genre étant devenus tous deux infiniment petits du second en même temps, ou à l'égard du même point de la Courbe, ont encore entr'eux un rapport fini, & par conséquent déterminent une portion oblique de la Courbe fur Taxe en ce point-là. Donc ce cas ne doit point être compris dans la Règle des plus grands ou plus petits, & en effet I'Ordonnée qui répond à l'in te r section des deux rameaux, appartenant en même temps à tous les deux, n'est un plus grand ou un phrs petit ni pour l'un ni pour l'autre ; mais ce même cas doit être compris, & il l'est aussi, dans la Règle des Tangentes, qui doit donner toutes les positions dela Courbe à l'égard de J'axe en quelque point que ce soit. C'est-là le cas qui a pû faire le plus de difficulté íùr les deux Règles en même temps, jusqu'à ce que l'on ait vu avec autant d'évidence qu'on le voit aujourd'hui, à laquelle des deux il se rapporte , & combien il entre natarellement & nécessairement dans le Sistême général.

Voilà quels font les principaux éclaircissements que M. Guifnée donne fur la Règle des plus grands &: plus petits, & il semble que tous les cas ayant été prévus par la méthode des combinaisons, il nepuiíle plus survenir aucune difficulté nouvelle j car on ne peut pas compter pour des difficultés qui appartiendroient à la Géométrie âe Tínfini, des embarras de calcul qui naîtroient de l'Algebre ordinaire , qu'il y faut nécessairement appliquer. •

SVR LE RAPPORT DES

FORCES f£NrR^L£*í
A LA PESANTEVR DES CORPS.

V.lesM. T Es Histoires de 1700*, 1701 **, 1703***, 1705****, ont p- *78- I j exposé toute la Théorie de M. Varignon sur les For& suiv. 4 ces centrales, non seulement selon différentes vues & dif** p- «o. ferens tours Géométriques, mais encore selon toutes les ****P-î47« hipotheses Phisiques, qui peuvent être employées á exP 4 pliquer la Nature , ou même imaginées à plaisir. Mais cette Théorie si vaste ne roule que fur différentes forces centrales comparées entre elles , ou , ce qui revient au même, fur les rapports d'une même force centrale agissant inégalement en differens instants, & c'est à.cet égard que le sujet est épuisé, ainsi que nous l'avons dit dans l'Hist. de 1703, & repeté dans celle de 170J. II reste à fçav?>ir quelles font absolument de en elles-mêmes ces forces dont on connoît les rapports, il reste à les pouvoir évaluer en livres, & pour cela, il faut les comparer à la pesanteur des Corps, que l'on suppose toujours connuë de cette manière. Aprés cette comparaison faite, le sujet est épuisé à tous égards.

Tout mouvement en ligne Courbe, par exemple, le mouvement elliptique d'une Planète autour du Soleil, peut être conçû comme composé de deux mouvemens plus simples, ou, ce qui revient au même, produit par deux causes. L'une imprime à la Planète un mouvement selon une ligne droite indéfinie, qui traverseroit le Tourbillon , comme une corde traverse un Cercle, & par consequent s'éloigneroit toujours du Soleil depuis un certain point j l'autre cause qu'on peut imaginer comme inhérente au Soleil retire la Planète vers ce centre ou foyer, * & agit par une ligne droite qui fait avec la première un angle «quelconque. II n'importe que cette seconde cause

soit

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